Альбанский сорт

В математике разновидность Альбанезе $A(V)$ , названный в честь Джакомо Альбанезе , является обобщением якобиана многообразия кривой.

Точное утверждение

Альбанезе — абелева разновидность. $A$ созданный различными $V$ взяв заданную точку $V$ к личности $A$ . Другими словами, существует морфизм из многообразия $V$ к его албанской разновидности $\operatorname {Alb} (V)$ , такой, что любой морфизм из $V$ к абелеву многообразию (приводя данную точку к тождеству) факторизуется однозначно через $\operatorname {Alb} (V)$ . Для комплексных многообразий Андре Бланшар ( 1956 ) аналогичным образом определил многообразие Альбанезе как морфизм из $V$ к тору $\operatorname {Alb} (V)$ такой, что любой морфизм тора проходит через это отображение однозначно. (В данном случае это аналитическое многообразие; оно не обязательно должно быть алгебраическим.)

Характеристики

Для компактных кэлеровых многообразий размерность многообразия Альбанезе равна числу Ходжа. $h^{1,0}$ , размерность пространства дифференциалов первого рода на $V$ , что для поверхностей называется неровностью поверхности . В терминах дифференциальных форм любая голоморфная 1-форма на $V$ является возвратом трансляционно-инвариантной 1-формы на многообразии Альбанезе, происходящей из голоморфного кокасательного пространства $\operatorname {Alb} (V)$ в его идентификационном элементе. Как и в случае кривой, путем выбора базовой точки на $V$ (из которого «интегрировать»), морфизм Альбанезе

V\to \operatorname {Alb} (V)

определяется, по которому 1-формы отступают. Этот морфизм уникален с точностью до трансляции на многообразии Альбанезе. Для многообразий над полями положительной характеристики размерность многообразия Альбанезе может быть меньше чисел Ходжа. $h^{1,0}$ и $h^{0,1}$ (которые не обязательно должны быть равны). Чтобы увидеть первое, обратите внимание, что многообразие Альбанезе двойственно многообразию Пикара , касательное пространство которого в единице определяется выражением $H^{1}(X,O_{X}).$ Что $\dim \operatorname {Alb} (X)\leq h^{1,0}$ является результатом Дзюнъити Игуса в библиографии.

Теорема Ройтмана

Если основное поле k , алгебраически замкнуто то отображение Альбанезе $V\to \operatorname {Alb} (V)$ можно показать, что он факторизуется по групповому гомоморфизму (также называемому отображением Альбанезе )

CH_{0}(V)\to \operatorname {Alb} (V)(k)

от группы Чжоу 0-мерных циклов на V к группе рациональных точек $\operatorname {Alb} (V)$ , которая является абелевой группой, поскольку $\operatorname {Alb} (V)$ является абелевым многообразием.

Теорема Ройтмана , введенная А. А. Ройтманом ( 1980 ), утверждает, что для l, простого с char( k ), отображение Альбанезе индуцирует изоморфизм на l -крученных подгруппах. ^[1]^[2]Ограничение на простоту порядка кручения характеристике основного поля было снято Милном. ^[3] вскоре после этого: торсионная подгруппа $\operatorname {CH} _{0}(X)$ и периодическая подгруппа k -значных точек многообразия Альбанезе X совпадают.

Замена группы Чоу алгебраическими сингулярными гомологиями Суслина–Воеводского после введения когомологий Мотивика. Теорема Ройтмана была получена и переформулирована в мотивной структуре. Например, аналогичный результат справедлив для неособых квазипроективных многообразий. ^[4] дальнейшие версии теоремы Ройтмана . Для нормальных схем доступны ^[5] Фактически, наиболее общие формулировки теоремы Ройтмана (т.е. гомологическая, когомологическая и формулировка Бореля – Мура ) включают мотивный комплекс Альбанезе. $\operatorname {LAlb} (V)$ и были доказаны Лукой Барбьери-Виале и Бруно Каном (см. ссылки III.13).

Связь с сортом Пикард

Многообразие Альбанезе двойственно многообразию Пикара ( связная компонента нуля схемы Пикара, классифицирующая обратимые пучки на V ):

\operatorname {Alb} V=(\operatorname {Pic} _{0}V)^{\vee }.

Для алгебраических кривых из теоремы Абеля–Якоби следует, что многообразия Альбанезе и Пикара изоморфны.

См. также

Примечания и ссылки

^ Ройтман, А.А. (1980). «Кручение группы 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности». Анналы математики . Вторая серия. 111 (3): 553–569. дои : 10.2307/1971109 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1971109 . МР 0577137 .
^ Блох, Спенсер (1979). «Крученые алгебраические циклы и теорема Ройтмана» . Математическая композиция . 39 (1). МР 0539002 .
^ Милн, Дж. С. (1982). «Нулевые циклы на алгебраических многообразиях с ненулевой характеристикой: теорема Ройтмана» . Математическая композиция . 47 (3): 271–287.
^ Шпионы, Майкл; Самуэли, Тамаш (2003). «Об отображении Альбанезе для гладких квазипроективных многообразий». Математические летописи . 325 : 1–17. arXiv : math/0009017 . дои : 10.1007/s00208-002-0359-8 . S2CID 14014858 .
^ Гейссер, Томас (2015). «Теорема Ройтмана для нормальных схем». Письма о математических исследованиях . 22 (4): 1129–1144. arXiv : 1402.1831 . дои : 10.4310/MRL.2015.v22.n4.a8 . S2CID 59423465 .

Барбьери-Виале, Лука; Кан, Бруно (2016), О производной категории 1-мотивов , Asterisque, vol. 381, SMF, arXiv : 1009.1900 , ISBN 978-2-85629-818-3 , ISSN 0303-1179 , МР 3545132
Бланшар, Андре (1956), «О комплексных аналитических многообразиях», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 73 (2): 157–202, doi : 10.24033/asens.1045 , ISSN 0012-9593 , MR 0087184
Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джо (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. стр. 331, 552. ISBN. 978-0-471-05059-9 .
Игуса, Дзюнъити (1955). «Фундаментальное неравенство в теории многообразий Пикара» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 41 (5): 317–20. Бибкод : 1955ПНАС...41..317И . дои : 10.1073/pnas.41.5.317 . ПМК 528086 . ПМИД 16589672 .
Паршин, Алексей Н. (2001) [1994], «Альбанское_разнообразие» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Ройтман, А.А. (1980). «Кручение группы 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности». Анналы математики . Вторая серия. 111 (3): 553–569. дои : 10.2307/1971109 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1971109 . МР 0577137 .

[2] Блох, Спенсер (1979). «Крученые алгебраические циклы и теорема Ройтмана» . Математическая композиция . 39 (1). МР 0539002 .

[3] Милн, Дж. С. (1982). «Нулевые циклы на алгебраических многообразиях с ненулевой характеристикой: теорема Ройтмана» . Математическая композиция . 47 (3): 271–287.

[4] Шпионы, Майкл; Самуэли, Тамаш (2003). «Об отображении Альбанезе для гладких квазипроективных многообразий». Математические летописи . 325 : 1–17. arXiv : math/0009017 . дои : 10.1007/s00208-002-0359-8 . S2CID 14014858 .

[5] Гейссер, Томас (2015). «Теорема Ройтмана для нормальных схем». Письма о математических исследованиях . 22 (4): 1129–1144. arXiv : 1402.1831 . дои : 10.4310/MRL.2015.v22.n4.a8 . S2CID 59423465 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]