скаляр Лоренца

В релятивистской теории физики скаляр скаляр Лоренца — это выражение, образованное из элементов теории, которое вычисляется как , инвариантный относительно любого преобразования Лоренца . Скаляр Лоренца может быть сгенерирован, например, из скалярного произведения векторов или из сжимающихся тензоров теории. Хотя компоненты векторов и тензоров в целом изменяются при преобразованиях Лоренца, скаляры Лоренца остаются неизменными.

Скаляр Лоренца не всегда сразу рассматривается как инвариантный скаляр в математическом смысле , но результирующее скалярное значение инвариантно при любом базисном преобразовании, применяемом к векторному пространству, на котором основана рассматриваемая теория. Простой скаляр Лоренца в пространстве-времени Минковского — это пространственно-временное расстояние («длина» их разницы) двух фиксированных событий в пространстве-времени. Хотя «положения»-4-векторов событий изменяются между разными инерциальными системами отсчета, их пространственно-временное расстояние остается инвариантным при соответствующем преобразовании Лоренца. Другими примерами скаляров Лоренца являются «длина» 4-скоростей (см. ниже) или кривизна Риччи в точке пространства-времени из общей теории относительности , которая там является сокращением тензора кривизны Римана .

Простые скаляры в специальной теории относительности

Длина вектора положения

Мировые линии для двух частиц с разными скоростями.

В специальной теории относительности положение частицы в 4-мерном пространстве-времени определяется выражением

$$x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )$$

где $\mathbf {x} =\mathbf {v} t$ - положение частицы в трехмерном пространстве, $\mathbf {v}$ - скорость в трехмерном пространстве и $c$ это скорость света .

«Длина» вектора является скаляром Лоренца и определяется выражением

$$x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}$$

где $\tau$ — собственное время, измеряемое часами в системе покоя частицы, а метрика Минковского определяется выражением

$$\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.$$

Это временной показатель.

Часто используется альтернативная сигнатура метрики Минковского , в которой знаки единиц меняются местами.

$$\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$$

Это пространственная метрика.

В метрике Минковского пространственноподобный интервал $s$ определяется как

$$x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.$$

В оставшейся части статьи мы используем пространственную метрику Минковского.

Длина вектора скорости

Векторы скорости в пространстве-времени для частицы с двумя разными скоростями. В теории относительности ускорение эквивалентно вращению пространства-времени.

Скорость в пространстве-времени определяется как

$$v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)$$

где

$$\gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.$$

Величина 4-скорости является скаляром Лоренца,

$$v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.$$

Следовательно, $c$ является скаляром Лоренца.

продукт ускорения

4-ускорение определяется выражением

$$a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.$$

4-ускорение всегда перпендикулярно 4-скорости.

$$0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.$$

Следовательно, мы можем рассматривать ускорение в пространстве-времени как просто вращение 4-скорости. Внутреннее произведение ускорения и скорости является скаляром Лоренца и равно нулю. Это вращение является просто выражением сохранения энергии:

$${dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$$

где $E$ это энергия частицы и $\mathbf {F}$ – 3-сила, действующая на частицу.

и 3-скорость от 4-

4-импульс частицы равен

$$p^{\mu }=mv^{\mu }=\left(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} \right)=\left(\gamma mc,\mathbf {p} \right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)$$

где $m$ – масса покоя частицы, $\mathbf {p}$ - импульс в трехмерном пространстве, а

$$E=\gamma mc^{2}$$

это энергия частицы.

Энергия частицы

Рассмотрим вторую частицу с 4-скоростью $u$ и 3-скоростной $\mathbf {u} _{2}$. В системе покоя второй частицы внутренний продукт $u$ с $p$ пропорциональна энергии первой частицы

$$p_{\mu }u^{\mu }=-E_{1}$$

где индекс 1 указывает на первую частицу.

Поскольку соотношение истинно в системе покоя второй частицы, оно верно и в любой системе отсчета. $E_{1}$, энергия первой частицы в системе второй частицы, является скаляром Лоренца. Поэтому,

$$E_{1}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}$$

в любой инерциальной системе отсчета, где $E_{1}$ по-прежнему является энергией первой частицы в системе второй частицы.

Масса покоя частицы

В системе покоя частицы внутренний продукт импульса равен

$$p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,.$$

Следовательно, масса покоя ( m ) является скаляром Лоренца. Отношение остается верным независимо от кадра, в котором вычисляется внутренний продукт. Во многих случаях масса покоя записывается как $m_{0}$ чтобы избежать путаницы с релятивистской массой, которая $\gamma m_{0}$.

3-импульс частицы

Обратите внимание, что

$$\left({\frac {p_{\mu }u^{\mu }}{c}}\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}.$$

Квадрат величины 3-импульса частицы, измеренный в системе отсчёта второй частицы, является скаляром Лоренца.

Измерение 3-скорости частицы

3-скорость в рамках второй частицы может быть построена из двух скаляров Лоренца.

$$v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={\frac {\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}{E_{1}^{2}}}c^{4}.$$

Более сложные скаляры

Скаляры также могут быть построены из тензоров и векторов, из сжатия тензоров (таких как $F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$) или комбинации сокращений тензоров и векторов (например, $g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$).

Ссылки

• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN  0-7167-0344-0 .
• Ландау, Л.Д. и Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое исправленное английское изд.). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные со скаляром Лоренца, на Викискладе?