Bundle gerbe

В математике расслоенный герб — это геометрическая модель некоторых 1- гербов со связностью или, что то же самое, 2-класса в когомологиях Делиня .

Топология

$U(1)$- главные расслоения в пространстве $M$ (см. расслоение кругов ) являются геометрическими реализациями 1-классов в когомологиях Делиня, которые состоят из связностей 1-форм и кривизн 2-форм. Топология $U(1)$ расслоение классифицируется по классу Черна , который является элементом $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$, вторая целая когомология $M$.

Гербы , или, точнее, 1-гербы, представляют собой абстрактные описания 2-классов Делиня, каждый из которых определяет элемент $H^{3}(M,\mathbb {Z} )$, третьи целые когомологии M .

Как класс когомологий в когомологиях Делиня.

Напомним, для гладкого многообразия $M$ p-я группа когомологий Делиня определяется гиперкогомологиями комплекса $$\mathbb {Z} (q)_{D}^{\infty }={\underline {\mathbb {Z} }}(q)\to {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{0}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{1}\xrightarrow {d} \cdots \xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{q-1}$$ называется комплексом Делиня веса q , где ${\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{k}$ — пучок ростков гладких дифференциальных k-форм, тензорированных с $\mathbb {C}$. Итак, пишем $$\mathbb {H} _{D}^{*}(M,\mathbb {Z} (q)_{D}^{\infty })$$ для групп когомологий Делиня веса $q$. В случае $q=3$ тогда комплекс Делинь $${\underline {\mathbb {Z} }}(3)\to {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{0}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{1}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{2}$$Мы можем понять группы когомологий Делиня, взглянув на резолюцию Чеха, дающую двойной комплекс. Существует также соответствующая короткая точная последовательность $$0\to {\frac {{\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl}}{{\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl,0}}}\to \mathbb {H} ^{3}(M,\mathbb {Z} (3)_{D}^{\infty })\to H^{3}(M,\mathbb {Z} )\to 0$$ где ${\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl}$ являются замкнутыми ростками комплекснозначных 2-форм на $M$ и ${\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl,0}$ – подпространство таких форм, в которых интегралы периода являются целыми. Это можно использовать, чтобы показать $H^{3}(M,\mathbb {Z} )$ являются классами изоморфизма $\mathbb {C} ^{*}$ расслоения-гербы на гладком многообразии $M$или, что то же самое, классы изоморфизма $B\mathbb {C} ^{*}$-связки на $M$.

История

Исторически наиболее популярной конструкцией герба является теоретико-категорная теории гербов Жиро, которые представляют собой грубо говоря пучки группоидов модель, представленная в над M .

В 1994 году Мюррей ввел расслоенные гербы, которые являются геометрическими реализациями 1-гербов.Во многих целях они более пригодны для вычислений, чем реализация Жиро, поскольку их построение полностью находится в рамках классической геометрии. Фактически, как следует из названия, они представляют собой пучки волокон .

В следующем году это понятие было распространено на высшие гербы.

Связь с искаженной K -теорией

В искривленной K-теории и K-теории расслоения Гербеса авторы определили модули гербов расслоений и использовали это для определения K-теории гербов расслоений. Затем они показали, что эта K-теория изоморфна скрученной K-теории Розенберга и обеспечивает конструкцию, не требующую анализа .

Кроме того, они определили понятие скрученного характера Черна , который является характеристическим классом элемента скрученной K-теории. Скрученный характер Черна — это дифференциальная форма , представляющая класс скрученных когомологий относительно нильпотентного оператора $$d+H$$где $d$ — обычная внешняя производная и твист $H$ является закрытой 3-формой. Эта конструкция была распространена на эквивариантную К-теорию и голоморфную К-теорию Матаи и Стивенсоном.

Связь с теорией поля

Гербы расслоений также появились в контексте конформных теорий поля . Гаведски и Рейс интерпретировали термин Весса-Зумино в модели Весса-Зумино-Виттена (WZW) распространения струн на групповом многообразии как соединение расслоенного герба. Урс Шрайбер , Кристоф Швайгерт и Конрад Вальдорф использовали эту конструкцию для расширения моделей WZW на неориентированные поверхности и, в более общем плане, глобальной связи Калба-Рамонда на неориентированные струны.

Более подробную информацию можно узнать в кафе n-Category :

• Связка Гербесов: общая идея и определение
• Связки шкивов: соединения и поверхностный транспорт

См. также

• Gerbe
• Орбифолд

Ссылки

• Связка гербов от Майкла Мюррея.
• Введение в комплекты гербов , Майкл Мюррей.
• Нонабелевские расслоения Гербесов, их дифференциальная геометрия и калибровочная теория , Паоло Аскьери, Луиджи Кантини и Бранислав Юрко.
• Сбор венков на arxiv.org

В теории струн

• WZW браны и струны