Двойное абелевое многообразие

В математике двойственное абелево многообразие может быть определено из абелева многообразия A , определенного над полем k . Одномерное абелево многообразие — это эллиптическая кривая , и каждая эллиптическая кривая изоморфна своей двойственной, но это не работает для многомерных абелевых многообразий, поэтому концепция двойственного становится более интересной в более высоких измерениях.

Определение

Пусть A — абелевое многообразие над полем k . Мы определяем $\operatorname {Pic} ^{0}(A)\subset \operatorname {Pic} (A)$ — подгруппа, состоящая из линейных расслоений L таких, что $m^{*}L\cong p^{*}L\otimes q^{*}L$, где $m,p,q$ карты умножения и проекции $A\times _{k}A\to A$соответственно. Элемент $\operatorname {Pic} ^{0}(A)$ называется линейным расслоением степени 0 на A .

Тогда A сопоставляется двойственное абелево многообразие A ^v (над тем же полем), что является решением следующей проблемы модулей . Семейство линейных расслоений степени 0, параметризованное k -многообразием T , называется линейным расслоением L на A × T такой, что

1. для всех $t\in T$, ограничение L на A ×{ t } представляет собой линейное расслоение степени 0,
2. ограничение L на {0}× T является тривиальным линейным расслоением (здесь 0 — тождество A ).

Тогда существует разновидность А ^v и линейный пучок $P\to A\times A^{\vee }$, называемое расслоением Пуанкаре, которое представляет собой семейство линейных расслоений степени 0, параметризованное A ^v в смысле приведенного выше определения. Более того, это семейство универсально, т. е. любому семейству L , параметризованному T , сопоставлен единственный морфизм f : T → A ^v так что L изоморфен обратному образу P вдоль морфизма 1 _A × f : A × T → A × A ^v . Применяя это к случаю, когда T — точка, мы видим, что точки A ^v соответствуют линейным расслоениям степени 0 на A существует естественная групповая операция , поэтому на A ^v задано тензорным произведением линейных расслоений, что превращает его в абелево многообразие.

На языке представимых функторов полученный результат можно сформулировать следующим образом. Контравариантный функтор, который сопоставляет каждому k -многообразию T множество семейств линейных расслоений степени 0, параметризованных T , и каждому k -морфизму f : T → T' отображение, индуцированное обратным образом с f , представим. Универсальным элементом, представляющим этот функтор, является пара ( A ^v , П ).

Эта ассоциация является двойственностью в том смысле, что существует естественный изоморфизм между двойным двойственным A ^вв и A (определенный через расслоение Пуанкаре) и что он является контравариантным функториалом , т. е. он сопоставляет всем морфизмам f : A → B двойственные морфизмы f ^v : Б ^v → А ^v совместимым способом. n -кручение абелева многообразия и n -кручение его двойственного многообразия двойственны друг другу, когда n взаимно просто с характеристикой базы. В общем случае - для всех n двойственных -круговые абелевых групповые схемы многообразий являются двойственными по Картье друг другу. Это обобщает спаривание Вейля для эллиптических кривых.

История

Теория впервые была облечена в хорошую форму, когда К было полем комплексных чисел . В этом случае существует общая форма двойственности между многообразием Альбанезе полного многообразия V и его многообразием Пикара ; это было реализовано для определений в терминах комплексных торов , как только Андре Вейль дал общее определение многообразия Альбанезе. Для абелева многообразия A многообразие Альбанезе само является A , поэтому двойственным должно быть Pic ⁰ ( А ), связный компонент единичного элемента того, что в современной терминологии называется схемой Пикара .

В случае якобианского многообразия J компактной римановой поверхности C выбор главной поляризации J J приводит к отождествлению . с собственным многообразием Пикара В каком-то смысле это всего лишь следствие теоремы Абеля . Для общих абелевых многообразий, по-прежнему над комплексными числами, A находится в том же классе изогении , что и двойственное ему многообразие. Явная изогения может быть построена с помощью обратимого пучка L на A (т.е. в данном случае голоморфного линейного расслоения ), когда подгруппа

К ( Л )

переводов на L , которые переводят L в изоморфную копию, само по себе конечно. В этом случае частное

А / К ( Л )

изоморфно двойственному абелеву многообразию Â .

