Ток смещения

В электромагнетизме , плотность тока смещения — это величина $\partial D /\partial t,$ фигурирующая в уравнениях Максвелла которая определяется через скорость изменения $D$ , электрического поля смещения . Плотность тока смещения имеет те же единицы измерения, что и плотность электрического тока, и является таким же источником магнитного поля , как и реальный ток. Однако это не электрический ток движущихся зарядов , а изменяющееся во времени электрическое поле . В физических материалах (в отличие от вакуума) также есть вклад небольшого движения зарядов, связанных в атомах, называемый диэлектрической поляризацией .

Идея была высказана Джеймсом Клерком Максвеллом в его статье 1861 года «О физических силовых линиях, часть III» в связи со смещением электрических частиц в диэлектрической среде. Максвелл добавил ток смещения к электрическому току в законе цепи Ампера . В своей статье 1865 года «Динамическая теория электромагнитного поля» Максвелл использовал эту исправленную версию закона цепи Ампера для вывода уравнения электромагнитной волны . Этот вывод сейчас общепризнан как историческая веха в физике благодаря объединению электричества, магнетизма и оптики в одну единую теорию. Член тока смещения теперь рассматривается как решающее дополнение, которое дополнило уравнения Максвелла и необходимо для объяснения многих явлений, в частности существования электромагнитных волн .

Объяснение

Поле электрического смещения определяется как:

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ ,$

где:

$ε 0$ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства;
$E$ – напряженность электрического поля ; и
$P$ – поляризация среды.

Дифференцирование этого уравнения по времени определяет плотность тока смещения , который, следовательно, в диэлектрике имеет две компоненты : ^[1](см. также раздел «Ток смещения» статьи « Плотность тока »)

$\mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,.$

Первое слагаемое в правой части присутствует в материальных средах и в свободном пространстве. Он не обязательно возникает в результате какого-либо фактического движения заряда, но у него есть связанное с ним магнитное поле, точно так же, как ток возникает из-за движения заряда. Некоторые авторы применяют название тока смещения к первому члену отдельно. ^[2]

Второй член в правой части, называемый плотностью тока поляризации, возникает из-за изменения поляризации отдельных молекул диэлектрического материала. Поляризация возникает, когда под действием приложенного электрического поля заряды в молекулах смещаются из положения точного взаимного уничтожения. вызывая увеличение состояния поляризации $P.$ Положительные и отрицательные заряды в молекулах разделяются , Изменение состояния поляризации соответствует движению заряда и поэтому эквивалентно току, отсюда и термин «ток поляризации». Таким образом,

$I_{\mathrm {D} }=\iint _{S}\mathbf {J} _{\mathrm {D} }\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} ={\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} ={\frac {\partial \Phi _{\mathrm {D} }}{\partial t}}\,.$

Эта поляризация и есть ток смещения, как его первоначально предполагал Максвелл. Максвелл не делал специальной трактовки вакуума, рассматривая его как материальную среду. Для Максвелла эффект $P$ заключался просто в изменении относительной диэлектрической проницаемости $ε r$ в соотношении $D = ε 0 ε r E$ .

Современное обоснование тока смещения объясняется ниже.

Изотропный диэлектрический корпус

В случае очень простого диэлектрического материала имеет место определяющее соотношение :

$\mathbf {D} =\varepsilon \,\mathbf {E} ~,$

где диэлектрическая проницаемость $\varepsilon =\varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }$ является продуктом:

$ε 0$ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства , или электрическая постоянная ; и
$ε r$ , относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

В приведенном выше уравнении использование $ε$ учитываетполяризация (если таковая имеется) диэлектрического материала.

Скалярное значение тока смещения также можно выразить через электрический поток :

$I_{\mathrm {D} }=\varepsilon \,{\frac {\,\partial \Phi _{\mathrm {E} }\,}{\partial t}}~.$

Формы в терминах скаляра $ε$ верны только для линейных изотропных материалов. Для линейных неизотропных материалов $ε$ становится матрицей ; в более общем смысле $ε$ можно заменить тензором , который может зависеть от самого электрического поля или может проявлять частотную зависимость (следовательно, дисперсию ).

