Магнитная спиральность

В плазмы физике магнитная спиральность является мерой связи, скручивания и скручивания магнитного поля .

Магнитная спиральность - важное понятие при анализе астрофизических систем. Динамика магнитной спиральности также важна при анализе солнечных вспышек и корональных выбросов массы. Магнитная спиральность присутствует в солнечном ветре . Его сохранение имеет важное значение в процессах динамо , а также играет роль в исследованиях термоядерного синтеза , таких как эксперименты по пинчу с обратным полем .

Когда магнитное поле содержит магнитную спиральность, оно имеет тенденцию образовывать крупномасштабные структуры из мелкомасштабных. Этот процесс можно назвать обратным переносом в пространстве Фурье . Это свойство увеличения масштаба структур делает магнитную спиральность особенной в трех измерениях, поскольку другие трехмерные потоки в обычной механике жидкости являются противоположными, турбулентными и имеющими тенденцию «разрушать» структуру в том смысле, что крупномасштабные вихри распадаться на более мелкие, пока не рассеется за счет вязких эффектов в тепло. В параллельном, но инвертированном процессе происходит обратное для магнитных вихрей, когда небольшие спиральные структуры с ненулевой магнитной спиральностью объединяются и образуют крупномасштабные магнитные поля. Это видно по динамике гелиосферного токового слоя , крупная магнитная структура в Солнечной системе .

Математическое определение

Как правило, спиральность $H^{\mathbf {f} }$ гладкого векторного поля $\mathbf {f}$ ограничивается объемом $V$ является стандартной мерой степени, в которой линии поля наматываются и обвиваются друг вокруг друга. Он определяется как интеграл объема по $V$ скалярного произведения $\mathbf {f}$ и его завиток , $\nabla \times {\mathbf {f} }$:

$H^{\mathbf {f} }=\int _{V}{\mathbf {f} }\cdot \left(\nabla \times {\mathbf {f} }\right)\ dV.$

Магнитная спиральность

Магнитная спиральность $H^{\mathbf {M} }$ - спиральность магнитного векторного потенциала ${\mathbf {A} }$ где $\nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }$ - связанное магнитное поле, ограниченное объемом $V$. Тогда магнитную спиральность можно выразить как

$H^{\mathbf {M} }=\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV.$

Поскольку магнитный векторный потенциал не является калибровочно-инвариантным , магнитная спиральность также не является калибровочно-инвариантной в целом. Как следствие, магнитную спиральность физической системы невозможно измерить напрямую. Однако в определенных условиях и при определенных предположениях можно измерить текущую спиральность системы и из нее, при выполнении дальнейших условий и при дальнейших предположениях, вывести магнитную спиральность.

Магнитная спиральность имеет единицы квадрата магнитного потока : Вб. ² ( квадрат Вебера ) в единицах СИ и Мх ² ( квадрат Максвелла ) в гауссовских единицах .

Текущая спиральность

Текущая спиральность, или спиральность $M^{\mathbf {J} }$ магнитного поля $\mathbf {B}$ ограничивается объемом $V$, можно выразить как

$H^{\mathbf {J} }=\int _{V}{\mathbf {B} }\cdot {\mathbf {J} }\ dV$

где ${\mathbf {J} }=\nabla \times {\mathbf {B} }$ это плотность тока . В отличие от магнитной спиральности, токовая спиральность не является идеальным инвариантом (она не сохраняется, даже если удельное электрическое сопротивление равно нулю).

Рекомендации по измерению

Магнитная спиральность является величиной, зависящей от калибра, потому что $\mathbf {A}$ можно переопределить, добавив к нему градиент ( выбор датчика ). Однако для идеально проводящих границ или периодических систем без суммарного магнитного потока магнитная спиральность, содержащаяся во всей области, является калибровочно-инвариантной, то есть независимо от выбора калибра. Определена калибровочно-инвариантная относительная спиральность для объемов с ненулевым магнитным потоком на граничных поверхностях.

Топологическая интерпретация

Название «спиральность» связано с тем, что траектория частицы жидкости в жидкости со скоростью ${\boldsymbol {v}}$ и завихренность ${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}$ образует спираль в областях, где кинетическая спиральность $\textstyle H^{K}=\int \mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0$. Когда $\textstyle H^{K}>0$, результирующая спираль будет правой, а когда $\textstyle H^{K}<0$ оно левостороннее. Это поведение очень похоже на поведение, обнаруженное для линий магнитного поля.

Области, где магнитная спиральность не равна нулю, также могут содержать другие виды магнитных структур, например, спиральные силовые линии магнитного поля. Магнитная спиральность — это непрерывное обобщение топологической концепции связи числа с дифференциальными величинами, необходимыми для описания магнитного поля. Если числа связи описывают, сколько раз кривые переплетаются между собой, то магнитная спиральность описывает, сколько силовых линий магнитного поля связаны между собой.

Примеры кривых с различными значениями изгиба и скручивания . Магнитная спиральность измеряет сумму этих двух величин для линий магнитного поля. Сумма сохраняется при всех преобразованиях, при которых кривые не разрезаются и не соединяются.

Магнитная спиральность пропорциональна сумме топологических величин, скручивающих и корчащихся для линий магнитного поля. Скручивание — это вращение магнитной трубки вокруг своей оси, а корчание — это вращение самой оси магнитной трубки. Топологические преобразования могут изменить числа скручивания и скручивания, но сохранить их сумму. Поскольку трубки магнитного потока (набор замкнутых петель линий магнитного поля) имеют тенденцию сопротивляться пересечению друг друга в магнитогидродинамических жидкостях, магнитная спиральность очень хорошо сохраняется.

Как и многие величины в электромагнетизме, магнитная спиральность тесно связана с механической спиральностью жидкости , соответствующей величиной для линий потока жидкости, и их динамика взаимосвязана.

Характеристики

Идеальная квадратичная инвариантность

В конце 1950-х годов Лодевийк Вольтьер и Уолтер М. Эльсэссер независимо друг от друга открыли идеальную инвариантность магнитной спиральности. то есть его сохранение, когда удельное сопротивление равно нулю. Доказательство Вольтьера, справедливое для закрытой системы, повторяется в следующем:

В идеальной магнитогидродинамике эволюция магнитного поля и магнитного векторного потенциала во времени может быть выражена с помощью уравнения индукции как

${\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}=\nabla \times ({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }),\quad {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}={\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }+\nabla \Phi ,$

соответственно, где $\nabla \Phi$ — скалярный потенциал , заданный калибровочным условием (см. § Соображения о калибровке ). Выбирая калибровку так, чтобы скалярный потенциал обращался в нуль, $\nabla \Phi =\mathbf {0}$, временная эволюция магнитной спиральности в объеме $V$ дается:

${\begin{aligned}{\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}&=\int _{V}\left({\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\cdot {\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\right)dV\\&=\int _{V}({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} })\cdot {\mathbf {B} }\ dV+\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot \left(\nabla \times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)dV.\end{aligned}}$

Скалярное произведение в подынтегральном выражении первого члена равно нулю, поскольку ${\mathbf {B} }$ ортогонален векторному произведению ${\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }$, а второй член можно проинтегрировать по частям, чтобы получить

${\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=\int _{V}\left(\nabla \times {\mathbf {A} }\right)\cdot {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\ dV+\int _{\partial V}\left({\mathbf {A} }\times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {S}$

где второй член представляет собой поверхностный интеграл по граничной поверхности $\partial V$ закрытой системы. Скалярное произведение в подынтегральном выражении первого члена равно нулю, потому что $\nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }$ ортогонален $\partial {\mathbf {A} }/\partial t.$ Второе слагаемое также обращается в нуль, поскольку движения внутри замкнутой системы не могут влиять на векторный потенциал снаружи, так что на граничной поверхности $\partial {\mathbf {A} }/\partial t=\mathbf {0}$ поскольку магнитный векторный потенциал является непрерывной функцией. Поэтому,

${\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=0,$

и магнитная спиральность идеально сохраняется. Во всех ситуациях, когда магнитная спиральность является калибровочно-инвариантной, магнитная спиральность идеально сохраняется без необходимости выбора конкретной калибровки. $\nabla \Phi =\mathbf {0} .$

Магнитная спиральность сохраняется в хорошем приближении даже при небольшом, но конечном сопротивлении, и в этом случае магнитное пересоединение рассеивает энергию .

