Средний якобиан

В математике промежуточный якобиан компактного кэлерова многообразия или структуры Ходжа представляет собой комплексный тор , который является общим обобщением якобиана кривой , многообразия Пикара и многообразия Альбанезе . Его получают нанесением сложной структуры на тор $H^{n}(M,\mathbb {R} )/H^{n}(M,\mathbb {Z} )$ для n нечетно. Существует несколько различных естественных способов придать этому тору сложную структуру, давая несколько различных типов промежуточных якобианов, в том числе один, предложенный Андре Вейлем ( 1952 ), и один, предложенный Филлипом Гриффитсом ( 1968 , 1968b ). Многообразия, построенные Вейлем, имеют естественную поляризацию, если M проективно, как и абелевы многообразия, тогда как многообразия, построенные Гриффитсом, хорошо ведут себя при голоморфных деформациях .

Комплексная структура в вещественном векторном пространстве задается автоморфизмом I с квадратом $-1$ . Сложные конструкции на $H^{n}(M,\mathbb {R} )$ определяются с помощью разложения Ходжа

H^{n}(M,{\mathbb {R} })\otimes {\mathbb {C} }=H^{n,0}(M)\oplus \cdots \oplus H^{0,n}(M).

На $H^{p,q}$ комплексная структура Вейля $I_{W}$ это умножение на $i^{p-q}$ , а комплексная структура Гриффитса $I_{G}$ это умножение на $i$ если $p>q$ и $-i$ если $p<q$ . Обе эти сложные структуры отображают $H^{n}(M,\mathbb {R} )$ в себя и таким образом определил на нем сложные структуры.

Для $n=1$ промежуточный якобиан — это многообразие Пикара , а для $n=2\dim(M)-1$ это сорт Альбанезе . В этих двух крайних случаях конструкции Вейля и Гриффитса эквивалентны.

Клеменс и Гриффитс (1972) что неособые кубические трехмерные многообразия нерациональны использовали промежуточные якобианы, чтобы показать , , даже если они унирациональны .

См. также

Когомологии Делиня

Ссылки

Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филлип А. (1972), «Промежуточный якобиан тройного кубического многообразия», Annals of Mathematics , Second Series, 95 (2): 281–356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550 , doi : 10.2307/1970801 , ISSN 0003 -486X , JSTOR 1970801 , MR 0302652
Гриффитс, Филлип А. (1968), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях. I. Конструкция и свойства модулярных многообразий», American Journal of Mathematics , 90 (2): 568–626, doi : 10.2307/2373545 , ISSN 0002 -9327 , JSTOR 2373545 , MR 0229641
Гриффитс, Филлип А. (1968b), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях. II. Локальное исследование отображения периодов», American Journal of Mathematics , 90 (3): 805–865, doi : 10.2307/2373485 , ISSN 0002- 9327 , JSTOR 2373485 , MR 0233825
Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9 , МР 1288523
Куликов, Вик.С. (2001) [1994], «Промежуточный якобиан» , Энциклопедия математики , EMS Press
Вейл, Андре (1952), «О многообразиях Пикара», Американский журнал математики , 74 (4): 865–894, doi : 10.2307/2372230 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372230 , MR 0050330

Эта алгебраической геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .