Сила Авраама – Лоренца

В физике электромагнетизма сила Лоренца - сила Абрахама-Лоренца (также известная как Абрахама ) представляет собой силу реакции на ускоряющуюся заряженную частицу , вызванную частицей, излучающей электромагнитное излучение в результате самодействия. Ее еще называют силой реакции излучения , силой демпфирования излучения . или самосила . Он назван в честь физиков Макса Абрахама и Хендрика Лоренца .

Формула, хотя и предшествовала появлению специальной теории относительности , первоначально была рассчитана для нерелятивистских приближений скорости, была расширена до произвольных скоростей Максом Абрахамом и была показана как физически непротиворечивая Джорджем Адольфусом Шоттом . Нерелятивистская форма называется силой Лоренца , а релятивистская версия называется силой Лоренца-Дирака или под общим названием сила Абрахама-Лоренца-Дирака . Уравнения относятся к области классической физики , а не квантовой физики , и поэтому могут быть неприменимы на расстояниях примерно комптоновской длины волны или ниже. Однако есть два аналога формулы, которые являются полностью квантовыми и релятивистскими: один называется «уравнением Абрахама – Лоренца – Дирака – Ланжевена», другой — это сила самодействия движущегося зеркала.

объекта Сила пропорциональна квадрату заряда , умноженному на толчок , который он испытывает. (Рывок – это скорость изменения ускорения .) Сила направлена ​​в направлении рывка. Например, в циклотроне , где рывок направлен противоположно скорости, реакция излучения направлена ​​противоположно скорости частицы, обеспечивая тормозящее действие. Сила Абрагама-Лоренца является источником радиационной стойкости радиоантенны , излучающей радиоволны .

Существуют патологические решения уравнения Абрахама-Лоренца-Дирака, в которых частица ускоряется раньше приложения силы, так называемые предускорительные решения. Поскольку это представляет собой эффект, возникающий до его причины ( ретропричинность ), некоторые теории предполагают, что уравнение позволяет сигналам путешествовать назад во времени, тем самым бросая вызов физическому принципу причинности . Одно из решений этой проблемы обсуждалось Артуром Д. Ягджианом. и далее обсуждался Фрицем Рорлихом. и Родриго Медина.

Определение и описание

Сила самодействия Лоренца, полученная для нерелятивистского приближения скорости. $v\ll c$, определяется в единицах СИ следующим образом: $$\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {q^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}}$$ в гауссовых единицах или $$\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} .$$где $\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }$ это сила, $\mathbf {\dot {a}}$ — производная ускорения , или третья производная смещения , также называемая рывком , µ ₀ — магнитная постоянная , ε ₀ — электрическая постоянная , c — скорость света в свободном пространстве , а q — электрический заряд частицы .

Физически ускоряющийся заряд излучает излучение (согласно формуле Лармора ), которое уносит импульс от заряда. Поскольку импульс сохраняется, заряд перемещается в направлении, противоположном направлению испускаемого излучения. Фактически приведенная выше формула для радиационной силы может быть получена из формулы Лармора, как показано ниже .

Сила Абрагама-Лоренца , обобщение силы самодействия Лоренца для произвольных скоростей, определяется выражением: $$\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\left(\gamma ^{2}{\dot {a}}+{\frac {\gamma ^{4}v(v\cdot {\dot {a}})}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{4}a(v\cdot a)}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{6}v(v\cdot a)^{2}}{c^{4}}}\right)$$

Где $\gamma$ – фактор Лоренца, связанный с $v$, скорость частицы. Формула согласуется со специальной теорией относительности и сводится к выражению силы самодействия Лоренца для предела низкой скорости.

Ковариантная форма реакции излучения, выведенная Дираком для произвольной формы элементарных зарядов, имеет вид: $$F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}-{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu }}{d\tau }}\right)\right]$$

История

Первый расчет энергии электромагнитного излучения, обусловленного током, был сделан Джорджем Фрэнсисом Фитцджеральдом в 1883 году, в котором фигурирует сопротивление излучения. Однако эксперименты Генриха Герца с дипольной антенной оказали большее влияние и собрали комментарии Пуанкаре об амортизации или затухании генератора из-за излучения радиации. Качественные дискуссии о эффектах затухания излучения, испускаемого ускоряющимися зарядами, были инициированы Анри Пуанкаре в 1891 году. В 1892 году Хендрик Лоренц вывел силу самодействия зарядов для малых скоростей, но не связал ее с потерями на излучение. Предположение о связи между потерями энергии излучения и силой самодействия было впервые сделано Максом Планком . Концепция Планка о демпфирующей силе, которая не принимала какой-либо конкретной формы для элементарных заряженных частиц, была применена Максом Абрахамом для определения радиационной стойкости антенны в 1898 году, что остается наиболее практическим применением этого явления.

В начале 1900-х годов Абрахам сформулировал обобщение силы самодействия Лоренца на произвольные скорости, физическую состоятельность которого позже показал Джордж Адольф Шотт . Шотт смог вывести уравнение Абрагама и объяснил, что «энергия ускорения» является источником энергии электромагнитного излучения. Первоначально представленное как эссе на премию Адамса 1908 года , он выиграл конкурс и опубликовал эссе в виде книги в 1912 году. К этому моменту взаимосвязь между силой собственного воздействия и реакцией на излучение стала четко установленной. Вольфганг Паули впервые получил ковариантную форму реакции излучения. а в 1938 году Поль Дирак обнаружил, что уравнение движения заряженных частиц, даже не предполагая форму частицы, содержит формулу Абрагама в пределах разумных приближений. Уравнения, выведенные Дираком, считаются точными в рамках классической теории.

Фон

В классической электродинамике задачи обычно делятся на два класса:

1. заряда и тока источники Задачи, в которых задаются поля , и полей и рассчитываются
2. Обратная ситуация, задачи, в которых заданы поля и рассчитано движение частиц.

В некоторых областях физики, например в физике плазмы и расчете коэффициентов переноса (проводимости, диффузии и т. д. ), поля, создаваемые источниками, и движение источников решаются самосогласованно. Однако в таких случаях движение выбранного источника рассчитывается в ответ на поля, генерируемые всеми другими источниками. Редко рассчитывается движение частицы (источника) за счет полей, создаваемых этой самой частицей. Причина этого двоякая:

1. Пренебрежение « собственными полями » обычно приводит к ответам, достаточно точным для многих приложений.
2. Включение собственных полей приводит к таким проблемам в физике, как перенормировка , некоторые из которых до сих пор не решены и которые относятся к самой природе материи и энергии.

Эти концептуальные проблемы, создаваемые самополями, выделены в стандартном выпускном тексте. [Джексон]

Трудности, возникающие в связи с этой проблемой, затрагивают один из наиболее фундаментальных аспектов физики — природу элементарных частиц. Хотя могут быть предложены частичные решения, применимые в пределах ограниченных территорий, основная проблема остается нерешенной. Можно было бы надеяться, что переход от классических методов лечения к квантово-механическим устранит эти трудности. Хотя еще есть надежда, что это может в конечном итоге произойти, нынешние квантово-механические дискуссии сопряжены с еще более сложными проблемами, чем классические. Одним из триумфов сравнительно недавних лет (~ 1948–1950 гг.) является то, что концепции лоренц-ковариантности и калибровочной инвариантности были достаточно умело использованы, чтобы обойти эти трудности в квантовой электродинамике и, таким образом, позволить рассчитывать очень малые радиационные эффекты с чрезвычайно высокой точностью. , в полном согласии с экспериментом. Однако с фундаментальной точки зрения трудности остаются.

Сила Абрагама-Лоренца является результатом наиболее фундаментального расчета эффекта самогенерируемых полей. Оно возникает из наблюдения, что ускоряющиеся заряды испускают излучение. Сила Абрагама-Лоренца — это средняя сила, которую ощущает ускоряющаяся заряженная частица при отдаче от испускания излучения. Введение квантовых эффектов приводит к квантовой электродинамике . Собственные поля в квантовой электродинамике порождают в вычислениях конечное число бесконечностей, которые можно удалить в процессе перенормировки . Это привело к созданию теории, которая способна делать самые точные предсказания, которые когда-либо делали люди. (См. прецизионные тесты КЭД .) Однако процесс перенормировки терпит неудачу при применении к гравитационной силе . Бесконечностей в этом случае бесконечно много, что приводит к неудаче перенормировки. Следовательно, в общей теории относительности есть нерешенная проблема собственного поля. Теория струн и петлевая квантовая гравитация — текущие попытки решить эту проблему, формально называемую проблемой Радиационная реакция или проблема самосилы.

Вывод

Простейший вывод силы самодействия для периодического движения находится из формулы Лармора для мощности, излучаемой точечным зарядом, движущимся со скоростью, значительно меньшей скорости света: $$P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}.$$

Если предположить, что движение заряженной частицы периодическое, то средняя работа, совершаемая над частицей силой Абрагама–Лоренца, равна минусу ларморовской мощности, проинтегрированной за один период из $\tau _{1}$ к $\tau _{2}$: $$\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-Pdt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}dt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt.$$

Вышеприведенное выражение можно интегрировать по частям. Если предположить, что имеется периодическое движение, то граничный член в интеграле по частям исчезает: $$\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {v} dt=-0+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} \cdot \mathbf {v} dt.$$

Ясно, что мы можем определить уравнение силы самодействия Лоренца, применимое к медленно движущимся частицам, как: $$\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {{\dot {a}}.}$$

Примечание. При этом выводе возникают две проблемы:

1. Равенство двух интегралов редко означает, что два подынтегральных выражения равны.
2. Из-за излучаемой ларморовской мощности граничный член не исчезнет.

Более строгий вывод, не требующий периодического движения, был найден с использованием эффективной формулировки теории поля .

Максом Абрахамом было сформулировано обобщенное уравнение для произвольных скоростей, которое оказалось совместимым со специальной теорией относительности. Альтернативный вывод, использующий хорошо разработанную в то время теорию относительности, был найден Дираком без каких-либо предположений о форме заряженной частицы.

Сигналы из будущего

Ниже приведена иллюстрация того, как классический анализ может привести к удивительным результатам. Можно рассматривать классическую теорию как бросающую вызов стандартным представлениям о причинности, тем самым сигнализируя либо о провале, либо о необходимости расширения теории. В этом случае расширение распространяется на квантовую механику и ее релятивистский аналог квантовую теорию поля . См. цитату Рорлиха во введении, касающемся «важности соблюдения пределов применимости физической теории».

Для частицы во внешней силе $\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }$, у нас есть $$m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=mt_{0}{\ddot {\mathbf {v} }}+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }.$$где $$t_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}.$$

Это уравнение можно проинтегрировать один раз и получить $$m{\dot {\mathbf {v} }}={1 \over t_{0}}\int _{t}^{\infty }\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)\,\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }(t')\,dt'.$$

Интеграл простирается от настоящего до бесконечно далекого будущего. Таким образом, будущие значения силы влияют на ускорение частицы в настоящем. Будущие значения взвешиваются по коэффициенту $$\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)$$которая быстро падает в течение раз, превышающих $t_{0}$ в будущем. Таким образом, сигналы с интервала примерно $t_{0}$ в будущее влияют на ускорение в настоящем. Для электрона это время примерно $10^{-24}$ сек, то есть время, необходимое световой волне, чтобы пройти «размер» электрона, классический радиус электрона . Один из способов определить этот «размер» следующий: это (с точностью до некоторого постоянного коэффициента) расстояние $r$ так, что два электрона покоятся на расстоянии $r$ если бы ему разрешили разлететься, то у него было бы достаточно энергии, чтобы достичь половины скорости света. Другими словами, он образует шкалу длины (или времени, или энергии), в которой такой легкий объект, как электрон, был бы полностью релятивистским. Стоит отметить, что это выражение вообще не включает в себя постоянную Планка , поэтому, хотя оно указывает на то, что что-то не так в этом масштабе длины, оно не имеет прямого отношения к квантовой неопределенности или к соотношению частоты и энергии фотона. Хотя в квантовой механике принято рассматривать $\hbar \to 0$ как «классический предел», некоторые предполагают, что даже классическая теория нуждается в перенормировке, независимо от того, как будет зафиксирована постоянная Планка.

Сила Абрахама-Лоренца-Дирака

Чтобы найти релятивистское обобщение, Дирак в 1938 году перенормировал массу в уравнении движения с помощью силы Абрагама – Лоренца. Это перенормированное уравнение движения называется уравнением движения Абрахама – Лоренца – Дирака.

Определение

Выражение, полученное Дираком, имеет сигнатуру (− + + +) выражением $$F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}-{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu }}{d\tau }}\right)\right].$$

Благодаря релятивистскому обобщению Льенаром формулы Лармора в сопутствующей системе отсчета , $$P={\frac {\mu _{0}q^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{6\pi c}},$$можно показать, что это действительная сила, манипулируя уравнением средней по времени мощности : $${\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}Pdt={\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}{\textbf {F}}\cdot {\textbf {v}}\,dt.$$

Парадоксы

Предварительное ускорение

Как и в нерелятивистском случае, существуют патологические решения, использующие уравнение Абрахама-Лоренца-Дирака, которые предвидят изменение внешней силы и согласно которым частица ускоряется раньше приложения силы, так называемые предускорительные решения. Одно из решений этой проблемы обсуждалось Ягджяном: и далее обсуждается Рорлихом и Медина.

Неуправляемые решения

Решения, вызывающие ускользание, — это решения уравнений ALD, которые предполагают, что сила, действующая на объекты, будет увеличиваться экспоненциально с течением времени. Это считается нефизическим решением.

Гиперболическое движение

Смотрите также: Парадокс излучения заряженных частиц в гравитационном поле.

Известно, что уравнения ALD равны нулю для постоянного ускорения или гиперболического движения на диаграмме пространства-времени Минковского . Вопрос о том, существует ли в таких условиях электромагнитное излучение, был предметом дискуссий, пока Фриц Рорлих не решил проблему, показав, что гиперболически движущиеся заряды действительно излучают. Впоследствии этот вопрос обсуждается в контексте принципа сохранения энергии и эквивалентности, который классически решается путем рассмотрения «энергии ускорения» или энергии Шотта.

Самовзаимодействия

Однако механизм антидемпфирования, возникающий из-за силы Абрагама-Лоренца, может быть компенсирован другими нелинейными членами, которые часто не учитываются при разложении запаздывающего потенциала Льенара-Вихерта .

Сила демпфирования излучения Ландау – Лифшица

Сила Абрахама-Лоренца-Дирака приводит к некоторым патологическим решениям. Чтобы избежать этого, Лев Ландау и Евгений Лифшиц пришли к следующей формуле для силы демпфирования излучения, которая справедлива, когда сила демпфирования излучения мала по сравнению с силой Лоренца в некоторой системе отсчета (при условии, что она существует):

$g^{i}={\frac {2e^{3}}{3mc^{3}}}\left\{{\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{l}}}-{\frac {e}{mc^{2}}}\left[F^{il}F_{kl}u^{k}-(F_{kl}u^{l})(F^{km}u_{m})u^{i}\right]\right\}$

так что уравнение движения заряда $e$ во внешнем поле $F^{ik}$ можно записать как

$mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+g^{i}.$

Здесь $u^{i}=(\gamma ,\gamma \mathbf {v} /c)$ - четырехскоростная скорость частицы, $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ – фактор Лоренца и $\mathbf {v}$ – трехмерный вектор скорости. Трехмерную силу демпфирования излучения Ландау – Лифшица можно записать как

$\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {2e^{3}\gamma }{3mc^{3}}}\left\{{\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}+{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times {\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}\right\}+{\frac {2e^{4}}{3m^{2}c^{4}}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} +{\frac {1}{c}}\mathbf {H} \times (\mathbf {H} \times \mathbf {v} )+{\frac {1}{c}}\mathbf {E} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} )\right]-{\frac {2e^{4}\gamma ^{2}\mathbf {v} }{3m^{2}c^{5}}}\left[\left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} )^{2}\right]$

где $D/Dt=\partial /\partial t+\mathbf {v} \cdot \nabla$ является полной производной.

Экспериментальные наблюдения

Хотя сила Абрагама-Лоренца в значительной степени игнорируется во многих экспериментальных соображениях, она приобретает важное значение для плазмонных возбуждений в более крупных наночастицах из-за значительного усиления локального поля. Затухание излучения действует как ограничивающий фактор для плазмонных возбуждений при поверхностно-усиленном комбинационном рассеянии света . Показано, что демпфирующая сила расширяет поверхностные плазмонные резонансы в наночастицах золота , наностержнях и кластерах .

Эффекты затухания излучения на ядерный магнитный резонанс также наблюдались Николаасом Бломбергеном и Робертом Паундом , которые сообщили о его доминировании над механизмами спин-спиновой и спин-решеточной релаксации в определенных случаях.

Сила Абрагама-Лоренца наблюдалась в квазиклассическом режиме в экспериментах по рассеянию релятивистского пучка электронов лазером высокой интенсивности. В экспериментах сверхзвуковая струя газообразного гелия перехватывается высокоинтенсивным (10 ¹⁸ –10 ²⁰ Вт/см ² ) лазер. Лазер ионизирует газообразный гелий и ускоряет электроны посредством так называемого эффекта «лазерного кильватерного поля». Затем второй лазерный луч высокой интенсивности распространяется навстречу этому ускоренному электронному лучу. В небольшом числе случаев происходит обратно-комптоновое рассеяние между фотонами и электронным пучком и измеряются спектры рассеянных электронов и фотонов. Спектры фотонов затем сравниваются со спектрами, рассчитанными на основе моделирования Монте-Карло, в котором используются либо КЭД, либо классические уравнения движения ЛЛ.

Коллективные эффекты

Эффекты радиационной реакции часто рассматривают в рамках одночастичной динамики. Однако интересные явления возникают, когда группа заряженных частиц подвергается воздействию сильных электромагнитных полей, например, в плазме. В таких сценариях коллективное поведение плазмы может существенно изменить ее свойства из-за эффектов радиационной реакции.Теоретические исследования показали, что в средах с сильными магнитными полями, например, вокруг пульсаров и магнетаров , радиационное охлаждение может изменить коллективную динамику плазмы. Эта модификация может привести к нестабильности внутри плазмы . В частности, в сильных магнитных полях, типичных для этих астрофизических объектов, распределение частиц по импульсам сгруппировано и становится анизотропным из-за сил реакции излучения, что потенциально приводит к нестабильности плазмы и влияет на общее поведение плазмы. Среди этих нестабильностей выделяется шланговая нестабильность. может возникнуть из-за анизотропного давления.

См. также

• сила Лоренца
• Циклотронное излучение
  • Синхротронное излучение
• Электромагнитная масса
• Устойчивость к радиации
• Демпфирование излучения
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана
• Сила реакции магнитного излучения

Дальнейшее чтение

• Гриффитс, Дэвид Дж . (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN  978-0-13-805326-0 . См. разделы 11.2.2 и 11.2.3.
• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-30932-1 .
• Дональд Х. Мензель (1960) Фундаментальные формулы физики , Dover Publications Inc., ISBN   0-486-60595-7 , том. 1, с. 345.
• Стивен Пэрротт (1987) Релятивистская электродинамика и дифференциальная геометрия , § 4.3 Реакция излучения и уравнение Лоренца-Дирака, страницы 136–45 и § 5.5 Необычные решения уравнения Лоренца-Дирака, стр. 195–204, Springer-Verlag ISBN   0-387-96435-5 .

Внешние ссылки

• MathPages – Излучает ли равномерно ускоряющийся заряд?
• Фейнман: развитие пространственно-временной точки зрения квантовой электродинамики
• ЭК. дель Рио: Излучение ускоренного заряда