Формула Лармора

Антенна Яги -Уда . Радиоволны могут излучаться антенной за счет ускорения электронов в антенне. Это когерентный процесс, поэтому общая излучаемая мощность пропорциональна квадрату числа ускоряющихся электронов.

В электродинамике используется формула Лармора для расчета полной мощности , излучаемой нерелятивистским точечным зарядом при его ускорении. Впервые он был выведен Дж. Дж. Лармором в 1897 году. ^[1] в контексте волновой теории света .

Когда любая заряженная частица (например, электрон , протон или ион ) ускоряется, энергия излучается в виде электромагнитных волн . Для частицы, скорость которой мала по сравнению со скоростью света (т. е. нерелятивистской), полную мощность, которую излучает частица (если рассматривать ее как точечный заряд), можно рассчитать по формуле Лармора: $P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c}}\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}=\mu _{0}{\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi c}}{\text{ (SI units)}}$ $P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\text{ (cgs units)}}$ где ${\dot {v}}$ или $a$ это правильное ускорение, $q$ это заряд, и $c$ это скорость света. Релятивистское обобщение дается потенциалами Льенара – Вихерта .

В любой системе единиц мощность, излучаемая одним электроном, может быть выражена через классический радиус электрона и массу электрона как: $P={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}$

Одним из последствий является то, что электрон, вращающийся вокруг ядра, как в модели Бора , должен потерять энергию, упасть на ядро, и атом должен разрушиться. Эта загадка не была решена до тех пор, пока не была представлена квантовая теория .

Вывод

Работая в единицах СГС, нам сначала нужно найти форму электрического и магнитного полей. Поля можно записать (более полный вывод см. в потенциале Льенара – Вихерта ) $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\text{ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\text{ret}}$ и $\mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,$ где ${\boldsymbol {\beta }}$ - скорость заряда, деленная на $c$ , ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ ускорение заряда, деленное на $c$ , $\mathbf {n}$ является единичным вектором в $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ направление, $R$ это величина $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ , $\mathbf {r} _{0}$ это местонахождение заряда, и $\gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}$ . Условия справа оцениваются в отсроченное время. $t_{\text{r}}=t-R/c$ .

Правая часть представляет собой сумму электрических полей, связанных со скоростью и ускорением заряженной частицы. Поле скорости зависит только от ${\boldsymbol {\beta }}$ а поле ускорений зависит от обоих ${\boldsymbol {\beta }}$ и ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ и угловое соотношение между ними. Поскольку поле скорости пропорционально $1/R^{2}$ , он очень быстро падает с расстоянием. С другой стороны, поле ускорений пропорционально $1/R$ , а это означает, что с расстоянием оно падает медленнее. По этой причине поле ускорения является представителем поля излучения и отвечает за перенос большей части энергии от заряда.

Мы можем найти энергии плотность потока поля излучения, вычислив его вектор Пойнтинга : $\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},$ где индексы «а» подчеркивают, что мы берем только поле ускорения. Подстановка в связи между магнитным и электрическим полями и упрощение дает, в нерелятивистский случай, $\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .$

Если предположить, что угол между ускорением и вектором наблюдения равен $\theta$ , и введем ускорение $\mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c$ , то мощность, излучаемая на единицу телесного угла, равна ${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a^{2}}{c^{2}}}.$

Полная излучаемая мощность находится путем интегрирования этой величины по всем телесным углам (т. е. по $\theta$ и $\phi$ ). Это дает $P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},$ что является результатом Лармора для нерелятивистского ускоренного заряда. Он связывает мощность, излучаемую частицей, с ее ускорением. Это ясно показывает, что чем быстрее ускоряется заряд, тем сильнее будет излучение. Мы этого и ожидали, поскольку поле излучения зависит от ускорения.

