Теорема Лефшеца о (1,1)-классах

В алгебраической геометрии , разделе математики , теорема Лефшеца о (1,1)-классах , названная в честь Соломона Лефшеца , является классическим утверждением, связывающим голоморфные линейные расслоения на компактном кэлеровом многообразии с классами в его целочисленных когомологиях . Это единственный случай гипотезы Ходжа , доказанный для всех кэлеровых многообразий. ^[1]

Формулировка теоремы [ править ]

Пусть X — компактное кэлерово многообразие. Первый класс Чженя c ₁ дает отображение голоморфных линейных расслоений в H ²( Икс , Z ) . По теории Ходжа группа де Рама когомологий H ²( X , C ) разлагается в прямую сумму H ^0,2( Икс ) ⊕ ЧАС ^1,1( Икс ) ⊕ ЧАС ^2,0( X ) , и можно доказать, что образ c ₁ лежит в H ^1,1( Х ). Теорема гласит, что отображение в H ²( Икс , Z ) ∩ ЧАС ^1,1( X ) сюръективен.

В специальном случае, когда X является проективным многообразием , голоморфные линейные расслоения находятся в взаимно однозначном соответствии с классом линейных эквивалентностей дивизоров , и для данного дивизора D на X с соответствующим линейным расслоением O(D) класс c ₁ ( O(D) ) является Пуанкаре двойственным классу гомологий, заданному D . Тем самым устанавливается обычная формулировка гипотезы Ходжа для дивизоров в проективных многообразиях.

Доказательство с использованием обычных функций [ править ]

Оригинальное доказательство Лефшеца ^[2] работал над проективными поверхностями и использовал нормальные функции, введенные Пуанкаре. Предположим, что — _Ct кривых на X. пучок Каждая из этих кривых имеет многообразие якобиана JC _t (если кривая особая, то существует подходящее обобщенное многообразие якобиана). Их можно собрать в семью ${\mathcal {J}}$ , якобиан карандаша, который имеет проекцию π на основание T карандаша. — Нормальная функция это (голоморфное) сечение π.

Исправьте вложение X в P ^Ни выберем пучок кривых C _t на X . Для фиксированной кривой Γ на X пересечение Γ и C _t дивизором p ₁ ( t ) + ... + p _d ( t ) на C _t , где d — степень X. является Зафиксируйте базовую точку p ₀ карандаша. Тогда дивизор p ₁ ( t ) + ... + p _d ( t ) − dp ₀ является дивизором нулевой степени и, следовательно, определяет класс ν _Γ ( t ) в якобиане JC _t для всех t . Отображение t в ν _Γ ( t ) является нормальной функцией.

Анри Пуанкаре доказал, что для общего пучка кривых все нормальные функции возникают как ν _Γ ( t ) при некотором выборе Γ. Лефшец доказал, что любая нормальная функция определяет класс в H ²( X , Z ) и что класс ν _Γ является фундаментальным классом Γ. Более того, он доказал, что класс из H ²( X , Z ) — класс нормальной функции тогда и только тогда, когда она лежит в H ^1,1. Вместе с теоремой существования Пуанкаре это доказывает теорему о (1,1)-классах.

пучковых когомологий Доказательство с использованием

Поскольку X — комплексное многообразие, оно допускает экспоненциальную пучковую последовательность ^[3]

0\to {\underline {\mathbf {Z} }}{\stackrel {2\pi i}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{X}{\stackrel {\operatorname {exp} }{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.

Взятие пучковых когомологий этой точной последовательности дает отображения

H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }){\stackrel {c_{1}}{\to }}H^{2}(X,\mathbf {Z} ){\stackrel {i_{*}}{\to }}H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}).

Группа Pic X линейных расслоений на X изоморфна $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ . Первое отображение класса Черна по определению c ₁ , поэтому достаточно показать, что $i_{*}$ равен нулю на H ²( Икс , Z ) ∩ ЧАС ^1,1( Х ) .

Поскольку X является кэлером, теория Ходжа предполагает, что $H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})\cong H^{0,2}(X)$ . Однако, $i_{*}$ факторы через карту из H ²( X , Z ) к H ²( X , C ), а на H ²( Икс , С ), $i_{*}$ — ограничение проекции на H ^0,2( Х ). Отсюда следует, что оно равно нулю на H ²( Икс , Z ) ∩ ЧАС ^1,1( X ) и, следовательно, отображение классов циклов сюръективно. ^[4]

Ссылки [ править ]

^ Гриффитс и Харрис 1994 , с. 163
^ Лефшец 1924 г.
^ Гриффитс и Харрис 1994 , с. 37
^ Гриффитс и Харрис 1994 , стр. 163–164.

Библиография [ править ]

Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9 , МР 1288523
Лефшец, Соломон (1924), Анализ положения и алгебраическая геометрия , Сборник монографий, опубликованных под руководством М. Эмиля Бореля (на французском языке), Париж: Готье-Виллар, перепечатано в Лефшец, Соломон (1971), Избранные статьи , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7 , МР 0299447

[1] Гриффитс и Харрис 1994 , с. 163

[2] Лефшец 1924 г.

[3] Гриффитс и Харрис 1994 , с. 37

[4] Гриффитс и Харрис 1994 , стр. 163–164.

[1]

[2]

[3]

[4]