Когерентная двойственность

В математике когерентная двойственность — это любое из ряда обобщений двойственности Серра , применимых к когерентным пучкам , в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , а также к некоторым аспектам коммутативной алгебры , которые являются частью «локальной» теории.

Исторические корни теории лежат в идее присоединенной линейной системы к линейной системе делителей классической алгебраической геометрии. Это было вновь выражено с появлением теории пучков , что сделало аналогию с двойственностью Пуанкаре более очевидной. Затем, согласно общему принципу, относительной точке зрения Гротендика , теория Жан-Пьера Серра была расширена до собственного морфизма ; Двойственность Серра была восстановлена как случай морфизма неособого проективного многообразия (или полного многообразия ) в точку. Полученная теория теперь иногда называется двойственностью Серра – Гротендика – Вердье и является основным инструментом в алгебраической геометрии. Обработка этой теории «Остатки и двойственность» (1966) Робином Хартшорном стала эталоном. Одним из конкретных побочных результатов стал остаток Гротендика .

Чтобы выйти за рамки собственных морфизмов, как и в случае версий двойственности Пуанкаре, не предназначенных для замкнутых многообразий , требуется некоторая версия концепции компактного носителя . Это было рассмотрено в SGA2 с точки зрения локальных когомологий и локальной двойственности Гротендика ; и впоследствии. Двойственность Гринлиса -Мэй , впервые сформулированная в 1976 году Ральфом Штребелем и в 1978 году Эбеном Матлисом , является частью продолжающегося рассмотрения этой области.

Точка зрения присоединенного функтора [ править ]

используется линейное расслоение или обратимый пучок Хотя в двойственности Серра в качестве дуализирующего пучка , общая теория (оказывается) не может быть такой простой. (Точнее, может, но ценой наложения условия кольца Горенштейна .) Гротендик характерным образом переформулировал общую когерентную двойственность как существование правосопряженного функтора $f^{!}$ , называемый скрученным или исключительным функтором обратного образа , к более высокому прямому образу с компактным опорным функтором $Rf_{!}$ .

Высшие прямые образы в данном случае представляют собой пучковую форму пучковых когомологий с собственным (компактным) носителем; они объединяются в один функтор с помощью производной категории формулировки гомологической алгебры (введенной с учетом этого случая). Если $f$ правильно, тогда $Rf_{!}=Rf_{\ast }$ является правым сопряженным обратного образа функтору $f^{\ast }$ . Теорема существования скрученного прообраза — это название доказательства существования того, что было бы единицей комонады искомого присоединения, а именно естественного преобразования

Rf_{!}f^{!}\rightarrow id

,

который обозначается $Tr_{f}$ (Хартшорн) или $\int _{f}$ (Вердье). Это аспект теории, наиболее близкий к классическому значению, как следует из обозначений, заключающийся в том, что двойственность определяется интеграцией.

Если быть более точным, $f^{!}$ существует как точный функтор из производной категории квазикогерентных пучков на $Y$ , в аналогичную категорию на $X$ , в любое время

f:X\rightarrow Y

— собственный или квазипроективный морфизм нётеровых схем конечной размерности Крулля . ^[1] Из этого можно вывести остальную часть теории: дуализирующие комплексы отступают через $f^{!}$ , символ вычета Гротендика , дуализирующий пучок в случае Коэна–Маколея .

Чтобы получить утверждение на более классическом языке, но всё же более широкое, чем двойственность Серра, Хартсхорн ( «Алгебраическая геометрия ») использует функтор пучков Ext ; это своего рода ступенька к производной категории.

Классическое утверждение двойственности Гротендика для проективного или собственного морфизма $f:X\rightarrow Y$ нётеровых схем конечной размерности, найденный в Хартсхорне ( Вычеты и двойственность ) — это следующий квазиизоморфизм

Rf_{\ast }RHom_{X}(F^{\bullet },f^{!}G^{\bullet })\to RHom_{Y}(Rf_{\ast }F^{\bullet },G^{\bullet })

для $F^{\bullet }$ ограниченный сверху комплекс $O_{X}$ -модули с квазикогерентными когомологиями и $G^{\bullet }$ ограниченный снизу комплекс $O_{Y}$ -модули с когерентными когомологиями. Здесь $Hom$ 's - пучки гомоморфизмов.

