Относительная диэлектрическая проницаемость

Относительная диэлектрическая проницаемость некоторых материалов при комнатной температуре ниже 1 кГц
Материал	ε _р
Вакуум	1 (по определению)
Воздух	1.000 589 86 ± 0.000 000 50 (при STP , 900 кГц), ^[1]
ПТФЭ /Тефлон	2.1
Полиэтилен /XLPE	2.25
Полиимид	3.4
Полипропилен	2.2–2.36
Полистирол	2.4–2.7
Сероуглерод	2.6
БоПЭТ	3.1 ^[2]
Бумага , печать	1.4 ^[3] (200 кГц)
Электроактивные полимеры	2–12
Слюда	3–6 ^[2]
Диоксид кремния	3.9 ^[4]
Сапфир	8,9–11,1 (анизотропный) ^[5]
Конкретный	4.5
Пирекс ( стекло )	4.7 (3.7–10)
Неопрен	6.7 ^[2]
Натуральная резина	7
Алмаз	5.5–10
Соль	3–15
Меламиновая смола	7.2–8.4 ^[6]
Графит	10–15
Резинка	2.9–4 ^[7]
Кремний	11.68
GaAs	12.4 ^[8]
Нитрид кремния	7–8 (поликристаллический, 1 МГц) ^[9]^[10]
Аммиак	26, 22, 20, 17 (-80, -40, 0, +20 °С)
Метанол	30
Этиленгликоль	37
Фурфурал	42.0
Глицерин	41,2, 47, 42,5 (0, 20, 25 °С)
Вода	87.9, 80.2, 55.5 (0, 20, 100 °С) ^[11] для видимого света: 1,77
Плавиковая кислота	175, 134, 111, 83.6 (-73, -42, -27, 0 °С),
Гидразин	52,0 (20 °С),
формамид	84,0 (20 °С)
Серная кислота	84–100 (20–25 °С)
Пероксид водорода	128 водный –60 (−30–25 °С)
Синильная кислота	158,0–2,3 (0–21 °С)
Диоксид титана	86–173
Титанат стронция	310
Титанат бария-стронция	500
Титанат бария ^[12]	1200–10 000 (20–120 °С)
Цирконат-титанат свинца	500–6000
Сопряженные полимеры	1,8–6 до 100 000 ^[13]
Титанат меди и кальция	>250 000 ^[14]

Относительная диэлектрическая проницаемость (в старых текстах — диэлектрическая проницаемость ) — это диэлектрическая проницаемость материала, выраженная как отношение к электрической проницаемости вакуума . Диэлектрик — это изоляционный материал, а диэлектрическая проницаемость изолятора измеряет способность изолятора сохранять электрическую энергию в электрическом поле.

Диэлектрическая проницаемость — это свойство материала, которое влияет на силу Кулона между двумя точечными зарядами в материале. Относительная диэлектрическая проницаемость — это фактор, на который электрическое поле между зарядами уменьшается по сравнению с вакуумом.

Аналогичным образом, относительная диэлектрическая проницаемость — это отношение емкости конденсатора , использующего этот материал в качестве диэлектрика , по сравнению с аналогичным конденсатором, в котором в качестве диэлектрика используется вакуум. Относительная диэлектрическая проницаемость также широко известна как диэлектрическая проницаемость - термин, который до сих пор используется, но не рекомендуется организациями по стандартизации в инженерной сфере. ^[15] так и по химии. ^[16]

Определение [ править ]

Относительная диэлектрическая проницаемость обычно обозначается как $ε r (ω)$ (иногда $κ$ , строчная каппа ) и определяется как

\varepsilon _{\text{r}}(\omega )={\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}},

где ε ( ω ) — комплексная частотно-зависимая диэлектрическая проницаемость материала, а ε0 _— диэлектрическая проницаемость вакуума .

Относительная диэлектрическая проницаемость — это безразмерное число, которое, как правило, имеет комплексное значение ; его действительная и мнимая части обозначаются как: ^[17]

\varepsilon _{\text{r}}(\omega )=\varepsilon _{\text{r}}'(\omega )-i\varepsilon _{\text{r}}''(\omega ).

Относительная диэлектрическая проницаемость среды связана с ее электрической восприимчивостью ε $χ e$ следующим образом: $r (ω) = 1 + χ e$ .

