Когомологии Делиня

В математике когомологии Делиня — это гиперкогомологии комплекса Делиня комплексного многообразия . Она была введена Пьером Делинем в неопубликованной работе примерно в 1972 году как теория когомологий алгебраических многообразий , включающая как обычные когомологии, так и промежуточные якобианы .

Вводные сведения о когомологиях Делиня см. в Brylinski (2008 , раздел 1.5), Esnault & Viehweg (1988) и Gomi (2009 , раздел 2).

Определение [ править ]

Аналитический комплекс Делиня Z ( p ) _{D, an} на комплексном аналитическом многообразии X есть

$0\rightarrow \mathbf {Z} (p)\rightarrow \Omega _{X}^{0}\rightarrow \Omega _{X}^{1}\rightarrow \cdots \rightarrow \Omega _{X}^{p-1}\rightarrow 0\rightarrow \dots$

где Z ( p ) = (2π i) ^пЗ. В зависимости от контекста, $\Omega _{X}^{*}$ является либо комплексом гладких (т. е. C ^∞) дифференциальных форм или голоморфных форм соответственно. Когомологии Делиня H q
D,an ( X , Z ( p )) — q -я гиперкогомология комплекса Делиня. Альтернативное определение этого комплекса дается как гомотопический предел ^[1] диаграммы

${\begin{matrix}&&\mathbb {Z} \\&&\downarrow \\\Omega _{X}^{\bullet \geq p}&\to &\Omega _{X}^{\bullet }\end{matrix}}$

Свойства [ править ]

Группы когомологий Делинья H q
D ( X , Z ( p )) можно описать геометрически, особенно в низких степенях. При p = 0 она по определению согласуется с q -й сингулярной группой когомологий (с Z -коэффициентами). При q = 2 и p = 1 он изоморфен группе классов изоморфизма гладкого (или голоморфного, в зависимости от контекста) принципала C ^×-расслоения над X . При p = q = 2 это группа классов изоморфизма C ^×- пучки с подключением . Для q = 3 и p описания в терминах гербов = 2 или 3 доступны ( Брылински (2008) ). Это было обобщено до описания более высоких степеней в терминах итерированной классификации пространств и связей в них ( Гайер (1997) ).

Связь с классами Ходжа [ править ]

Напомним, есть подгруппа ${\text{Hdg}}^{p}(X)\subset H^{p,p}(X)$ целочисленных классов когомологий в $H^{2p}(X)$ называется группой классов Ходжа. Существует точная последовательность, связывающая когомологии Делиня, их промежуточные якобианы и эту группу классов Ходжа как короткую точную последовательность

$0\to J^{2p-1}(X)\to H_{\mathcal {D}}^{2p}(X,\mathbb {Z} (p))\to {\text{Hdg}}^{2p}(X)\to 0$

Приложения [ править ]

Когомологии Делиня используются для формулирования гипотез Бейлинсона о специальных значениях L-функций .

Расширения [ править ]

Существует расширение когомологий Делиня, определенное для любого симметричного спектра $E$ ^[1] где $\pi _{i}(E)\otimes \mathbb {C} =0$ для $i$ нечетный, который можно сравнить с обычными когомологиями Делиня на комплексных аналитических многообразиях.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Хопкинс, Майкл Дж.; Квик, Гереон (март 2015 г.). «Ходж отфильтровал сложный бордизм». Журнал топологии . 8 (1): 147–183. arXiv : 1212.2173 . дои : 10.1112/jtopol/jtu021 . S2CID 16757713 .

Когомологии Делиня-Бейлинсона
Геометрия когомологий Делиня
Заметки о дифференциальных когомологиях и гербах
Скрученные гладкие когомологии Делиня
Гипотеза Блоха, когомологии Делиня и высшие группы Чоу
Брылински, Жан-Люк (2008) [1993], Пространства петель, характеристические классы и геометрическое квантование , Modern Birkhäuser Classics, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4731-5 , ISBN 978-0-8176-4730-8 , МР 2362847
Эно, Элен; Фивег, Эккарт (1988), «Когомологии Делиня-Бейлинсона» (PDF) , гипотезы Бейлинсона о специальных значениях L-функций , Перспектива. Матем., вып. 4, Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 43–91, ISBN. 978-0-12-581120-0 , МР 0944991
, Павел (1997), «Геометрия дифференциальных когомологий», 127 ( 1 ): 155–207, arXiv : alg-geom/9601025 , Bibcode : 1996InMat . , Inventiones Mathematicae Гайер , ISSN 0020-9910 , S2CID
Гоми, Киёнори (2009), «Проективные унитарные представления гладких групп когомологий Делиня», Journal of Geometry and Physics , 59 (9): 1339–1356, arXiv : math/0510187 , Bibcode : 2009JGP....59.1339G , doi : 10.1016/j.geomphys.2009.06.012 , ISSN 0393-0440 , MR 2541824 , S2CID 17437631

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Хопкинс, Майкл Дж.; Квик, Гереон (март 2015 г.). «Ходж отфильтровал сложный бордизм». Журнал топологии . 8 (1): 147–183. arXiv : 1212.2173 . дои : 10.1112/jtopol/jtu021 . S2CID 16757713 .

[1]