Гипоэллиптический оператор

В теории уравнений в частных производных частных производных оператор в $P$ определено на открытом подмножестве

$U\subset {\mathbb {R} }^{n}$

называется гипоэллиптическим, если для любого распределения $u$ определено на открытом подмножестве $V\subset U$ такой, что $Pu$ является $C^{\infty }$ ( гладкий ), $u$ также должно быть $C^{\infty }$.

Если это утверждение справедливо при $C^{\infty }$ заменить на реально-аналитический , то $P$ называется аналитически гипоэллиптическим .

Каждый эллиптический оператор с $C^{\infty }$ коэффициенты гипоэллиптические. В частности, лапласиан является примером гипоэллиптического оператора (лапласиан также аналитически гипоэллиптичен). Кроме того, оператор уравнения теплопроводности ( $P(u)=u_{t}-k\,\Delta u\,$)

$P=\partial _{t}-k\,\Delta _{x}\,$

(где $k>0$) гипоэллиптичен, но не эллиптичен. Однако оператор волнового уравнения ( $P(u)=u_{tt}-c^{2}\,\Delta u\,$)

$P=\partial _{t}^{2}-c^{2}\,\Delta _{x}\,$

(где $c\neq 0$) не является гипоэллиптическим.

Ссылки

• Симакура, Норио (1992). Операторы частных дифференциальных эллиптического типа: перевод Норио Симакуры . Американское математическое общество, Провиденс, ISBN Род-Айленда  0-8218-4556-Х .
• Егоров, Ю. в.; Шульце, Берт Вольфганг (1997). Псевдодифференциальные операторы, особенности, приложения . Биркхойзер. ISBN  3-7643-5484-4 .
• Владимиров В.С. (2002). Методы теории обобщенных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN  0-415-27356-0 .
• Фолланд, Великобритания (2009). Анализ Фурье и его приложения . АМС. ISBN  978-0-8218-4790-9 .

В эту статью включены материалы Hypoelliptic на PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .