Твист (математика)

В дифференциальной геометрии ленты это — . ее скорость осевого вращения скручивание Пусть ленточка $(X,U)$ состоять из пространственной кривой $X=X(s)$ , где $s$ длина дуги $X$ , и $U=U(s)$ единичный вектор нормали , перпендикулярный в каждой точке к $X$ . Поскольку лента $(X,U)$ имеет края $X$ и $X'=X+\varepsilon U$ , поворот (или общее количество поворотов ) $Tw$ измеряет среднюю намотку краевой кривой $X'$ вокруг и вдоль осевой кривой $X$ . Согласно Лаву (1944), твист определяется как

Tw={\dfrac {1}{2\pi }}\int \left(U\times {\dfrac {dU}{ds}}\right)\cdot {\dfrac {dX}{ds}}ds\;,

где $dX/ds$ - единичный касательный вектор к $X$ .Общее количество скруток $Tw$ можно разложить (Moffatt & Ricca 1992) на нормализованное полное кручение. $T\in [0,1)$ и внутренний поворот $N\in \mathbb {Z}$ как

Tw={\dfrac {1}{2\pi }}\int \tau \;ds+{\dfrac {\left[\Theta \right]_{X}}{2\pi }}=T+N\;,

где $\tau =\tau (s)$ это кручение пространственной кривой $X$ , и $\left[\Theta \right]_{X}$ обозначает общий угол поворота $U$ вдоль $X$ . Ни один $N$ ни $Tw$ не зависят от поля ленты $U$ . Вместо этого только нормализованное кручение $T$ является инвариантом кривой $X$ (Банчофф и Уайт, 1975).

Когда лента деформируется так, что проходит через перегибное состояние (т.е. $X$ имеет точку перегиба ), кручение $\tau$ становится единичным. Полное кручение $T$ прыгает мимо $\pm 1$ и общий угол $N$ одновременно совершает равный и противоположный прыжок $\mp 1$ (Моффатт и Рикка, 1992) и $Tw$ остается непрерывным. Такое поведение имеет множество важных последствий для энергетических соображений во многих областях науки (Рикка 1997, 2005; Гориели 2006).

Вместе с корчой $Wr$ из $X$ , твист — геометрическая величина, играющая важную роль в применении формулы Кэлугэряну–Уайта–Фуллера. $Lk=Wr+Tw$ в топологической гидродинамике (из-за ее тесной связи с кинетической и магнитной спиральностью векторного поля), теории физических узлов и структурной сложности анализе .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Банчофф, Т.Ф. и Уайт, Дж.Х. (1975) Поведение полного поворота и числа самосвязывания кривой в замкнутом пространстве при инверсиях. Математика. Скан. 36 , 254–262.
Гориели, А. (2006) Скрученные упругие кольца и повторное открытие нестабильности Мичелла. Дж Эластичность 84 , 281-299.
Лав, AEH (1944) Трактат по математической теории упругости . Дувр, 4-е изд., Нью-Йорк.
Моффатт, Х.К. и Рикка, Р.Л. (1992) Спиральность и инвариант Калугаряну. Учеб. Р. Сок. Лондон А 439 , 411-429. Также в: (1995) Узлы и приложения (под ред. Л. Х. Кауфмана), стр. 251–269. Всемирная научная.
Рикка, Р.Л. (1997)Эволюция и изгибная нестабильность скрученных трубок магнитного потока. Физика Солнца 172 , 241-248.
Рикка, Р.Л. (2005)Изгибное неравновесие трубок магнитного потока. Исследования гидродинамики 36 , 319-332.