Строительство f ^! использующий жесткие дуализирующие комплексы , псевдофунктор

За прошедшие годы появилось несколько подходов к построению $f^{!}$ появился псевдофунктор. Один совсем недавний успешный подход основан на понятии жесткого дуализирующего комплекса. Это понятие было впервые определено Ван ден Бергом в некоммутативном контексте. ^[2] В основе конструкции лежит вариант производных когомологий Хохшильда (когомологий Шуклы): Пусть $k$ — коммутативное кольцо, и пусть $A$ быть коммутативным $k-$ алгебра. Существует функтор $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ который принимает коцепный комплекс $M$ к объекту $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ в производной категории над $A$ . ^[3]^[4]

Предполагая $A$ нётеров, жесткий дуализирующий комплекс над $A$ относительно $k$ по определению является парой $(R,\rho )$ где $R$ представляет собой дуализирующий комплекс над $A$ который имеет конечную плоскую размерность над $k$ , и где $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ является изоморфизмом в производной категории $D(A)$ . Если такой жесткий дуализирующий комплекс существует, то он единственен в сильном смысле. ^[5]

Предполагая $A$ является локализацией конечного типа $k$ -алгебра, существование жесткого дуализирующего комплекса над $A$ относительно $k$ впервые было доказано Екутиэли и Чжаном ^[6] предполагая $k$ является регулярным нетеровым кольцом конечной размерности Крулля, а Аврамовым , Айенгаром и Липманом ^[7] предполагая $k$ является горенштейновым кольцом конечной размерности Крулля и $A$ имеет конечную плоскую размерность над $k$ .

Если $X$ является схемой конечного типа над $k$ , можно склеить жесткие дуализирующие комплексы, которые имеют его аффинные куски, ^[8] и получим жесткий дуализирующий комплекс $R_{X}$ . Как только кто-то установит глобальное существование жесткого дуализирующего комплекса, учитывая отображение $f:X\to Y$ схем более $k$ , можно определить $f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}$ , где схема $X$ , мы установили $D_{X}:=RHom_{{\mathcal {O}}_{X}}(-,R_{X})$ .

сложных примеров Дуализация

комплекс для проективного разнообразия Дуализирующий

Дуализирующий комплекс проективного многообразия $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ дается комплексом

\omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{n}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{n}}[+n])

^[9]

Плоскость, пересекающая прямую [ править ]

Рассмотрим проективное многообразие

X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x)(y,z)}}\right)={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,xz)}}\right)

Мы можем вычислить $\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{3}}[+3])$ используя резолюцию ${\mathcal {L}}^{\bullet }\to {\mathcal {O}}_{X}$ локально свободными пучками. Это даёт комплекс

0\to {\mathcal {O}}(-3){\xrightarrow {\begin{bmatrix}z\\-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy&xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0

С $\omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)$ у нас есть это

\omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet },{\mathcal {O}}(-4)[+3])=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet }\otimes {\mathcal {O}}(4)[-3],{\mathcal {O}})

Это комплекс

[{\mathcal {O}}(-4){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy\\xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}z&-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-1)][-3]

См. также [ править ]

Двойственность ценностей

Примечания [ править ]

^ Вердье 1969 , элегантный и более общий подход был найден Амноном Ниманом с использованием методов алгебраической топологии, в частности представимости Брауна , см. Neeman 1996.
^ ван ден Берг, Мишель (сентябрь 1997 г.). «Теоремы существования дуализирующих комплексов над некоммутативными градуированными и фильтруемыми кольцами» . Журнал алгебры . 195 (2): 662–679. дои : 10.1006/jabr.1997.7052 .
^ Екутиэли, Амнон (2016). «Операция возведения в квадрат коммутативных колец DG» . Журнал алгебры . 449 : 50–107. arXiv : 1412.4229 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2015.09.038 .
^ Аврамов Лучезар Л.; Айенгар, Шрикант Б.; Липман, Джозеф; Наяк, Суреш (январь 2010 г.). «Редукция производных функторов Хохшильда над коммутативными алгебрами и схемами» . Достижения в математике . 223 (2): 735–772. arXiv : 0904.4004 . дои : 10.1016/j.aim.2009.09.002 . S2CID 15218584 .
^ Екутиэли, Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (31 мая 2008 г.). «Жесткие дуализирующие комплексы над коммутативными кольцами». Алгебры и теория представлений . 12 (1): 19–52. arXiv : math/0601654 . дои : 10.1007/s10468-008-9102-9 . S2CID 13597155 .
^ Екутиэли, Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (31 мая 2008 г.). «Жесткие дуализирующие комплексы над коммутативными кольцами». Алгебры и теория представлений . 12 (1): 19–52. arXiv : math/0601654 . дои : 10.1007/s10468-008-9102-9 . S2CID 13597155 .
^ Аврамов, Лучезар; Айенгар, Шрикант; Липман, Джозеф (14 января 2010 г.). «Рефлексивность и жесткость комплексов. I: Коммутативные кольца». Алгебра и теория чисел . 4 (1): 47–86. arXiv : 0904.4695 . дои : 10.2140/ant.2010.4.47 . S2CID 18255441 .
^ Аврамов, Лучезар; Айенгар, Шрикант; Липман, Джозеф (10 сентября 2011 г.). «Рефлексивность и жесткость комплексов, II: Схемы». Алгебра и теория чисел . 5 (3): 379–429. arXiv : 1001.3450 . дои : 10.2140/ant.2011.5.379 . S2CID 21639634 .
^ Ковач, Шандор. «Особенности стабильных многообразий» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 августа 2017 г.