Эта конструкция Â распространяется на любое поле K характеристики нулевой . В терминах этого определения расслоение Пуанкаре , универсальное линейное расслоение, может быть определено на

А × В. ​

Конструкция, когда K имеет характеристику p , использует теорию схем . Определение K ( L ) должно быть дано в терминах групповой схемы , которая является теоретико-схемным стабилизатором , и взятый фактор теперь является фактором по подгрупповой схеме.

Двойная

Позволять $f:A\to B$быть изогенией абелевых многообразий. (То есть, $f$ конечно-единично и сюръективно.) Построим изогению ${\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}$ используя функториальное описание ${\hat {A}}$, который говорит, что данные карты ${\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}$ то же самое, что задать семейство линейных расслоений нулевой степени на $A$, параметризованный ${\hat {B}}$.

Для этого рассмотрим изогению $f\times 1_{\hat {B}}:A\times {\hat {B}}\to B\times {\hat {B}}$ и $(f\times 1_{\hat {B}})^{*}P_{B}$ где $P_{B}$ — расслоение Пуанкаре для $B$. Тогда это и есть требуемое семейство линейных расслоений нулевой степени на $A$.

Тогда согласно вышеупомянутому функториальному описанию существует морфизм ${\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}$ так что $({\hat {f}}\times 1_{A})^{*}P_{A}\cong (f\times 1_{\hat {B}})^{*}P_{B}$. Используя это описание, можно показать, что эта карта является изогенией той же степени, что и $f$, и это ${\hat {\hat {f}}}=f$.

Таким образом, мы получаем контравариантный эндофунктор на категории абелевых многообразий, который приводится в единицу. Этот вид функтора часто называют дуализирующим функтором .

Теорема Мукая

Знаменитая теорема Мукая утверждает, что существует изоморфизм производных категорий $D^{b}(A)\cong D^{b}({\hat {A}})$, где $D^{b}(X)$обозначает ограниченную производную категорию когерентных пучков на X . Исторически это было первое использование преобразования Фурье-Мукаи , которое показывает, что ограниченная производная категория не обязательно может различать неизоморфные многообразия.

Напомним, что если X и Y — многообразия и ${\mathcal {K}}\in D^{b}(X\times Y)$ представляет собой комплекс когерентных пучков, определим преобразование Фурье-Мукаи $\Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)$ быть составом $\Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}(\cdot )=Rq_{*}({\mathcal {K}}\otimes _{L}Lp^{*}(\cdot ))$, где p и q — проекции на X и Y соответственно.

Обратите внимание, что $p$ является плоским и, следовательно, $p^{*}$ точен на уровне когерентных пучков, а в приложениях ${\mathcal {K}}$часто представляет собой расслоение строк, поэтому в приведенном выше выражении обычно можно оставить левые производные функторы. Отметим также, что аналогично можно определить преобразование Фурье-Мукаи $\Phi _{\mathcal {K}}^{Y\to X}$ используя то же ядро, просто меняя местами карты проекций в формуле.

Тогда формулировка теоремы Мукая будет следующей.

Теорема: Пусть A — абелевое многообразие размерности g и $P_{A}$ расслоение Пуанкаре на $A\times {\hat {A}}$. Затем, $\Phi _{P_{A}}^{{\hat {A}}\to A}\circ \Phi _{P_{A}}^{A\to {\hat {A}}}\cong \iota ^{*}[-g]$, где $\iota :A\to A$ – карта инверсии, а $[-g]$является функтором сдвига. В частности, $\Phi _{P_{A}}^{A\to {\hat {A}}}$ является изоморфизмом.

Ссылки

• Милн, Джеймс С. (2008). Абелевы разновидности (v2.00) (PDF) .

• Мамфорд, Дэвид (1985). Абелевы разновидности (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-560528-0 .

• Бхатт, Бхаргав (2017). Абелевы разновидности (PDF) .

Эта статья включает в себя материал из Dual isogeny на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .