Энергетический каскад

Визуализация течения турбулентной струи, полученная методом лазерно-индуцированной флуоресценции . Струя имеет широкий диапазон масштабов длины, что является предпосылкой появления энергетического каскада при моделировании турбулентности.

В механике сплошной среды энергетический каскад включает в себя передачу энергии от больших масштабов движения к малым (называемый прямым энергетическим каскадом ) или передачу энергии от малых масштабов к большим (называемый обратным энергетическим каскадом ). Эта передача энергии между различными масштабами требует, чтобы динамика системы была нелинейной . Строго говоря, каскад требует, чтобы передача энергии была локальной по масштабу (только между флуктуациями почти одинакового размера), вызывая каскадный водопад от бассейна к пулу без передачи на большие расстояния в масштабной области.

У больших водоворотов есть маленькие водовороты
которые питаются их скоростью,
И у маленьких водоворотов есть меньшие водовороты
и так далее по вязкости

- Льюис Ф. Ричардсон , 1922 г.

Это понятие играет важную роль при изучении развитой турбулентности . Это было незабываемо выражено в этом стихотворении Льюиса Ф. Ричардсона в 1920-х годах. Энергетические каскады важны также для ветровых волн в теории волновой турбулентности .

Рассмотрим, например, турбулентность, создаваемую воздушным потоком вокруг высокого здания: энергосодержащие вихри, возникающие при отрыве потока, имеют размеры порядка десятков метров. то ниже по течению диссипация вязкостью Где - происходит по большей части в вихрях колмогоровского микромасштаба : порядка миллиметра для данного случая. На этих промежуточных масштабах нет ни прямого воздействия потока, ни значительной вязкой диссипации, но существует чистая нелинейная передача энергии от крупных масштабов к мелким.

Этот промежуточный диапазон масштабов, если он присутствует, называется инерционным поддиапазоном . Динамика на этих масштабах описывается с использованием самоподобия или предположения – для замыкания турбулентности – о статистических свойствах потока в инерционном поддиапазоне. Новаторской работой стал вывод Андреем Колмогоровым в 1940-х годах ожидаемого спектра волновых чисел в инерционном поддиапазоне турбулентности.

Спектры в инерционной поддиапазоне турбулентного течения

Схематическая иллюстрация образования, каскада энергии и диссипации в энергетическом спектре турбулентности.

Самые большие движения или вихри турбулентности содержат большую часть кинетической энергии , тогда как наименьшие вихри ответственны за вязкую диссипацию кинетической энергии турбулентности. Колмогоров предположил, что, когда эти масштабы хорошо разделены, промежуточный диапазон масштабов длин будет статистически изотропным и что его характеристики в равновесии будут зависеть только от скорости, с которой кинетическая энергия рассеивается на малых масштабах. Диссипация – это фрикционное преобразование механической энергии в тепловую . Скорость диссипации, $\varepsilon$, может быть записано через переменную скорость деформации в турбулентном потоке и кинематическую вязкость жидкости, v . Он имеет размеры энергии на единицу массы в секунду. В равновесии производство кинетической энергии турбулентности на больших масштабах движения равно диссипации этой энергии на малых масштабах.

Энергетический спектр турбулентности

Энергетический спектр турбулентности E ( k ) связан со средней кинетической энергией турбулентности на единицу массы следующим образом:

${\frac {1}{2}}\left({\overline {u_{i}u_{i}}}\right)=\int _{0}^{\infty }E(k)\;dk,$

где u _i — компоненты пульсирующей скорости, верхняя черта обозначает среднее значение по ансамблю, суммирование по i подразумевается , а k — волновое число . Таким образом , энергетический спектр E ( k ) представляет собой вклад в кинетическую энергию турбулентности волновых чисел от k до k + d k . Самые большие вихри имеют низкое волновое число, а маленькие вихри имеют высокое волновое число.

Поскольку диффузия протекает как лапласиан скорости, скорость диссипации можно записать через энергетический спектр как:

$\varepsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }k^{2}E(k)\;dk,$

где ν - кинематическая вязкость жидкости. Из этого уравнения снова можно заметить, что диссипация в основном связана с высокими волновыми числами (маленькие вихри), хотя кинетическая энергия связана в основном с более низкими волновыми числами (большие вихри).

Энергетический спектр в инерционном поддиапазоне

Передача энергии от низких волновых чисел к высоким волновым числам представляет собой энергетический каскад. Эта передача переносит кинетическую энергию турбулентности из крупных масштабов в мелкие масштабы, где вязкое трение рассеивает ее. В промежуточном диапазоне масштабов, так называемом инерционном поддиапазоне, гипотезы Колмогорова приводят к следующей универсальной форме энергетического спектра:

$E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}.$

Обширный массив экспериментальных данных подтверждает этот результат в широком диапазоне условий. значение С = 1,5 . Экспериментально наблюдается

Результат $E(k)\sim k^{-5/3}$ Впервые было сформулировано независимо Александром Обуховым в 1941 году. Результат Обухова эквивалентен преобразованию Фурье результата Колмогорова 1941 года. для турбулентной структурной функции.

Спектр колебаний давления

Аналогичным образом можно охарактеризовать колебания давления в турбулентном потоке. Среднеквадратичное колебание давления в турбулентном потоке может быть представлено спектром давления π ( k ):

${\overline {p^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\pi (k)\;dk.$

Для случая турбулентности без градиента средней скорости (изотропная турбулентность) спектр в инерционном поддиапазоне имеет вид

$\pi (k)=\alpha \rho ^{2}\varepsilon ^{4/3}k^{-7/3},$

где ρ — плотность жидкости, а α = 1,32 Кл. ² = 2.97. Градиент скорости среднего потока ( сдвиговой поток ) создает дополнительный, аддитивный вклад в спектр давления инерционного поддиапазона, который изменяется как k ^−11/3 ; но к ^−7/3 поведение доминирует при более высоких волновых числах.

Спектр турбулентных возмущений на свободной поверхности жидкости

Колебания давления под свободной поверхностью жидкости могут вызывать колебательные смещения поверхности жидкости, которые на малых длинах волн модулируются поверхностным натяжением. Это взаимодействие свободной поверхности и турбулентности также можно охарактеризовать спектром волновых чисел . Если δ — мгновенное смещение поверхности от ее среднего положения, среднеквадратичное смещение может быть представлено спектром смещения G ( k ) как:

${\overline {\delta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }G(k)\;dk.$

Трехмерную форму спектра давления можно объединить с уравнением Юнга – Лапласа, чтобы показать, что:

$G(k)\propto k^{-19/3}.$

Экспериментальное наблюдение этого k ^−19/3 Закон получен путем оптических измерений поверхности турбулентных свободных струй жидкости.

Ссылки

• Хорин, А.Дж. (1994), Завихренность и турбулентность , Прикладные математические науки, том. 103, Спрингер, ISBN  978-0-387-94197-4
• Фалькович Г.; Сринивасан, КР (2006), «Уроки гидродинамической турбулентности», Physics Today , 59 (4): 43–49, Бибкод : 2006PhT....59d..43F , doi : 10.1063/1.2207037
• Фриш, У. (1995), Турбулентность: наследие А. Н. Колмогорова , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-45713-2
• Ньюэлл, AC ; Румпф, Б. (2011), «Волновая турбулентность», Annual Review of Fluid Mechanics , 43 (1): 59–78, Бибкод : 2011AnRFM..43...59N , doi : 10.1146/annurev-fluid-122109-160807
• Ричардсон, Л.Ф. (1922), Прогноз погоды с помощью числового процесса , Cambridge University Press, OCLC   3494280

Внешние ссылки

• Г. Фалькович (ред.). «Каскад и масштабирование» . Схоларпедия .