В анизотропных средах (таких как некубические кристаллы) относительная диэлектрическая проницаемость представляет собой тензор второго ранга .

Относительная диэлектрическая проницаемость материала для нулевой частоты известна как его статическая относительная диэлектрическая проницаемость .

Терминология [ править ]

Исторический термин для относительной диэлектрической проницаемости — диэлектрическая проницаемость . Он до сих пор широко используется, но признан устаревшим организациями по стандартизации. ^[15]^[16] из-за его неоднозначности, поскольку в некоторых более старых отчетах он использовался для обозначения абсолютной диэлектрической проницаемости ε . ^[15]^[18]^[19]Диэлектрическая проницаемость может быть указана либо как статическое свойство, либо как вариант, зависящий от частоты, и в этом случае она также известна как диэлектрическая функция . Он также использовался для обозначения только действительного компонента ε ′ _r комплексной относительной диэлектрической проницаемости. ^{[ нужна цитата ]}

Физика [ править ]

В причинной теории волн диэлектрическая проницаемость является комплексной величиной. Мнимая часть соответствует фазовому сдвигу поляризации $P$ относительно $E$ и приводит к затуханию электромагнитных волн, проходящих через среду. По определению линейная относительная диэлектрическая проницаемость вакуума равна 1, ^[19] то есть ε = ε ₀ , хотя в вакууме существуют теоретические нелинейные квантовые эффекты , которыми можно пренебречь при высоких напряженностях поля. ^[20]

В следующей таблице приведены некоторые типичные значения.

Низкочастотная относительная диэлектрическая проницаемость некоторых распространенных растворителей
Растворитель		Относительная диэлектрическая проницаемость	Температура
C₆H_C6H6	бензол	2.3	298 К (25 °С)
Эт ₂ О	диэтиловый эфир	4.3	293 К (20 °С)
(СН ₂ ) ₄ О	тетрагидрофуран (ТГФ)	7.6	298 К (25 °С)
СН ₂ Cl ₂	дихлорметан	9.1	293 К (20 °С)
NH ₃ ( жидкий )	жидкий аммиак	17	273 К (0 °С)
С ₂ Н ₅ ОН	спирт этиловый	24.3	298 К (25 °С)
СН ₃ ОН	метанол	32.7	298 К (25 °С)
CH₃NO_CH3NO2	нитрометан	35.9	303 К (30 °С)
HCONMe ₂	диметилформамид (ДМФ)	36.7	298 К (25 °С)
СН ₃ CN	ацетонитрил	37.5	293 К (20 °С)
Н ₂ О	вода	78.4	298 К (25 °С)
ХКОНГ ₂	формамид	109	293 К (20 °С)

Относительная низкочастотная диэлектрическая проницаемость льда составляет ~ 96 при -10,8 ° C и падает до 3,15 при высокой частоте, что не зависит от температуры. ^[21] Он остается в диапазоне 3,12–3,19 для частот примерно от 1 МГц до дальней инфракрасной области. ^[22]

Измерение [ править ]

Относительная статическая диэлектрическая проницаемость r _может быть измерена для статических электрических полей следующим образом: сначала емкость испытательного конденсатора C ε ₀ измеряется емкость С с диэлектриком в вакууме между его обкладками. Затем, используя тот же конденсатор и расстояние между его обкладками, измеряют между обкладками. Тогда относительная диэлектрическая проницаемость может быть рассчитана как

\varepsilon _{\text{r}}={\frac {C}{C_{0}}}.

Для переменных во времени электромагнитных полей эта величина становится частотно -зависимой. Косвенным методом расчета ε _r является преобразование результатов измерения радиочастотных S-параметров . Описание часто используемых преобразований S-параметров для определения частотно-зависимой ε _r диэлектриков можно найти в этом библиографическом источнике. ^[23] Альтернативно, на фиксированных частотах могут использоваться эффекты, основанные на резонансе. ^[24]

Приложения [ править ]

Энергия [ править ]

Относительная диэлектрическая проницаемость является важной частью информации при проектировании конденсаторов , а также в других обстоятельствах, когда можно ожидать, что материал внесет емкость в цепь. Если материал с высокой относительной диэлектрической проницаемостью поместить в электрическое поле , величина этого поля будет заметно уменьшена в объеме диэлектрика. Этот факт обычно используется для увеличения емкости конденсатора конкретной конструкции. Слои под травлеными проводниками на печатных платах ( PCB ) также действуют как диэлектрики.

Общение [ править ]

Диэлектрики используются в радиочастот линиях передачи (РЧ). В коаксиальном кабеле полиэтилен между центральным проводником и внешним экраном можно использовать . Его также можно поместить внутри волноводов для формирования фильтров . Оптические волокна являются примерами диэлектрических волноводов . Они состоят из диэлектрических материалов, которые намеренно легированы примесями, чтобы контролировать точное значение ε _r в поперечном сечении. Это контролирует показатель преломления материала и, следовательно, также оптические режимы передачи. Однако в этих случаях технически имеет значение относительная диэлектрическая проницаемость, поскольку они не работают в электростатическом пределе.

Окружающая среда [ править ]

Относительная диэлектрическая проницаемость воздуха меняется в зависимости от температуры, влажности и барометрического давления. ^[25]Можно сконструировать датчики для обнаружения изменений емкости, вызванных изменениями относительной диэлектрической проницаемости. Большая часть этих изменений связана с воздействием температуры и влажности, поскольку атмосферное давление довольно стабильно. Используя изменение емкости и измеренную температуру, можно получить относительную влажность с помощью инженерных формул.

Химия [ править ]

Относительная статическая диэлектрическая проницаемость растворителя является относительной мерой его химической полярности . Например, вода очень полярна и имеет относительную статическую диэлектрическую проницаемость 80,10 при 20 °C, тогда как н - гексан неполярен и имеет относительную статическую диэлектрическую проницаемость 1,89 при 20 °C. ^[26] Эта информация важна при разработке методов разделения, подготовки проб и хроматографии в аналитической химии .

Однако к корреляции следует относиться с осторожностью. Например, дихлорметан имеет значение ε _r 9,08 ; (20 °C) и довольно плохо растворяется в воде (13 г/л или 9,8 мл/л при 20 °C) в то же время тетрагидрофуран имеет ε _r = 7,52 при 22 °С, но полностью смешивается с водой. В случае тетрагидрофурана атом кислорода может действовать как акцептор водородной связи ; тогда как дихлорметан не может образовывать водородные связи с водой.

Это становится еще более примечательным при сравнении ε _r значений уксусной кислоты (6,2528) ^[27] и йодэтана ( 7,6177). ^[27]Большое численное значение ε _r неудивительно во втором случае, поскольку атом йода легко поляризуется; тем не менее это не означает, что он тоже полярен (электронная поляризуемость в этом случае преобладает над ориентационной).

Среда с потерями [ править ]

Опять же, как и в случае с абсолютной диэлектрической проницаемостью , относительная диэлектрическая проницаемость для материалов с потерями может быть сформулирована как:

\varepsilon _{\text{r}}=\varepsilon _{\text{r}}'-{\frac {i\sigma }{\omega \varepsilon _{0}}},

с точки зрения «диэлектрической проводимости» σ (единицы См/м, сименс на метр), которая «суммируется по всем диссипативным эффектам материала; она может представлять собой фактическую [электрическую] проводимость , вызванную мигрирующими носителями заряда, а также может относятся к потерям энергии, связанным с дисперсией ε ′ [действительной диэлектрической проницаемости]» ( ^[17]п. 8). Разложив угловую частоту ω = 2π c / λ и электрическую постоянную ε ₀ = 1/ µ ₀ c ², что сводится к:

\varepsilon _{\text{r}}=\varepsilon _{\text{r}}'-i\sigma \lambda \kappa ,

где λ — длина волны, c — скорость света в вакууме, а κ = μ ₀ c / 2π = 59,95849 Ом ≈ 60,0 Ом — новая введенная константа (единицы измерения — омы или обратные сименсы , такие, что σλκ = ε _r остается безразмерным) .

Металлы [ править ]

Диэлектрическая проницаемость обычно связана с диэлектрическими материалами , однако металлы описываются как имеющие эффективную диэлектрическую проницаемость, при этом реальная относительная диэлектрическая проницаемость равна единице. ^[28]В высокочастотной области, которая простирается от радиочастот до дальнего инфракрасного и терагерцового диапазона, плазменная частота электронного газа намного превышает частоту распространения электромагнитного излучения, поэтому показатель преломления n металла очень близок к чисто мнимому значению. число. В низкочастотном режиме эффективная относительная диэлектрическая проницаемость также является почти чисто мнимой: она имеет очень большое мнимое значение, связанное с проводимостью, и сравнительно незначительное действительное значение. ^[29]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Гектор, LG; Шульц, Х.Л. (1936). «Диэлектрическая проницаемость воздуха на радиочастотах». Физика . 7 (4): 133–136. Бибкод : 1936Physi...7..133H . дои : 10.1063/1.1745374 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Янг, HD; Фридман, РА; Льюис, Ал. (2012). Университетская физика с современной физикой (13-е изд.). Аддисон-Уэсли. п. 801. ИСБН 978-0-321-69686-1 .
^ Борх, Йенс; Лайн, М. Брюс; Марк, Ричард Э. (2001). Справочник по физическим испытаниям бумаги Vol. 2 (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 348. ИСБН 0203910494 .
^ Грей, PR; Херст, П.Дж.; Льюис, Ш.; Мейер, Р.Г. (2009). Анализ и проектирование аналоговых интегральных схем (5-е изд.). Уайли. п. 40. ИСБН 978-0-470-24599-6 .
^ Харман, АК; Ниномия, С.; Адачи, С. (1994). «Оптические константы монокристаллов сапфира (α-Al ₂ O ₃ )». Журнал прикладной физики . 76 (12): 8032–8036. Бибкод : 1994JAP....76.8032H . дои : 10.1063/1.357922 .
^ «Диэлектрические материалы — диэлектрическая проницаемость» . Проверено 17 июня 2023 г.
^ «Свойства силиконовой резины» . Азоматериалы.
^ Фокс, Марк (2010). Оптические свойства твердых тел (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 283. ИСБН 978-0199573370 .
^ «Изысканная керамика» (PDF) . Материалы Тошиба .
^ «Таблицы свойств материалов» (PDF) . Керамическая промышленность . 2013.
^ Арчер, Г.Г.; Ван, П. (1990). «Диэлектрическая проницаемость воды и наклоны предельного закона Дебая-Хюккеля». Журнал физических и химических справочных данных . 19 (2): 371–411. дои : 10.1063/1.555853 .
^ «Вседозволенность» . school.matter.org.uk . Архивировано из оригинала 11 марта 2016 г.
^ Поль, ХА (1986). «Гигантская поляризация в высоких полимерах». Журнал электронных материалов . 15 (4): 201. Бибкод : 1986JEMat..15..201P . дои : 10.1007/BF02659632 .
^ Гийеме-Фрич, С.; Лебей, Т.; Булос, М.; Дюран, Б. (2006). «Диэлектрические свойства _{CaCu 3} Ti ₄ O ₁₂ многофазной керамики на основе » (PDF) . Журнал Европейского керамического общества . 26 (7): 1245. doi : 10.1016/j.jeurceramsoc.2005.01.055 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Совет по стандартам IEEE (1997). «Стандартные определения IEEE терминов, касающихся распространения радиоволн» . Стандарт IEEE 211-1997 : 6.
^ Перейти обратно: ^а ^б Браславский, С.Е. (2007). «Словарь терминов, используемых в фотохимии (рекомендации ИЮПАК, 2006 г.)» (PDF) . Чистая и прикладная химия . 79 (3): 293–465. дои : 10.1351/pac200779030293 . S2CID 96601716 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Линьфэн Чен и Виджай К. Варадан (2004). СВЧ-электроника: измерения и характеристика материалов . Джон Уайли и сыновья. п. 8, уравнение (1.15). дои : 10.1002/0470020466 . ISBN 978-0-470-84492-2 .
^ Кинг, Рональд В.П. (1963). Фундаментальная электромагнитная теория . Нью-Йорк: Дувр. п. 139.
^ Перейти обратно: ^а ^б Джон Дэвид Джексон (1998). Классическая электродинамика (Третье изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. 154 . ISBN 978-0-471-30932-1 .
^ Муру, Жерар А. (2006). «Оптика в релятивистском режиме». Обзоры современной физики . 78 (2): 309. Бибкод : 2006РвМП...78..309М . дои : 10.1103/RevModPhys.78.309 .
^ Эванс, С. (1965). «Диэлектрические свойства льда и снега – обзор» . Журнал гляциологии . 5 (42): 773–792. дои : 10.3189/S0022143000018840 . S2CID 227325642 .
^ Фудзита, Сюдзи; Мацуока, Такеши; Исида, Тошихиро; Мацуока, Кеничи; Мэй, Синдзи, Краткое изложение комплексной диэлектрической проницаемости льда в мегагерцовом диапазоне и ее применения для радиолокационного зондирования полярных ледниковых щитов (PDF)
^ Куек, ЧиЯу. «Измерение свойств диэлектрических материалов» (PDF) . Р&С.
^ Коста, Ф.; Амабайл, К.; Монорчио, А.; Прати, Э. (2011). «Методика измерения диэлектрической проницаемости волновода на основе резонансных фильтров ЧСС» . Письма IEEE о микроволновых и беспроводных компонентах . 21 (5): 273. doi : 10.1109/LMWC.2011.2122303 . S2CID 34515302 .
^ 5×10 ⁻⁶/°С, 1,4×10 ⁻⁶/% относительной влажности и 100×10 ⁻⁶/атм соответственно. См. «Бюджетный интегрированный интерфейс для емкостных датчиков» , Али Хейдари, 2010, диссертация, стр. 12. ISBN 9789461130136 .
^ Лиде, Д.Р., изд. (2005). Справочник CRC по химии и физике (86-е изд.). Бока-Ратон (Флорида): CRC Press. ISBN 0-8493-0486-5 .
^ Перейти обратно: ^а ^б АЕ. Фриш, М. Дж. Фриш, Ф. Р. Клементе, GW Trucks. Справочник пользователя Gaussian 09. Gaussian, Inc.: Уоллигфорд, Коннектикут, 2009. – с. 257.
^ Луртиоз, Ж.-М.; и другие. (2005). Фотонные кристаллы: на пути к наноразмерным фотонным устройствам . Спрингер. стр. 121–122. ISBN 978-3-540-24431-8 . уравнение (4.6), стр. 121
^ Луртиоз (2005), уравнения (4.8)–(4.9), стр. 122

