Топологическая гидродинамика

Топологические идеи актуальны для гидродинамики (в том числе магнитогидродинамики ) на кинематическом уровне, поскольку любое течение жидкости предполагает непрерывную деформацию любого переносимого скалярного или векторного поля. Проблемы перемешивания и смешивания особенно чувствительны к топологическим методам. Так, например, классификация Терстона-Нильсена была плодотворно применена к проблеме двумерного перемешивания любым количеством мешалок в соответствии с периодическим во времени «протоколом перемешивания» (Boyland, Aref & Stremler 2000). Другие исследования посвящены потокам с хаотичными траекториями движения частиц и связанными с ними экспоненциальными скоростями смешивания (Оттино, 1989).

На динамическом уровне перенос вихревых линий любым потоком, подчиняющимся классическим уравнениям Эйлера, предполагает сохранение любой вихревой структуры внутри потока. Такие структуры характеризуются, по крайней мере частично, спиральностью определенных подобластей поля течения, топологическим инвариантом уравнений. Спиральность играет центральную роль в теории динамо , теории спонтанной генерации магнитных полей в звездах и планетах (Моффатт 1978, Паркер 1979, Краузе и Рэдлер 1980). Известно, что, за немногими исключениями, любой статистически однородный турбулентный поток, имеющий ненулевую среднюю спиральность на достаточно большом пространстве проводящей жидкости, будет генерировать крупномасштабное магнитное поле за счет действия динамо. Сами такие поля обладают магнитной спиральностью , отражающей их собственную топологически нетривиальную структуру.

Большой интерес представляет определение состояний минимальной энергии при заданной топологии. многие задачи гидродинамики и магнитогидродинамики К этой категории относятся . Недавние разработки в области топологической гидродинамики включают также приложения к магнитным косам в солнечной короне , завязыванию ДНК топоизомеразами , запутанности полимеров в химической физике и хаотическому поведению в динамических системах. Математическое введение в этот предмет дано Арнольдом и Хесином (1998), а недавние обзорные статьи и материалы можно найти в Ricca (2009) и Moffatt, Bajer & Kimura (2013).

Топология также имеет решающее значение для структуры нейтральных поверхностей в жидкости (например, в океане), где уравнение состояния нелинейно зависит от множества компонентов (например, солености и тепла). Жидкие пакеты сохраняют нейтральную плавучесть при движении по нейтральным поверхностям, несмотря на изменения солености и тепла. На таких поверхностях соленость и тепло функционально связаны, но эта функция многозначна . Пространственными областями, в которых эта функция становится однозначной, являются те, где имеется не более одного контура солености (или тепла) на одно изозначение, и это в точности области, связанные с каждым ребром графика Риба солености (или тепла) на поверхность (Стэнли, 2019).

Ссылки

• Арнольд В.И. и Хесин Б.А. (1998) Топологические методы в гидродинамике . Прикладные математические науки 125 , Springer-Verlag. ISBN   9780387949475
• Бойланд, П.Л., Ареф, Х. и Стремлер, М.А. (2000) Топологическая механика перемешивания жидкости . J.Fluid Mech. 403 , стр. 277–304.
• Краузе Ф. и Рэдлер К.-Х. (1980) Магнитогидродинамика среднего поля и теория динамо . Пергамон Пресс, Оксфорд. ISBN   9780080250410
• Моффатт, Гонконг (1978) Генерация магнитного поля в электропроводящих жидкостях . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN   9780521216401
• Моффат, Х.К. , Баер, К., и Кимура, Ю. (ред.) (2013) Топологическая гидродинамика, теория и приложения . Клювер.
• Оттино, Дж. (1989) Кинематика смешивания: растяжение, хаос и перенос . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN   9780521368780
• Паркер, Э.Н. (1979) Космические магнитные поля: их происхождение и активность . Оксфордский университет. Нажимать. ISBN   9780198512905
• Рикка, Р.Л. (ред.) (2009) Лекции по топологической механике жидкости . Конспекты лекций Springer-CIME по математике, 1973 г. Спрингер-Верлаг. Гейдельберг, Германия. ISBN   9783642008368
• Стэнли, Дж. Дж., 2019: Топология нейтральной поверхности . Моделирование океана 138, 88–106.