Гипоэллиптический оператор

В теории уравнений в частных производных в частных производных оператор $P$ определено на открытом подмножестве

U\subset {\mathbb {R} }^{n}

называется гипоэллиптическим , если для любого распределения $u$ определено на открытом подмножестве $V\subset U$ такой, что $Pu$ является $C^{\infty }$ ( гладкий ), $u$ также должно быть $C^{\infty }$ .

Если это утверждение справедливо при $C^{\infty }$ заменить на реально-аналитический , то $P$ называется аналитически гипоэллиптическим .

Каждый эллиптический оператор с $C^{\infty }$ коэффициенты гипоэллиптические. В частности, лапласиан является примером гипоэллиптического оператора (лапласиан также аналитически гипоэллиптичен). Кроме того, оператор уравнения теплопроводности ( $P(u)=u_{t}-k\,\Delta u\,$ )

P=\partial _{t}-k\,\Delta _{x}\,

(где $k>0$ ) гипоэллиптичен, но не эллиптичен. Однако оператор волнового уравнения ( $P(u)=u_{tt}-c^{2}\,\Delta u\,$ )

P=\partial _{t}^{2}-c^{2}\,\Delta _{x}\,

(где $c\neq 0$ ) не является гипоэллиптическим.

Ссылки [ править ]

Симакура, Норио (1992). Операторы частных дифференциальных эллиптического типа: перевод Норио Симакуры . Американское математическое общество, Провиденс, ISBN Род-Айленда 0-8218-4556-Х .
Егоров, Ю. В.; Шульце, Берт Вольфганг (1997). Псевдодифференциальные операторы, особенности, приложения . Биркхойзер. ISBN 3-7643-5484-4 .
Владимиров В.С. (2002). Методы теории обобщенных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-415-27356-0 .
Фолланд, Великобритания (2009). Анализ Фурье и его приложения . АМС. ISBN 978-0-8218-4790-9 .

В эту статью включены материалы Hypoelliptic на PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .