Gerbe

Чтобы узнать о других значениях, см. Gerbe (значения) .

В математике герб ​ ( / dʒ ɜːr b / ; Французский: [ʒɛʁb] ) — конструкция в гомологической алгебре и топологии . Гербы были введены Жаном Жиро ( Giraud 1971 ) в соответствии с идеями Александра Гротендика как инструмент для некоммутативных когомологий степени 2. Их можно рассматривать как аналог расслоений , где слой представляет собой классифицирующий стек группы. Гербесы предоставляют удобный, хотя и очень абстрактный язык для решения многих типов вопросов деформации , особенно в современной алгебраической геометрии . Кроме того, в последнее время специальные случаи гербов стали использоваться в дифференциальной топологии и дифференциальной геометрии, чтобы дать альтернативные описания определенным классам когомологий и дополнительным структурам, прикрепленным к ним.

«Gerbe» — французское (и архаичное английское) слово, которое буквально означает пшеницы сноп .

Определения

в

Гербе на топологическом пространстве $S$ это стек ${\mathcal {X}}$ группоидов ​ над $S$ ( локально непустой каждая точка $p\in S$ имеет открытое окружение $U_{p}$ над которым находится категория раздела ${\mathcal {X}}(U_{p})$ герба не пуста) и транзитивным (для любых двух объектов $a$ и $b$ из ${\mathcal {X}}(U)$ для любого открытого набора $U$, имеется открытое покрытие ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ из $U$ такие, что ограничения $a$ и $b$ каждому $U_{i}$ связаны хотя бы одним морфизмом).

Канонический пример — гербе $BH$ главных расслоений с фиксированной структурной группой $H$: категория раздела открытого набора $U$ это категория принципала $H$-связки на $U$ с изоморфизмом в качестве морфизмов (таким образом, категория является группоидом). Поскольку главные пучки склеиваются (удовлетворяют условию спуска), эти группоиды образуют стек. Тривиальный пакет $X\times H\to X$ показывает, что локальное условие непустоты удовлетворено, и, наконец, поскольку главные расслоения локально тривиальны, они становятся изоморфными, если ограничиваться достаточно малыми открытыми множествами; таким образом, условие транзитивности также выполнено.

Снопы на сайте

Наиболее общее определение гербов дано на сайте . Учитывая сайт ${\mathcal {C}}$ а ${\mathcal {C}}$-gerbe $G$ — категория, расслоенная на группоиды $G\to {\mathcal {C}}$ такой, что

1. Существует уточнение ${\mathcal {C}}'$ из ${\mathcal {C}}$ такой, что для каждого объекта $S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}}')$ соответствующая расслоенная категория $G_{S}$ не пусто
2. Для каждого $S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})$ любые два объекта в расслоенной категории $G_{S}$ локально изоморфны

Обратите внимание, что для сайта ${\mathcal {C}}$ с конечным объектом $e$, категория, расслоенная на группоиды $G\to {\mathcal {C}}$ это ${\mathcal {C}}$-gerbe допускает локальную секцию, то есть удовлетворяет первой аксиоме, если ${\text{Ob}}(G_{e})\neq \varnothing$.

Мотивация для связок на сайте

Одной из основных мотиваций рассмотрения гербов на сайте является рассмотрение следующего наивного вопроса: если группа когомологий Чеха $H^{1}({\mathcal {U}},G)$ для подходящего покрытия ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ пространства $X$ дает классы изоморфизма главных $G$-связывается $X$, что означает итерированный функтор когомологий $H^{1}(-,H^{1}(-,G))$ представлять? То есть мы склеиваем группы $H^{1}(U_{i},G)$ через какой-то один коцикл. Гербы являются техническим ответом на этот вопрос: они дают геометрическое представление элементов в группе высших когомологий. $H^{2}({\mathcal {U}},G)$. Ожидается, что эта интуиция будет справедлива и для более высоких гербов .

классификация

Одной из основных теорем, касающихся гербов, является их когомологическая классификация, если они имеют группы автоморфизмов, заданные фиксированным пучком абелевых групп. ${\underline {L}}$, называется группой. Для гербе ${\mathcal {X}}$ на сайте ${\mathcal {C}}$, объект $U\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})$и объект $x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}}(U))$группа автоморфизмов герба определяется как группа автоморфизмов $L={\underline {\text{Aut}}}_{{\mathcal {X}}(U)}(x)$. Обратите внимание, что это корректно определено, если группа автоморфизмов всегда одна и та же. Учитывая покрытие ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\to X\}_{i\in I}$, существует связанный класс

$c({\underline {L}})\in H^{3}(X,{\underline {L}})$

представляющий класс изоморфизма герба ${\mathcal {X}}$ окруженный $L$.Например, в топологии многие примеры гербов можно построить, рассматривая гербы, объединенные группой $U(1)$. В качестве классифицирующего пространства $B(U(1))=K(\mathbb {Z} ,2)$ - это второе пространство Эйленберга – Маклейна для целых чисел, герб расслоения, полосатый $U(1)$ в топологическом пространстве $X$ построен из гомотопического класса отображений в

$[X,B^{2}(U(1))]=[X,K(\mathbb {Z} ,3)]$,

что в точности является третьей особой группой гомологий $H^{3}(X,\mathbb {Z} )$. Было найдено что все гербы, представляющие классы торсионных когомологий в $H^{3}(X,\mathbb {Z} )$ представлены пучком конечномерных алгебр ${\text{End}}(V)$ для фиксированного комплексного векторного пространства $V$. Кроме того, некрученные классы представляются как бесконечномерные главные расслоения. $PU({\mathcal {H}})$ проективной группы унитарных операторов на фиксированном бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$. Обратите внимание, что это определение корректно, поскольку все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны пространству последовательностей, суммируемых с квадратом. $\ell ^{2}$.Гомотопическая интерпретация гербов основана на рассмотрении квадрата гомотопического слоя.

${\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &B^{2}U(1)\end{matrix}}$

аналогично тому, как линейное расслоение получается из квадрата гомотопического слоя

${\begin{matrix}L&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &BU(1)\end{matrix}}$

где $BU(1)\simeq K(\mathbb {Z} ,2)$, давая $H^{2}(S,\mathbb {Z} )$ как группа классов изоморфизма линейных расслоений на $S$.

Примеры

C*-алгебры

Существуют естественные примеры Герба, возникающие при изучении алгебры комплекснозначных функций с компактным носителем в паракомпактном пространстве. $X$^{стр. 3} . Учитывая обложку ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}$ из $X$ существует группоид Чеха, определяемый как

${\mathcal {G}}=\left\{\coprod _{i,j}U_{ij}\rightrightarrows \coprod U_{i}\right\}$

с исходными и целевыми картами, заданными включениями

${\begin{aligned}s:U_{ij}\hookrightarrow U_{j}\\t:U_{ij}\hookrightarrow U_{i}\end{aligned}}$

и пространство составных стрелок просто

$\coprod _{i,j,k}U_{ijk}$

Тогда класс когомологий степени 2 $\sigma \in H^{2}(X;U(1))$ это просто карта

$\sigma :\coprod U_{ijk}\to U(1)$

Тогда мы можем сформировать некоммутативную C*-алгебру $C_{c}({\mathcal {G}}(\sigma ))$, которому соответствует множество компактных комплексных функций пространства

${\mathcal {G}}_{1}=\coprod _{i,j}U_{ij}$

Он имеет некоммутативный продукт, заданный формулой

$a*b(x,i,k):=\sum _{j}a(x,i,j)b(x,j,k)\sigma (x,i,j,k)$

где класс когомологий $\sigma$ крутит умножение стандарта $C^{*}$-алгебраическое произведение.

Алгебраическая геометрия

Позволять $M$ быть многообразием над алгебраически замкнутым полем $k$, $G$ алгебраическая группа , например $\mathbb {G} _{m}$. Напомним, что G -торсор над $M$ это алгебраическое пространство $P$ с действием $G$ и карта $\pi :P\to M$, такой, что локально на $M$ (в этальной топологии или топологии fppf ) $\pi$ это прямой продукт $\pi |_{U}:G\times U\to U$. G - герб над M может быть определен аналогичным образом. Это стек Артина ${\mathcal {M}}$ с картой $\pi \colon {\mathcal {M}}\to M$, такой, что локально на M (в этальной топологии или топологии fppf) $\pi$ это прямой продукт $\pi |_{U}\colon \mathrm {B} G\times U\to U$. Здесь $BG$ обозначает классифицирующий стек $G$, то есть частное $[*/G]$ точки тривиальным $G$-действие. В этом случае нет необходимости навязывать совместимость со структурой группы, поскольку она предусмотрена определением стека. Базовые топологические пространства ${\mathcal {M}}$ и $M$ одинаковы, но в ${\mathcal {M}}$ каждая точка снабжена группой стабилизаторов, изоморфной $G$.

Из двучленных комплексов когерентных пучков

Каждый двучленный комплекс когерентных пучков

${\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {E}}^{-1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}]$

по схеме $X\in {\text{Sch}}$ имеет связанный с ним канонический пучок группоидов, где на открытом подмножестве $U\subseteq X$ существует двухчленный комплекс $X(U)$-модули

${\mathcal {E}}^{-1}(U)\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}(U)$

давая группоид. Он имеет объекты, заданные элементами $x\in {\mathcal {E}}^{0}(U)$ и морфизм $x\to x'$ задается элементом $y\in {\mathcal {E}}^{-1}(U)$ такой, что

$dy+x=x'$

Чтобы эта стопка была гербом, пучок когомологий ${\mathcal {H}}^{0}({\mathcal {E}})$ всегда должен иметь раздел. Эта гипотеза подразумевает, что категория, построенная выше, всегда имеет объекты. Обратите внимание, что это можно применить к ситуации комодулей над алгеброидами Хопфа для построения алгебраических моделей гербов над аффинными или проективными стопками (проективность, если градуированный алгеброид Хопфа используется ). Кроме того, двухчленные спектры стабилизации производной категории комодулей алгеброидов Хопфа $(A,\Gamma )$ с $\Gamma$ ровно над $A$ приведите дополнительные модели гербов, которые не являются строгими .

Стек модулей стабильных связок на кривой

Рассмотрим гладкую проективную кривую $C$ над $k$ рода $g>1$. Позволять ${\mathcal {M}}_{r,d}^{s}$ — стек модулей стабильных векторных расслоений на $C$ ранга $r$ и степень $d$. Он имеет грубое пространство модулей $M_{r,d}^{s}$, которое является квазипроективным многообразием . Эти две задачи модулей параметризуют одни и те же объекты, но стековая версия запоминает автоморфизмы векторных расслоений. Для любого стабильного векторного расслоения $E$ группа автоморфизмов $Aut(E)$ состоит только из скалярных умножений, поэтому каждая точка стека модулей имеет стабилизатор, изоморфный $\mathbb {G} _{m}$. Оказывается, карта ${\mathcal {M}}_{r,d}^{s}\to M_{r,d}^{s}$ действительно является $\mathbb {G} _{m}$-gerbe в смысле выше. Это тривиальный герб тогда и только тогда, когда $r$ и $d$ взаимнопросты ​ .

Корневые стеки

Другой класс гербов можно найти с помощью построения корневых стеков. Неофициально $r$-й корневой стек линейного пакета $L\to S$ над схемой находится пространство, представляющее $r$-й корень из $L$ и обозначается

${\sqrt[{r}]{L/S}}.\,$^{стр. 52}

The $r$-й корневой стек $L$ имеет собственность

$\bigotimes ^{r}{\sqrt[{r}]{L/S}}\cong L$

как гербы. Он построен как стек

${\sqrt[{r}]{L/S}}:(\operatorname {Sch} /S)^{op}\to \operatorname {Grpd}$

отправка $S$-схема $T\to S$ к категории, объектами которой являются линейные расслоения вида

$\left\{(M\to T,\alpha _{M}):\alpha _{M}:M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T\right\}$

а морфизмы — это коммутативные диаграммы, совместимые с изоморфизмами $\alpha _{M}$. Этот герб опоясан алгебраической группой корней из единицы. $\mu _{r}$, где на обложке $T\to S$ он действует в точке $(M\to T,\alpha _{M})$ циклически переставляя множители $M$ в $M^{\otimes r}$. Геометрически эти стопки образуются как произведение волокон стопок

${\begin{matrix}X\times _{B\mathbb {G} _{m}}B\mathbb {G} _{m}&\to &B\mathbb {G} _{m}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &B\mathbb {G} _{m}\end{matrix}}$

где вертикальная карта $B\mathbb {G} _{m}\to B\mathbb {G} _{m}$ происходит из последовательности Куммера

$1\xrightarrow {} \mu _{r}\xrightarrow {} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {(\cdot )^{r}} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {} 1$

Это потому, что $B\mathbb {G} _{m}$ - пространство модулей линейных расслоений, поэтому линейное расслоение $L\to S$ соответствует объекту категории $B\mathbb {G} _{m}(S)$ (рассматривается как точка пространства модулей).

