Группа Пикарда

Не путать с модульной группой Пикара .

В математике группа Пикара кольцевого пространства X , обозначаемая Pic( X ), представляет собой группу изоморфизма классов обратимых пучков (или линейных расслоений ) на X , с групповой операцией, являющейся тензорным произведением . Эта конструкция представляет собой глобальную версию конструкции группы классов дивизоров или группы идеальных классов и широко используется в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий .

В качестве альтернативы группу Пикара можно определить как пучков когомологий. группу

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,$

Для интегральных схем группа Пикара изоморфна группе классов дивизоров Картье . Для комплексных многообразий последовательность экспоненциальных пучков дает основную информацию о группе Пикара.

Название дано в честь Эмиля Пикара теорий , в частности, о дивизорах на алгебраических поверхностях .

Примеры

• Группа Пикара спектра дедекиндовой области является ее идеальной группой классов .
• Обратимые пучки на проективном пространстве P ^н ( k для k поля – скручивающие ) пучки ${\mathcal {O}}(m),\,$ поэтому группа Пикара P ^н ( k изоморфен Z. )
• Группа Пикара аффинной прямой с двумя началами над k изоморфна Z .
• Группа Пикара $n$-мерное комплексное аффинное пространство : $\operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0$, действительно, экспоненциальная последовательность дает следующую длинную точную последовательность в когомологиях

  $\dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots$

и поскольку $H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )$ у нас есть $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0$ потому что $\mathbb {C} ^{n}$ сжимаема, то $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })$ и мы можем применить изоморфизм Дольбо для вычисления $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0$ по лемме Дольбо-Гротендика .

Схема Пикара

Построение структуры схемы на ( представимой функторной версии) группы Пикара, схемы Пикара , является важным шагом в алгебраической геометрии, в частности в теории двойственности абелевых многообразий . Он был построен Гротендиком (1962) , а также описан Мамфордом (1966) и Клейманом (2005) .

В наиболее важных для классической алгебраической геометрии случаях для неособого полного многообразия V над полем связная нулевой характеристики компонента единицы в схеме Пикара представляет собой абелево многообразие, называемое многообразием Пикара и обозначаемое Pic ⁰ ( В ). Двойственным многообразию Пикара является многообразие Альбанезе в частном случае, когда — кривая, многообразие Пикара естественно изоморфно якобиану многообразия V. , и V Однако для полей положительной характеристики Игуса построил пример гладкой проективной поверхности S с Pic ⁰ ( S ) неприведенное и, следовательно, не абелевое многообразие .

Фактор Pic( V )/Pic ⁰ ( V ) — конечно порожденная абелева группа, NS( V ), группа Нерона – Севери V обозначаемая . Другими словами, группа Пикара укладывается в точную последовательность

$1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,$

Тот факт, что ранг NS( V ) конечен, является теоремой Франческо Севери о базе ; ранг — это число Пикара V V , часто обозначаемое ρ( ) . Геометрически NS( V ) описывает алгебраической эквивалентности классы дивизоров на V ; то есть, используя более сильное, нелинейное отношение эквивалентности вместо линейной эквивалентности делителей , классификация становится подходящей для дискретных инвариантов. Алгебраическая эквивалентность тесно связана с числовой эквивалентностью , по существу топологической классификацией по числам пересечений .

схема

Пусть f : X → S — морфизм схем. Относительный функтор Пикара (или относительная схема Пикара, если это схема) определяется следующим образом: для любой S -схемы T ,

$\operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))$

где $f_{T}:X_{T}\to T$ — базовое изменение f и f _T ^* это откат.

Мы говорим L в $\operatorname {Pic} _{X/S}(T)$ имеет степень r, если для любой геометрической точки s → T обратный образ $s^{*}L$ L r вдоль s имеет степень ( как обратимый пучок над слоем X _s когда степень определена для группы Пикара X _s ).

См. также

• Когомологии пучков
• Сорт чау
• Делитель Картье
• Голоморфное линейное расслоение
• Идеальная группа класса
• Arakelov class group
• Групповой стек
• Категория Пикарда

Ссылки

• Гротендик, А. (1962), диаграммы В. Пикара. Теоремы существования , Семинар Бурбаки, т. 1, с. 14: 1961/62 год, лекции 223-240, вып. 7, нет разговора. 232, с. 143–161
• Гротендик, А. (1962), VI. Схема Пикара. Общие свойства , Семинар Бурбаки, т. 1, с. 14: 1961/62 год, лекции 223-240, вып. 7, нет разговора. 236, с. 221–243
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , МР   0463157 , OCLC   13348052
• Игуса, Дзюн-Ичи (1955), «О некоторых задачах абстрактной алгебраической геометрии», Proc. Натл. акад. наук. США , 41 (11): 964–967, Bibcode : 1955PNAS...41..964I , doi : 10.1073/pnas.41.11.964 , PMC   534315 , PMID   16589782
• Клейман, Стивен Л. (2005), «Схема Пикара», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Матем. Обзоры Моногр., вып. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 235–321, arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K , MR   2223410
• Мамфорд, Дэвид (1966), Лекции по кривым на алгебраической поверхности , Анналы математических исследований, том. 59, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-07993-6 , МР   0209285 , OCLC   171541070
• Мамфорд, Дэвид (1970), абелевы разновидности , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN  978-0-19-560528-0 , OCLC   138290