[1] Гектор, LG; Шульц, Х.Л. (1936). «Диэлектрическая проницаемость воздуха на радиочастотах». Физика . 7 (4): 133–136. Бибкод : 1936Physi...7..133H . дои : 10.1063/1.1745374 .

[YoungFreedman2012-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Янг, HD; Фридман, РА; Льюис, Ал. (2012). Университетская физика с современной физикой (13-е изд.). Аддисон-Уэсли. п. 801. ИСБН 978-0-321-69686-1 .

[Borch01-3] Борх, Йенс; Лайн, М. Брюс; Марк, Ричард Э. (2001). Справочник по физическим испытаниям бумаги Vol. 2 (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 348. ИСБН 0203910494 .

[Gray&Meyer-4] Грей, PR; Херст, П.Дж.; Льюис, Ш.; Мейер, Р.Г. (2009). Анализ и проектирование аналоговых интегральных схем (5-е изд.). Уайли. п. 40. ИСБН 978-0-470-24599-6 .

[Harman-5] Харман, АК; Ниномия, С.; Адачи, С. (1994). «Оптические константы монокристаллов сапфира (α-Al ₂ O ₃ )». Журнал прикладной физики . 76 (12): 8032–8036. Бибкод : 1994JAP....76.8032H . дои : 10.1063/1.357922 .

[6] «Диэлектрические материалы — диэлектрическая проницаемость» . Проверено 17 июня 2023 г.

[7] «Свойства силиконовой резины» . Азоматериалы.

[8] Фокс, Марк (2010). Оптические свойства твердых тел (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 283. ИСБН 978-0199573370 .

[9] «Изысканная керамика» (PDF) . Материалы Тошиба .

[10] «Таблицы свойств материалов» (PDF) . Керамическая промышленность . 2013.

[11] Арчер, Г.Г.; Ван, П. (1990). «Диэлектрическая проницаемость воды и наклоны предельного закона Дебая-Хюккеля». Журнал физических и химических справочных данных . 19 (2): 371–411. дои : 10.1063/1.555853 .

[12] «Вседозволенность» . school.matter.org.uk . Архивировано из оригинала 11 марта 2016 г.