Для линейного изотропного диэлектрика поляризация $P$ определяется выражением:

$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{\mathrm {e} }\,\mathbf {E} =\varepsilon _{0}(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1)\,\mathbf {E} ~,$

где $χ e$ называется восприимчивостью диэлектрика к электрическим полям. Обратите внимание, что

$\varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\,\varepsilon _{0}=\left(1+\chi _{\mathrm {e} }\right)\,\varepsilon _{0}~.$

Необходимость

Далее следуют некоторые выводы из тока смещения, которые согласуются с экспериментальными наблюдениями и с требованиями логической последовательности теории электромагнетизма.

Обобщение закона циркуляции Ампера

Ток в конденсаторах

Пример, иллюстрирующий необходимость тока смещения, возникает в связи с конденсаторами без среды между обкладками. Рассмотрим зарядный конденсатор на рисунке. Конденсатор находится в цепи, которая вызывает появление равных и противоположных зарядов на левой и правой пластинах, заряжая конденсатор и увеличивая электрическое поле между его пластинами. Фактический заряд не переносится через вакуум между пластинами. Тем не менее между пластинами существует магнитное поле, как если бы там тоже присутствовал ток. Одно из объяснений состоит в том, что в вакууме «течет» ток смещения $ID D$ , и этот ток создает магнитное поле в области между пластинами в соответствии с законом Ампера : ^[3]^[4]

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{\mathrm {D} }~,$

где

$\oint _{C}$ — интеграл по замкнутой линии вокруг некоторой замкнутой кривой $C$ ;
$\mathbf {B}$ – магнитное поле, измеряемое в теслах ;
$\operatorname {\cdot } ~$ — векторное скалярное произведение ;
$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ — бесконечно малый элемент векторной линии вдоль кривой $C$ , то есть вектор с величиной, равной элементу длины $C$ , и направлением, заданным касательной к кривой $C$ ;
$\mu _{0}\,$ — магнитная постоянная , также называемая проницаемостью свободного пространства; и
$I_{\mathrm {D} }\,$ ограниченную кривой $C.$ — чистый ток смещения, проходящий через небольшую поверхность ,

Магнитное поле между пластинами такое же, как и снаружи пластин, поэтому ток смещения должен быть таким же, как ток проводимости в проводах, т. е.

$I_{\mathrm {D} }=I\,,$

что расширяет понятие тока за пределы простого переноса заряда.

Далее этот ток смещения связан с зарядкой конденсатора. Рассмотрим ток в воображаемой цилиндрической поверхности, окружающей левую пластину. Ток, скажем $I$ , проходит наружу через левую поверхность $L$ цилиндра, но никакой ток проводимости (нет переноса реальных зарядов) не пересекает правую $R.$ поверхность Обратите внимание, что электрическое поле $E$ между пластинами увеличивается по мере заряда конденсатора. То есть, способом, описанным законом Гаусса , при условии отсутствия диэлектрика между пластинами:

$Q(t)=\varepsilon _{0}\oint _{S}\mathbf {E} (t)\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} \,,$

где $S$ относится к воображаемой цилиндрической поверхности. Предполагая, что конденсатор с параллельными пластинами имеет однородное электрическое поле и пренебрегая эффектами интерференции по краям пластин, согласно уравнению сохранения заряда

$I=-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=-\varepsilon _{0}\oint _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =S\,\varepsilon _{0}{\Biggl .}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}{\Biggr |}_{R}~,$

где первый член имеет отрицательный знак, поскольку заряд покидает поверхность $L$ (заряд уменьшается), последний член имеет положительный знак, поскольку единичный вектор поверхности $R$ направлен слева направо, а направление электрического поля справа налево, $S$ площадь поверхности $R.$ — Электрическое поле на поверхности $L$ равно нулю, поскольку поверхность $L$ находится снаружи конденсатора. В предположении однородного распределения электрического поля внутри конденсатора плотность тока смещения $J$ _D находится путем деления на площадь поверхности:

$\mathbf {J} _{\mathrm {D} }={\frac {\mathbf {I} _{\mathrm {D} }}{S}}={\frac {\mathbf {I} }{S}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}~,$

где $I$ — ток, выходящий из цилиндрической поверхности (который должен быть равен $I$ _D ), а $D$ _— поток заряда на единицу площади в цилиндрическую поверхность через грань $R.$ J

Объединив эти результаты, магнитное поле находится с использованием интегральной формы закона Ампера с произвольным выбором контура при условии, что к плотности тока проводимости добавляется член плотности тока смещения (уравнение Ампера-Максвелла): ^[5]

$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{S}\left(\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} \,.$

Это уравнение говорит, что интеграл магнитного поля $B$ вокруг края ⁠ $\partial S$ ⁠ поверхности $S$ равен интегральному току $J$ через любую поверхность с тем же краем плюс член тока смещения ⁠ $\varepsilon _{0}\partial \mathbf {E} /\partial t$ ⁠ через любую поверхность.

Как показано на рисунке справа, поверхность $S1 пересечения тока полностью представляет$ собой ток проводимости. Применение уравнения Ампера-Максвелла к поверхности $дает S1$ :

$B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}~.$

Однако поверхность пересечения тока $S 2$ полностью представляет собой ток смещения. Применяя этот закон к поверхности $S2,$ ограниченной точно такой же кривой ⁠ $\partial S$ ⁠ , но лежит между пластинами, производит:

$B={\frac {\mu _{0}I_{\mathrm {D} }}{2\pi r}}~.$

По любой поверхности $S 1$ , пересекающей провод, $ток I,$ проходит поэтому закон Ампера дает правильное магнитное поле. Однако вторая поверхность $S2,$ ограниченная тем же ребром ⁠ $\partial S$ ⁠ может проходить между обкладками конденсатора, поэтому через него не проходит ток. Без члена тока смещения закон Ампера дал бы нулевое магнитное поле для этой поверхности. Следовательно, без члена тока смещения закон Ампера дает противоречивые результаты, магнитное поле будет зависеть от поверхности, выбранной для интегрирования. Таким образом, член тока смещения ⁠ $\varepsilon _{0}\partial \mathbf {E} /\partial t$ ⁠ необходим в качестве второго источника, который дает правильное магнитное поле, когда поверхность интегрирования проходит между пластинами конденсатора. Поскольку ток увеличивает заряд обкладок конденсатора, электрическое поле между обкладками увеличивается, и скорость изменения электрического поля дает правильное значение поля $B,$ найденное выше.

Математическая формулировка

Если говорить более математически, те же результаты можно получить из основных дифференциальных уравнений. Рассмотрим для простоты немагнитную среду, где относительная магнитная проницаемость равна единице, а усложнение тока намагничивания (связанного тока) отсутствует, так что $\mathbf {M} =0$ и $\mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }$ . Ток, выходящий из объема, должен равняться скорости уменьшения заряда в объеме. В дифференциальной форме это уравнение непрерывности принимает вид:

$\nabla \cdot \mathbf {J} _{\mathrm {f} }=-{\frac {\partial \rho _{\mathrm {f} }}{\partial t}}\,,$

где левая часть — дивергенция плотности свободного тока, а правая — скорость убывания плотности свободного заряда. Однако закон Ампера в своей первоначальной форме гласит:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} _{\mathrm {f} }\,,$

откуда следует, что дивергенция текущего члена исчезает, что противоречит уравнению неразрывности. (Исчезновение дивергенции является результатом математического тождества , согласно которому дивергенция витка всегда равна нулю.) Этот конфликт устраняется добавлением тока смещения, как тогда: ^[6]^[7]

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\,,$

и

$\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=0=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {D} \right)\,,$

что согласуется с уравнением непрерывности из-за закона Гаусса :

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {f} }\,.$

Распространение волн

Добавленный ток смещения также приводит к распространению волн, учитывая ротор уравнения для магнитного поля. ^[8]

$\mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.$

Подставляя эту форму вместо $J$ в закон Ампера и предполагая, что нет связанной или свободной плотности тока, влияющей на $J$ :

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} _{\mathrm {D} }\,,$

с результатом:

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {E} \,.$

Однако, $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \,,$

что приводит к волновому уравнению : ^[9] $-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} \,,$

где используется векторное тождество, которое справедливо для любого векторного поля $V (r, t)$ :

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,,$

и то, что дивергенция магнитного поля равна нулю. Идентичное волновое уравнение можно найти для электрического поля, взяв ротор :

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {B} =-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \right)\,.$

Если $J$ , $P$ и $ρ$ равны нулю, результат:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} \,.$

Электрическое поле можно выразить в общем виде:

$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,$

где $φ$ — электрический потенциал (который можно выбрать так, чтобы он удовлетворял уравнению Пуассона ), а $A$ — векторный потенциал (т. е. магнитный векторный потенциал , не путать с площадью поверхности, как $A$ обозначается в другом месте). Компонент $\nabla φ$ в правой части — это компонент закона Гаусса, и именно этот компонент имеет отношение к приведенному выше аргументу о сохранении заряда. Второй член в правой части имеет отношение к уравнению электромагнитных волн, поскольку именно он вносит вклад в $E.$ ротор Из-за векторного тождества, которое гласит, что ротор градиента равен нулю, $\nabla φ$ не вносит вклад в $\nabla\times E$ .

История и интерпретация

Ток смещения Максвелла был постулирован в части III его статьи 1861 года « О физических силовых линиях ». Лишь немногие темы в современной физике вызвали столько путаницы и недоразумений, как вопрос о токе смещения. ^[10] Частично это связано с тем, что Максвелл в своих выводах использовал море молекулярных вихрей, тогда как современные учебники исходят из того, что ток смещения может существовать в свободном пространстве. Вывод Максвелла не связан с современным выводом тока смещения в вакууме, который основан на согласованности между законом цепи Ампера для магнитного поля и уравнением непрерывности для электрического заряда.

Цель Максвелла изложена им в (Часть I, стр. 161):

Теперь я предлагаю изучить магнитные явления с механической точки зрения и определить, какие напряжения или движения среды способны вызывать наблюдаемые механические явления.

Он осторожно указывает, что лечение основано на аналогии:

Автор этого метода представления не пытается объяснить происхождение наблюдаемых сил эффектами, вызванными этими деформациями в упругом твердом теле, а использует математические аналогии обеих задач, чтобы помочь воображению при изучении обеих задач. .

В части III по поводу тока смещения он говорит

Вращающуюся материю я представлял себе как вещество определенных клеток, отделенных друг от друга клеточными стенками, состоящими из частиц, которые очень малы по сравнению с клетками, и что это происходит благодаря движению этих частиц и их тангенциальному действию на вещество в клетках, что вращение передается от одной клетки к другой.

Очевидно, что Максвелл имел в виду намагниченность, хотя в том же введении ясно говорится о поляризации диэлектрика.

Максвелл сравнил скорость электричества, измеренную Вильгельмом Эдуардом Вебером и Рудольфом Кольраушем (193 088 миль в секунду), и скорость света, определенную экспериментом Физо (195 647 миль в секунду). На основании их одинаковой скорости он пришел к выводу, что «свет состоит из поперечных волн в той же среде, которая является причиной электрических и магнитных явлений». ^[11]

Но хотя приведенные выше цитаты указывают на магнитное объяснение тока смещения, например, основанное на расхождении приведенного выше уравнения ротора, объяснение Максвелла в конечном итоге подчеркивает линейную поляризацию диэлектриков:

Это смещение... является началом тока... Величина смещения зависит от природы тела и от электродвижущей силы, так что, если $h$ - смещение, $R -$ электродвижущая сила, а $E$ - коэффициент, зависящий от природа диэлектрика:
$R=-4\pi \mathrm {E} ^{2}h\,;$ а если $r$ — значение электрического тока вследствие смещения $r={\frac {dh}{dt}}\,,$ Эти соотношения не зависят от какой-либо теории механизма диэлектриков; но когда мы обнаруживаем электродвижущую силу, вызывающую электрическое смещение в диэлектрике, и когда мы обнаруживаем, что диэлектрик восстанавливается из состояния электрического смещения... мы не можем не рассматривать эти явления как явления упругого тела, поддающегося давлению и восстанавливающего свою форму. когда давление снято.
- О физических силовых линиях , Часть III, Теория молекулярных вихрей в применении к статическому электричеству , стр. 14–15.

С некоторым изменением символов (и единиц измерения) в сочетании с результатами, полученными в разделе § Ток в конденсаторах ( $r \to J$ , $R \to - E$ и константа материала $E -2 \to 4π ε r ε 0$ эти уравнения принимают знакомую форму для конденсатора с параллельными пластинами с однородным электрическим полем и без учета краевых эффектов по краям пластин:

$J={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{4\pi \mathrm {E} ^{2}}}E={\frac {d}{dt}}\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}E={\frac {d}{dt}}D\,.$

Когда дело дошло до вывода уравнения электромагнитной волны из тока смещения в его статье 1865 года « Динамическая теория электромагнитного поля », он обошел проблему ненулевой дивергенции, связанной с законом Гаусса и диэлектрическим смещением, исключив член Гаусса и вывод волнового уравнения исключительно для вектора соленоидального магнитного поля.

Акцент Максвелла на поляризации отвлек внимание от цепи электрического конденсатора и привел к распространенному мнению, что Максвелл придумал ток смещения, чтобы поддерживать сохранение заряда в цепи электрического конденсатора. Существует множество спорных представлений о мышлении Максвелла, начиная от его предполагаемого стремления усовершенствовать симметрию уравнений поля и кончая стремлением добиться совместимости с уравнением неразрывности. ^[12]^[13]

См. также

Ссылки

^ Джон Д. Джексон (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. п. 238 . ISBN 978-0-471-30932-1 .
^ Например, см. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Пирсон/Эддисон Уэсли. п. 323 . ISBN 978-0-13-805326-0 . и Тай Л. Чоу (2006). Введение в электромагнитную теорию . Джонс и Бартлетт. п. 204. ИСБН 978-0-7637-3827-3 .
^ Палмер, Стюарт Б. и Рогальски, Мирча С. (1996). Высшая университетская физика . Тейлор и Фрэнсис. п. 214. ИСБН 978-2-88449-065-8 – через Google Книги.
^ Сервей, Раймонд А. и Джуэтт, Джон В. (2006). Принципы физики . Томсон Брукс/Коул. п. 807. ИСБН 978-0-534-49143-7 – через Google Книги.
^ Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт и Сэндс, Мэтью (1963). Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. Массачусетс, США: Аддисон-Уэсли. п. 18–4. ISBN 978-0-201-02116-5 – через archive.org.
^ Боннетт, Раймонд и Клод, Шейн (1995). Введение в распространение электромагнитных волн и антенны . Тейлор и Фрэнсис. п. 16. ISBN 978-1-85728-241-2 – через Google Книги.
^ Слейтер, Дж. К. и Франк, Нью-Хэмпшир (1969) [1947]. Электромагнетизм (переиздание). Публикации Courier Dover. п. 84. ИСБН 978-0-486-62263-7 – через Google Книги.
^ Дж. К. Слейтер и Н. Х. Франк (1969). Электромагнетизм (указ. цит. ред.). Курьерская корпорация. п. 91. ИСБН 978-0-486-62263-7 .
^ Дж. Биллингем, AC King (2006). Волновое движение . Издательство Кембриджского университета. п. 182. ИСБН 978-0-521-63450-2 .
^ Дэниел М. Сигел (2003). Новаторство в электромагнитной теории Максвелла . Издательство Кембриджского университета. п. 85. ИСБН 978-0-521-53329-4 .
^ Максвелл, Джеймс К. «О физических силовых линиях, часть III» . Философский журнал .
^ Пол Дж. Нахин (2002). Оливер Хевисайд: жизнь, работа и времена электрического гения викторианской эпохи . Издательство Университета Джонса Хопкинса. п. 109. ИСБН 978-0-8018-6909-9 .
^ Вячеслав Степин (2002). Теоретические знания . Спрингер. п. 202. ИСБН 978-1-4020-3045-1 .