Релятивистское обобщение

Ковариантная форма

записанная в терминах импульса $p , имеет вид (в единицах СГС)$ Нерелятивистская формула Лармора, ^[2] $P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}.$

степень $P$ Можно показать, что является лоренц-инвариантной . ^[2] Поэтому любое релятивистское обобщение формулы Лармора должно связывать $P$ с некоторой другой лоренц-инвариантной величиной. Количество $|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$ появление в нерелятивистской формуле предполагает, что релятивистски правильная формула должна включать скаляр Лоренца, найденный путем взятия скалярного произведения четырехускорения $a м = дп м / dτ$ сам с собой [здесь $p м = (γmc, γm v)$ — четырехимпульс ]. Правильное релятивистское обобщение формулы Лармора (в единицах СГС) ^[2]

$P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.$

Можно показать, что этот внутренний продукт определяется выражением ^[2]

${\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac {dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},$

и поэтому в пределе $β ≪ 1$ оно сводится к $-|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$ , воспроизводя тем самым нерелятивистский случай. Выраженная через лоренц-инвариант собственного ускорения, релятивистская ларморовская степень равна (по-прежнему в СГС) ^[3]

$P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}.$

Нековариантная форма

Вышеупомянутый внутренний продукт также можно записать через $β$ и его производную по времени. Тогда релятивистское обобщение формулы Лармора будет (в единицах СГС) ^[2]

$P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right].$

Это результат Льенара, впервые полученный в 1898 году. $\beta \rightarrow 1$ радиация растет как $\gamma ^{6}$ , и частица теряет свою энергию в виде ЭМ волн. Когда ускорение и скорость ортогональны, мощность уменьшается в раз. $1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}$ .

Однако запись формулы Льенара через скорость дает неверный вывод. В терминах импульса вместо скорости формула Льенара для ускорения, параллельного скорости, принимает вид

$P_{\parallel }={\frac {2q^{2}}{3cm^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)^{2}.$

Для ускорения, перпендикулярного скорости, излучаемая мощность равна

$P_{\perp }={\frac {2q^{2}\gamma ^{2}}{3cm^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)^{2}.$

Это показывает, что мощность, излучаемая при ускорении, перпендикулярном скорости, больше в раз. $\gamma ^{2}$ чем мощность ускорения, параллельного скорости.

Угловое распределение

Угловое распределение излучаемой мощности задается общей формулой, применимой независимо от того, является ли частица релятивистской. В единицах СГС эта формула имеет вид ^[4] ${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|\mathbf {\hat {n}} \times \left[(\mathbf {\hat {n}} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right]\right|^{2}}{(1-\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\beta }})^{5}}},$ где $\mathbf {\hat {n}}$ — единичный вектор, направленный от частицы к наблюдателю. В случае линейного движения (скорость параллельна ускорению) это упрощается до ^[5] ${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}},$ где $\theta$ - угол между наблюдателем и движением частицы.

Радиация в настоящее время

В приведенных выше формулировках формулы Лармора ускорение задается в запаздывающее время. Это означает, что в формуле можно использовать любое ускорение предыдущего движения заряженной частицы, что делает его по существу неопределенным. Эта трудность была решена с помощью недавнего вывода, который дает ускорение во всех приведенных выше формулах в настоящее время. ^[6]

Проблемы и последствия

Радиационная реакция

Излучение заряженной частицы несет энергию и импульс. Чтобы обеспечить сохранение энергии и импульса, заряженная частица должна испытывать отдачу во время выброса. Излучение должно оказывать на заряженную частицу дополнительную силу. Эта сила известна как сила Абрахама-Лоренца, в то время как ее нерелятивистский предел известен как сила самодействия Лоренца, а релятивистские формы известны как сила Лоренца-Дирака или сила Абрахама-Лоренца-Дирака. Явление радиационной реакции является одной из ключевых проблем и следствий формулы Лармора. Согласно классической электродинамике, заряженная частица при ускорении производит электромагнитное излучение. Частица теряет импульс и энергию в результате уносящего ее от себя излучения. С другой стороны, сила реакции на излучение также действует на заряженную частицу в результате излучения.

Существование этой силы существенно влияет на динамику заряженных частиц. В частности, это вызывает изменение их движения, которое можно объяснить формулой Лармора, множителем уравнения Лоренца-Дирака.