[13] Поль, ХА (1986). «Гигантская поляризация в высоких полимерах». Журнал электронных материалов . 15 (4): 201. Бибкод : 1986JEMat..15..201P . дои : 10.1007/BF02659632 .

[14] Гийеме-Фрич, С.; Лебей, Т.; Булос, М.; Дюран, Б. (2006). «Диэлектрические свойства _{CaCu 3} Ti ₄ O ₁₂ многофазной керамики на основе » (PDF) . Журнал Европейского керамического общества . 26 (7): 1245. doi : 10.1016/j.jeurceramsoc.2005.01.055 .

[IEEE1997-15] Перейти обратно: ^а ^б ^с Совет по стандартам IEEE (1997). «Стандартные определения IEEE терминов, касающихся распространения радиоволн» . Стандарт IEEE 211-1997 : 6.

[IUPAC-16] Перейти обратно: ^а ^б Браславский, С.Е. (2007). «Словарь терминов, используемых в фотохимии (рекомендации ИЮПАК, 2006 г.)» (PDF) . Чистая и прикладная химия . 79 (3): 293–465. дои : 10.1351/pac200779030293 . S2CID 96601716 .

[ChenVaradan2004-17] Перейти обратно: ^а ^б Линьфэн Чен и Виджай К. Варадан (2004). СВЧ-электроника: измерения и характеристика материалов . Джон Уайли и сыновья. п. 8, уравнение (1.15). дои : 10.1002/0470020466 . ISBN 978-0-470-84492-2 .

[18] Кинг, Рональд В.П. (1963). Фундаментальная электромагнитная теория . Нью-Йорк: Дувр. п. 139.

[Jackson-19] Перейти обратно: ^а ^б Джон Дэвид Джексон (1998). Классическая электродинамика (Третье изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. 154 . ISBN 978-0-471-30932-1 .

[Mourou-20] Муру, Жерар А. (2006). «Оптика в релятивистском режиме». Обзоры современной физики . 78 (2): 309. Бибкод : 2006РвМП...78..309М . дои : 10.1103/RevModPhys.78.309 .

[21] Эванс, С. (1965). «Диэлектрические свойства льда и снега – обзор» . Журнал гляциологии . 5 (42): 773–792. дои : 10.3189/S0022143000018840 . S2CID 227325642 .

[22] Фудзита, Сюдзи; Мацуока, Такеши; Исида, Тошихиро; Мацуока, Кеничи; Мэй, Синдзи, Краткое изложение комплексной диэлектрической проницаемости льда в мегагерцовом диапазоне и ее применения для радиолокационного зондирования полярных ледниковых щитов (PDF)

[23] Куек, ЧиЯу. «Измерение свойств диэлектрических материалов» (PDF) . Р&С.

[24] Коста, Ф.; Амабайл, К.; Монорчио, А.; Прати, Э. (2011). «Методика измерения диэлектрической проницаемости волновода на основе резонансных фильтров ЧСС» . Письма IEEE о микроволновых и беспроводных компонентах . 21 (5): 273. doi : 10.1109/LMWC.2011.2122303 . S2CID 34515302 .

[25] 5×10 ⁻⁶/°С, 1,4×10 ⁻⁶/% относительной влажности и 100×10 ⁻⁶/атм соответственно. См. «Бюджетный интегрированный интерфейс для емкостных датчиков» , Али Хейдари, 2010, диссертация, стр. 12. ISBN 9789461130136 .

[26] Лиде, Д.Р., изд. (2005). Справочник CRC по химии и физике (86-е изд.). Бока-Ратон (Флорида): CRC Press. ISBN 0-8493-0486-5 .

[gaussian-27] Перейти обратно: ^а ^б АЕ. Фриш, М. Дж. Фриш, Ф. Р. Клементе, GW Trucks. Справочник пользователя Gaussian 09. Gaussian, Inc.: Уоллигфорд, Коннектикут, 2009. – с. 257.

[Lourtioz-28] Луртиоз, Ж.-М.; и другие. (2005). Фотонные кристаллы: на пути к наноразмерным фотонным устройствам . Спрингер. стр. 121–122. ISBN 978-3-540-24431-8 . уравнение (4.6), стр. 121

[29] Луртиоз (2005), уравнения (4.8)–(4.9), стр. 122

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]