Уравнение индукции

В магнитогидродинамике уравнение индукции представляет собой уравнение в частных производных , которое связывает магнитное поле и скорость электропроводящей жидкости, такой как плазма . Его можно вывести из уравнений Максвелла и закона Ома , и он играет важную роль в физике плазмы и астрофизике , особенно в теории динамо .

Математическое утверждение

Уравнения Максвелла, описывающие законы Фарадея и Ампера, гласят: $$\nabla \times \mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} \over \partial t},$$и $$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} ,$$где:

• $\mathbf {E}$ является электрическое поле.
• $\mathbf {B}$ является магнитное поле.
• $\mu _{0}$ это вакуумная проницаемость .
• $\mathbf {J}$ – плотность электрического тока.

Ток смещения в плазме можно пренебречь, поскольку он пренебрежимо мал по сравнению с током, переносимым свободными зарядами. Исключением являются исключительно высокочастотные явления: например, плазма с типичной электропроводностью 10 ⁷  mho /м ток смещения меньше свободного тока в 10 раз ³ для частот ниже 2 × 10 ¹⁴ Гц.

Электрическое поле можно связать с плотностью тока, используя закон Ома : $$\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\mathbf {J} /\sigma$$где

• $\mathbf {v}$ – поле скоростей .
• $\sigma$ – электропроводность жидкости.

Объединив эти три уравнения, исключив $\mathbf {E}$ и $\mathbf {J}$, дает уравнение индукции для электрорезистивной жидкости : $${\partial \mathbf {B} \over \partial t}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} +\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).$$

Здесь $\eta =1/\mu _{0}\sigma$ – коэффициент магнитной диффузии (в литературе удельное электросопротивление определяется как $1/\sigma$, часто отождествляют с магнитной диффузией).

Если жидкость движется с типичной скоростью $V$ и типичный масштаб длины $L$, затем $$\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \sim {\eta B \over L^{2}},\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\sim {VB \over L}.$$

Отношение этих величин, являющееся безразмерным параметром, называется магнитным числом Рейнольдса : $$R_{m}={LV \over \eta }.$$

Идеально проводящий предел

жидкости с бесконечной электропроводностью Для $\eta \to 0$, первый член уравнения индукции обращается в нуль. Это эквивалентно очень большому магнитному числу Рейнольдса . Например, оно может иметь порядок 10. ⁹ в типичной звезде. В этом случае жидкость можно назвать идеальной или идеальной жидкостью. Итак, уравнение индукции для идеальной проводящей жидкости, такой как большинство астрофизических плазм, имеет вид $${\partial \mathbf {B} \over \partial t}=\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).$$

Это считается хорошим приближением в теории динамо , используемой для объяснения эволюции магнитного поля в астрофизических средах, таких как звезды , галактики и аккреционные диски .

Конвективный предел

В более общем смысле, уравнение предела идеальной проводимости применяется в областях большого пространственного масштаба, а не в бесконечной электропроводности (т.е. $\eta \to 0$), поскольку это также делает магнитное число Рейнольдса очень большим, так что диффузионным членом можно пренебречь. Этот предел называется «идеальной МГД», и его наиболее важной теоремой является теорема Альвена (также называемая теоремой о вмороженном потоке).

Диффузионный предел

Для очень малых магнитных чисел Рейнольдса диффузионный член превосходит конвективный. Например, в электрорезистивной жидкости с большими значениями $\eta$, магнитное поле очень быстро рассеивается, и теорему Альвена нельзя применить. Это означает, что магнитная энергия рассеивается в тепло и другие виды энергии. Тогда уравнение индукции будет иметь вид $${\partial \mathbf {B} \over \partial t}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} .$$

Обычно определяют шкалу времени диссипации $\tau _{d}=L^{2}/\eta$ что представляет собой временной масштаб рассеяния магнитной энергии в масштабе длины $L$.

См. также

• Теорема Альвена
• Магнитогидродинамика
• Уравнения Максвелла