Дуализирующий модуль
В абстрактной алгебре , дуализирующий модуль также называемый каноническим модулем , — это модуль над коммутативным кольцом , аналогичный каноническому расслоению гладкого многообразия . Он используется в локальной двойственности Гротендика .
Определение [ править ]
Дуализирующий модуль нётерова кольца R — это конечно порождённый модуль M такой, что для любого идеала m R максимального / m векторное пространство Ext н
R ( R / m , M ) исчезает, если n ≠ height( m ), и является 1-мерным, если n = height( m ).
Дуализирующий модуль не обязательно должен быть уникальным, поскольку тензорное произведение любого дуализирующего модуля с проективным модулем ранга 1 также является дуализирующим модулем. Однако это единственный способ, при котором дуализирующий модуль не может быть уникальным: из любых двух дуализирующих модулей один изоморфен тензорному произведению другого с проективным модулем ранга 1. В частности, если кольцо локально, дуализирующий модуль единственен с точностью до изоморфизма.
Нётерово кольцо не обязательно имеет дуализирующий модуль. Любое кольцо с дуализирующим модулем должно быть кольцом Коэна–Маколея . И наоборот, если кольцо Коэна–Маколея является фактором кольца Горенштейна , то оно имеет дуализирующий модуль. В частности, любое полное локальное кольцо Коэна–Маколея имеет дуализирующий модуль. Для колец без дуализирующего модуля иногда можно использовать дуализирующий комплекс в качестве замены.
Примеры [ править ]
Если R — горенштейново кольцо, то R, рассматриваемое как модуль над собой, является дуализирующим модулем.
Если R — артиново локальное кольцо , то модуль Матлиса кольца R (инъективная оболочка поля вычетов) является дуализирующим модулем.
Артиново локальное кольцо R = k [ x , y ]/( x 2 , и 2 , xy ) имеет единственный дуализирующий модуль, но он не изоморфен R .
Кольцо Z [ √ –5 ] имеет два неизоморфных дуализирующих модуля, соответствующих двум классам обратимых идеалов.
Локальное кольцо k [ x , y ]/( y 2 , xy ) не является методом Коэна–Маколея, поэтому не имеет дуализирующего модуля.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Бурбаки, Н. (2007), Коммутативная алгебра. Глава 10 , Элементы математики (на французском языке), Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3-540-34394-3 , МР 2333539
- Брунс, Винфрид; Херцог, Юрген (1993), Кольца Коэна-Маколея , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 39, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-41068-7 , МР 1251956