Обратная передача

Мелкомасштабные спиральные структуры имеют тенденцию образовывать все более крупные магнитные структуры. Это можно назвать обратным переносом в пространстве Фурье в отличие от (прямого) каскада энергии в трехмерных турбулентных гидродинамических потоках. Возможность такого обратного переноса была впервые предложена Уриэлем Фришем и его сотрудниками. и подтверждено многочисленными численными экспериментами. Как следствие, наличие магнитной спиральности дает возможность объяснить существование и поддержание крупномасштабных магнитных структур во Вселенной.

Аргумент в пользу этого обратного переноса взят из здесь повторяется, что основано на так называемом «условии реализуемости» спектра Фурье магнитной спиральности ${\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}={\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }$ (где ${\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }$ - коэффициент Фурье на волновом векторе ${\mathbf {k} }$ магнитного поля ${\mathbf {B} }$, и аналогично для ${\hat {\mathbf {A} }}$, звездочка обозначает комплексно-сопряженное ). «Условие реализуемости» соответствует применению неравенства Коши-Шварца , которое дает: $$\left|{\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}\right|\leq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|{\mathbf {k} }|}},$$с ${\textstyle E_{\mathbf {k} }^{M}={\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ магнитный энергетический спектр. Для получения этого неравенства необходимо учитывать тот факт, что $|{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }|=|{\mathbf {k} }||{\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }|$ (с ${\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }$ соленоидальная поскольку часть преобразованного Фурье магнитного векторного потенциала, ортогонального волновому вектору в пространстве Фурье), ${\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }=i{\mathbf {k} }\times {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }$. Коэффициент 2 в статье отсутствует. поскольку магнитная спиральность там определяется альтернативно как ${\frac {1}{2}}\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV$.

Тогда можно представить себе начальную ситуацию без поля скорости и магнитного поля, присутствующего только на двух волновых векторах. $\mathbf {p}$ и $\mathbf {q}$. Мы предполагаем полностью винтовое магнитное поле, а значит, оно удовлетворяет условию реализуемости: $\left|{\hat {H}}_{\mathbf {p} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|{\mathbf {p} }|}}$ и $\left|{\hat {H}}_{\mathbf {q} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|{\mathbf {q} }|}}$. Предполагая, что вся передача энергии и магнитной спиральности осуществляется другому волновому вектору. $\mathbf {k}$, сохранение магнитной спиральности с одной стороны и полной энергии $E^{T}=E^{M}+E^{K}$ (сумма магнитной и кинетической энергии), с другой стороны, дает:

$$H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M},$$

$$E_{\mathbf {k} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{T}+E_{\mathbf {q} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}.$$

Второе равенство для энергии исходит из того факта, что мы рассматриваем начальное состояние без кинетической энергии. Тогда мы имеем обязательно $|\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)$. Действительно, если бы мы имели $|\mathbf {k} |>\max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)$, затем:

$$H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M}={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|\mathbf {p} |}}+{\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|\mathbf {q} |}}>{\frac {2\left(E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}\right)}{|\mathbf {k} |}}={\frac {2E_{\mathbf {k} }^{T}}{|\mathbf {k} |}}\geq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|\mathbf {k} |}},$$

что нарушило бы условие реализуемости. Это означает, что $|\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)$. В частности, для $|{\mathbf {p} }|=|{\mathbf {q} }|$, магнитная спиральность переносится на меньший волновой вектор, то есть на большие масштабы.

См. также

• Теорема Вольтьера

Внешние ссылки

• A. A. Pevtsov's Helicity Page
• Митча Бергера публикаций Страница