Когомологии Делиня

В математике когомологии Делиня — это гиперкогомологии комплекса Делиня комплексного многообразия . Она была введена Пьером Делинем в неопубликованной работе примерно в 1972 году как теория когомологий алгебраических многообразий , включающая как обычные когомологии, так и промежуточные якобианы .

Вводные сведения о когомологиях Делиня см. в Brylinski (2008 , раздел 1.5), Esnault & Viehweg (1988) и Gomi (2009 , раздел 2).

Определение

Аналитический комплекс Делиня Z ( p ) _{D, an} на комплексном аналитическом многообразии X есть

$0\rightarrow \mathbf {Z} (p)\rightarrow \Omega _{X}^{0}\rightarrow \Omega _{X}^{1}\rightarrow \cdots \rightarrow \Omega _{X}^{p-1}\rightarrow 0\rightarrow \dots$

где Z ( p ) = (2π i) ^п З. ​В зависимости от контекста, $\Omega _{X}^{*}$ является либо комплексом гладких (т. е. C ^∞ ) дифференциальных форм или голоморфных форм соответственно.Когомологии Делиня H   q
D,an   ( X , Z ( p )) — q -я гиперкогомология комплекса Делиня. Альтернативное определение этого комплекса дается как гомотопический предел диаграммы

${\begin{matrix}&&\mathbb {Z} \\&&\downarrow \\\Omega _{X}^{\bullet \geq p}&\to &\Omega _{X}^{\bullet }\end{matrix}}$

Свойства

Группы когомологий Делинья H   q
D   ( X , Z ( p )) можно описать геометрически, особенно в низких степенях. При p = 0 она по определению согласуется с q -й сингулярной группой когомологий (с Z -коэффициентами). При q = 2 и p = 1 он изоморфен группе классов изоморфизма гладкого (или голоморфного, в зависимости от контекста) принципала C ^× -расслоения над X . При p = q = 2 это группа классов изоморфизма C ^× - пучки с подключением . Для q = 3 и p описания в терминах гербов = 2 или 3 доступны ( Брылински (2008) ). Это было обобщено до описания более высоких степеней в терминах итерированной классификации пространств и связей в них ( Гайер (1997) ).

Связь с классами Ходжа

Напомним, есть подгруппа ${\text{Hdg}}^{p}(X)\subset H^{p,p}(X)$ целочисленных классов когомологий в $H^{2p}(X)$ называется группой классов Ходжа. Существует точная последовательность, связывающая когомологии Делиня, их промежуточные якобианы и эту группу классов Ходжа как короткую точную последовательность

$0\to J^{2p-1}(X)\to H_{\mathcal {D}}^{2p}(X,\mathbb {Z} (p))\to {\text{Hdg}}^{2p}(X)\to 0$

Приложения

Когомологии Делиня используются для формулирования гипотез Бейлинсона о специальных значениях L-функций .

Расширения

Существует расширение когомологий Делиня, определенное для любого симметричного спектра $E$ где $\pi _{i}(E)\otimes \mathbb {C} =0$ для $i$ нечетный, который можно сравнить с обычными когомологиями Делиня на комплексных аналитических многообразиях.

См. также

• Bundle gerbe
• Мотивические когомологии
• Структура Ходжа
• Средний якобиан

Ссылки

• Когомологии Делиня-Бейлинсона
• Геометрия когомологий Делиня
• Заметки о дифференциальных когомологиях и гербах
• Скрученные гладкие когомологии Делиня
• Гипотеза Блоха, когомологии Делиня и высшие группы Чоу
• Брылински, Жан-Люк (2008) [1993], Пространства петель, характеристические классы и геометрическое квантование , Modern Birkhäuser Classics, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4731-5 , ISBN  978-0-8176-4730-8 , МР   2362847
• Эно, Элен; Фивег, Эккарт (1988), «Когомологии Делиня-Бейлинсона» (PDF) , гипотезы Бейлинсона о специальных значениях L-функций , Перспектива. Матем., вып. 4, Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 43–91, ISBN.  978-0-12-581120-0 , МР   0944991
• Гайер, Павел (1997), «Геометрия дифференциальных когомологий», Mathematicae , 127 (1):155–207, alg - /9601025 , Bibcode : 1996InMat Inventiones ISSN arXiv : . geom   0020-9910 ,  S2CID
• Гоми, Киёнори (2009), «Проективные унитарные представления гладких групп когомологий Делиня», Journal of Geometry and Physics , 59 (9): 1339–1356, arXiv : math/0510187 , Bibcode : 2009JGP....59.1339G , doi : 10.1016/j.geomphys.2009.06.012 , ISSN   0393-0440 , MR   2541824 , S2CID   17437631