Согласно уравнению Лоренца-Дирака, на скорость заряженной частицы будет влиять «сила самодействия», возникающая в результате ее собственного излучения. Такое нефизическое поведение, как неконтролируемые решения, когда скорость или энергия частицы становятся бесконечными за конечное время, может быть результатом этой силы самодействия.

Проблема самосилы уравнения Лоренца-Дирака вызвала множество дискуссий и исследований в теоретической физике. Несмотря на то, что уравнение иногда оказывалось успешным при описании движения заряженных частиц, оно все еще является предметом текущих исследований.

Атомная физика

Изобретение квантовой физики, в частности модели атома Бора, смогло объяснить этот разрыв между классическим предсказанием и реальной реальностью. Модель Бора предполагала, что переходы между различными энергетическими уровнями, на которых могут обитать только электроны, могут объяснять наблюдаемые спектральные линии атомов. Волнообразные свойства электронов и идея квантования энергии были использованы для объяснения стабильности этих электронных орбит.

Формулу Лармора можно использовать только для нерелятивистских частиц, что ограничивает ее полезность. Потенциал Льенара -Вихерта — это более полная формула, которую необходимо использовать для частиц, движущихся с релятивистскими скоростями. В определенных ситуациях для точного расчета излучения, излучаемого заряженной частицей, могут потребоваться более сложные расчеты, включая численные методы или теорию возмущений.

См. также

Ссылки

^ Лармор, Дж (1897). «LXIII. К теории магнитного влияния на спектры и излучения движущихся ионов» . Философский журнал . 5. 44 (271): 503–512. дои : 10.1080/14786449708621095 . Формула упоминается в тексте на последней странице.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Джексон 1998 , стр. 665–8.
^ Хорошо, Майкл Р.Р.; Линдер, Эрик В. (2022). «Квантовая мощность: лоренц-инвариантный подход к излучению Хокинга». Евро. Физ. Джей Си . 82 (3): 204. arXiv : 2111.15148 . Бибкод : 2022EPJC...82..204G . doi : 10.1140/epjc/s10052-022-10167-6 . S2CID 244729371 .
^ Джексон 1998 , эквивалент 14,38.
^ Джексон 1998 , эквивалент 14,39.
^ Франклин, Дж (2013). «Радиационная реакция на ускоряющийся точечный заряд». Международный журнал современной физики А. 38 : 350005–1–6. arXiv : 2308.02628 . дои : 10.1142/S0217751X23500057 .

Лармор, Дж (1897). «К динамической теории электрической и светоносной среды». Философские труды Королевского общества . 190 (1263): 205–300. (Третья и последняя в серии одноименных статей).
Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-30932-Х . (раздел 14.2 и далее)
Миснер, Чарльз; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 .
Р.П. Фейнман; ФБ Моринго; РГ Вагнер (1995). Фейнмановские лекции по гравитации . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-62734-5 .

[1] Лармор, Дж (1897). «LXIII. К теории магнитного влияния на спектры и излучения движущихся ионов» . Философский журнал . 5. 44 (271): 503–512. дои : 10.1080/14786449708621095 . Формула упоминается в тексте на последней странице.

[jackson665-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Джексон 1998 , стр. 665–8.

[GoodLinder2022-3] Хорошо, Майкл Р.Р.; Линдер, Эрик В. (2022). «Квантовая мощность: лоренц-инвариантный подход к излучению Хокинга». Евро. Физ. Джей Си . 82 (3): 204. arXiv : 2111.15148 . Бибкод : 2022EPJC...82..204G . doi : 10.1140/epjc/s10052-022-10167-6 . S2CID 244729371 .

[4] Джексон 1998 , эквивалент 14,38.

[5] Джексон 1998 , эквивалент 14,39.

[6] Франклин, Дж (2013). «Радиационная реакция на ускоряющийся точечный заряд». Международный журнал современной физики А. 38 : 350005–1–6. arXiv : 2308.02628 . дои : 10.1142/S0217751X23500057 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]