Ссылки [ править ]

Гринлис, JPC; Мэй, Дж. Питер (1992), «Производные функторы I -адического пополнения и локальные гомологии», Journal of Algebra , 149 (2): 438–453, doi : 10.1016/0021-8693(92)90026-I , ISSN 0021-8693 , МР 1172439
Хартсхорн, Робин (1966), Остатки и двойственность , Конспекты лекций по математике 20 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 20–48, doi : 10.1007/BFb0080482
Ниман, Амнон (1996), «Теорема двойственности Гротендика с помощью методов Боусфилда и представимость Брауна», Журнал Американского математического общества , 9 (1): 205–236, doi : 10.1090/S0894-0347-96-00174-9 , ISSN 0894-0347 , МР 1308405
Вердье, Жан-Луи (1969), «Замена базы для скрученного прообраза когерентных пучков», Алгебраическая геометрия (Международный коллоквиум, Tata Inst. Fund. Res., Бомбей, 1968) , Oxford University Press , стр. 393– 408, МР 0274464
Хопкинс, Гленн, Алгебраический подход к символу вычета Гротендика (PDF)

[1] Вердье 1969 , элегантный и более общий подход был найден Амноном Ниманом с использованием методов алгебраической топологии, в частности представимости Брауна , см. Neeman 1996.

[2] ван ден Берг, Мишель (сентябрь 1997 г.). «Теоремы существования дуализирующих комплексов над некоммутативными градуированными и фильтруемыми кольцами» . Журнал алгебры . 195 (2): 662–679. дои : 10.1006/jabr.1997.7052 .

[3] Екутиэли, Амнон (2016). «Операция возведения в квадрат коммутативных колец DG» . Журнал алгебры . 449 : 50–107. arXiv : 1412.4229 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2015.09.038 .

[4] Аврамов Лучезар Л.; Айенгар, Шрикант Б.; Липман, Джозеф; Наяк, Суреш (январь 2010 г.). «Редукция производных функторов Хохшильда над коммутативными алгебрами и схемами» . Достижения в математике . 223 (2): 735–772. arXiv : 0904.4004 . дои : 10.1016/j.aim.2009.09.002 . S2CID 15218584 .

[5] Екутиэли, Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (31 мая 2008 г.). «Жесткие дуализирующие комплексы над коммутативными кольцами». Алгебры и теория представлений . 12 (1): 19–52. arXiv : math/0601654 . дои : 10.1007/s10468-008-9102-9 . S2CID 13597155 .

[6] Екутиэли, Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (31 мая 2008 г.). «Жесткие дуализирующие комплексы над коммутативными кольцами». Алгебры и теория представлений . 12 (1): 19–52. arXiv : math/0601654 . дои : 10.1007/s10468-008-9102-9 . S2CID 13597155 .

[7] Аврамов, Лучезар; Айенгар, Шрикант; Липман, Джозеф (14 января 2010 г.). «Рефлексивность и жесткость комплексов. I: Коммутативные кольца». Алгебра и теория чисел . 4 (1): 47–86. arXiv : 0904.4695 . дои : 10.2140/ant.2010.4.47 . S2CID 18255441 .

[8] Аврамов, Лучезар; Айенгар, Шрикант; Липман, Джозеф (10 сентября 2011 г.). «Рефлексивность и жесткость комплексов, II: Схемы». Алгебра и теория чисел . 5 (3): 379–429. arXiv : 1001.3450 . дои : 10.2140/ant.2011.5.379 . S2CID 21639634 .

[9] Ковач, Шандор. «Особенности стабильных многообразий» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 августа 2017 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]