документы Максвелла

О силовых линиях Фарадея Статья Максвелла 1855 года
О физических силовых линиях» 1861 года. Статья Максвелла «
Динамическая теория электромагнитного поля» 1864 года. Статья Максвелла «

Дальнейшее чтение

А. М. Борк Максвелл, Ток смещения и симметрия (1963)
А. М. Борк Максвелл и уравнение электромагнитных волн (1967)

Внешние ссылки

СМИ, связанные с текущим перемещением населения, на Викискладе?

[Jackson-1] Джон Д. Джексон (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. п. 238 . ISBN 978-0-471-30932-1 .

[Griffiths-2] Например, см. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Пирсон/Эддисон Уэсли. п. 323 . ISBN 978-0-13-805326-0 . и Тай Л. Чоу (2006). Введение в электромагнитную теорию . Джонс и Бартлетт. п. 204. ИСБН 978-0-7637-3827-3 .

[Palmer-3] Палмер, Стюарт Б. и Рогальски, Мирча С. (1996). Высшая университетская физика . Тейлор и Фрэнсис. п. 214. ИСБН 978-2-88449-065-8 – через Google Книги.

[Serway-4] Сервей, Раймонд А. и Джуэтт, Джон В. (2006). Принципы физики . Томсон Брукс/Коул. п. 807. ИСБН 978-0-534-49143-7 – через Google Книги.

[Feynman-5] Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт и Сэндс, Мэтью (1963). Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. Массачусетс, США: Аддисон-Уэсли. п. 18–4. ISBN 978-0-201-02116-5 – через archive.org.

[Cloude-6] Боннетт, Раймонд и Клод, Шейн (1995). Введение в распространение электромагнитных волн и антенны . Тейлор и Фрэнсис. п. 16. ISBN 978-1-85728-241-2 – через Google Книги.

[Slater-7] Слейтер, Дж. К. и Франк, Нью-Хэмпшир (1969) [1947]. Электромагнетизм (переиздание). Публикации Courier Dover. п. 84. ИСБН 978-0-486-62263-7 – через Google Книги.

[Slater2-8] Дж. К. Слейтер и Н. Х. Франк (1969). Электромагнетизм (указ. цит. ред.). Курьерская корпорация. п. 91. ИСБН 978-0-486-62263-7 .

[King-9] Дж. Биллингем, AC King (2006). Волновое движение . Издательство Кембриджского университета. п. 182. ИСБН 978-0-521-63450-2 .

[Siegel2-10] Дэниел М. Сигел (2003). Новаторство в электромагнитной теории Максвелла . Издательство Кембриджского университета. п. 85. ИСБН 978-0-521-53329-4 .

[11] Максвелл, Джеймс К. «О физических силовых линиях, часть III» . Философский журнал .

[Nahin-12] Пол Дж. Нахин (2002). Оливер Хевисайд: жизнь, работа и времена электрического гения викторианской эпохи . Издательство Университета Джонса Хопкинса. п. 109. ИСБН 978-0-8018-6909-9 .

[Stepin-13] Вячеслав Степин (2002). Теоретические знания . Спрингер. п. 202. ИСБН 978-1-4020-3045-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]