Корневые стеки с разделами

Существует еще одно родственное построение корневых стеков с секциями. Учитывая приведенные выше данные, пусть $s:S\to L$ быть разделом. Тогда $r$-й корневой стек пары $(L\to S,s)$ определяется как нестрогий 2-функтор

${\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}:(\operatorname {Sch} /S)^{op}\to \operatorname {Grpd}$

отправка $S$-схема $T\to S$ к категории, объектами которой являются линейные расслоения вида

$\left\{(M\to T,\alpha _{M},t):{\begin{aligned}&\alpha _{M}:M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T\\&t\in \Gamma (T,M)\\&\alpha _{M}(t^{\otimes r})=s\end{aligned}}\right\}$

и морфизмы задаются аналогично. Эти стеки могут быть построены очень явно и хорошо понятны для аффинных схем. Фактически они образуют аффинные модели корневых стеков с секциями. Учитывая аффинную схему $S={\text{Spec}}(A)$, все линейные расслоения тривиальны, следовательно $L\cong {\mathcal {O}}_{S}$ и любой раздел $s$ эквивалентно взятию элемента $s\in A$. Тогда стек определяется коэффициентом стека

${\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}=[{\text{Spec}}(B)/\mu _{r}]$

с

$B={\frac {A[x]}{x^{r}-s}}$

Если $s=0$ то это дает бесконечно малое расширение $[{\text{Spec}}(A)/\mu _{r}]$.

из

Эти и более общие виды гербов возникают в нескольких контекстах как как геометрические пространства, так и как формальные инструменты бухгалтерского учета:

• Алгебры Азумая
• Деформации бесконечно малых утолщений
• Скрученные формы проективных многообразий
• Функторы волокон для мотивов

Дифференциальная геометрия

• $H^{3}(X,\mathbb {Z} )$ и ${\mathcal {O}}_{X}^{*}$-пучки: Жана-Люка Брылински подход

История

Гербес впервые появился в контексте алгебраической геометрии . Впоследствии они были развиты Брылински в более традиционной геометрической форме ( Брылински, 1993 ). Можно думать о гербах как о естественной ступени в иерархии математических объектов, обеспечивающей геометрическую реализацию целых классов когомологий .

Более специализированное понятие герба было введено Мюрреем и названо гербами-связками . По сути, они представляют собой гладкую версию абелевых гербов, принадлежащих скорее к иерархии, начинающейся с главных пучков , чем с пучков. Гербы связки использовались в калибровочной теории , а также в теории струн . Текущая работа других авторов развивает теорию неабелевых расслоений .

См. также

• Витой сноп
• Azumaya algebra
• Извращенная К-теория
• Алгебраический стек
• Bundle gerbe
• Группа строк

Ссылки

• Жиро, Жан (1971), Неабелевы когомологии , Springer , ISBN  3-540-05307-7 .
• Брылински, Жан-Люк (1993), Пространство петель, характеристические классы и геометрическое квантование , Birkhäuser Verlag , ISBN  0-8176-3644-7 .

Внешние ссылки

Вводные статьи

• Конструкции с расслоением Гербесов - Стюарт Джонсон
• Введение в гербы на орбифолдах , Эрнесто Луперсио, Бернадо Урибе.
• Что такое Гербе? , Найджел Хитчин в «Уведомлениях AMS»
• Связка гербов , Майкл Мюррей.
• Мурдейк, Ике . «Введение в язык стеков и гербов» . Проверено 20 мая 2007 г.

Пучки в топологии

• Гомотопическая теория предпучков симплициальных группоидов , Чжи-Мин Ло

К

• Скрученная K-теория и K-теория расслоенных гербов
• Искривленные расслоения и искривленная K-теория — Каруби

Приложения в теории струн

• Стабильные особенности в теории струн - в приложении содержатся примеры гербов с использованием группы Брауэра.
• Браны о групповых многообразиях, глюонных конденсатах и ​​скрученной K-теории
• Лекции по специальным лагранжевым подмногообразиям - Очень практичное введение с приложениями к зеркальной симметрии
• Базовый герб над компактной простой группой Ли . Предоставляет методы описания таких групп, как группа String, как герб.