Магнитостатика

Магнитостатика — это исследование магнитных полей в системах, где ( не токи постоянны меняются со временем). Это магнитный аналог электростатики , где заряды стационарны. Намагниченность не обязательно должна быть статичной; уравнения магнитостатики можно использовать для прогнозирования быстрых событий магнитного переключения , которые происходят во временных масштабах наносекунд или меньше. Магнитостатика является хорошим приближением даже тогда, когда токи не статичны – пока токи не чередуются быстро. Магнитостатика широко используется в приложениях микромагнетизма, таких как модели магнитных запоминающих устройств, а также в компьютерной памяти .

Приложения

уравнений

Исходя из уравнений Максвелла и предполагая, что заряды либо фиксированы, либо движутся как постоянный ток. $\mathbf {J}$, уравнения распадаются на два уравнения для электрического поля (см. Электростатика ) и два для магнитного поля . Поля независимы от времени и друг от друга. Уравнения магнитостатики как в дифференциальной, так и в интегральной форме показаны в таблице ниже.

Имя	Форма
	Дифференциал	Интеграл
Закон Гаусса для магнетизма	$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0$	$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$
Закон Ампера	$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J}$	$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =I_{\mathrm {enc} }$

Где ∇ с точкой обозначает дивергенцию , а B — плотность магнитного потока , первый интеграл находится по поверхности $S$ с ориентированным элементом поверхности $d\mathbf {S}$. Где ∇ с крестиком обозначает ротор , J — плотность тока , а H — напряженность магнитного поля , второй интеграл представляет собой линейный интеграл по замкнутому контуру. $C$ с линейным элементом $\mathbf {l}$. Ток, проходящий через петлю, равен $I_{\text{enc}}$.

О качестве этого приближения можно судить, сравнивая приведенные выше уравнения с полной версией уравнений Максвелла и принимая во внимание важность удаленных членов. Особое значение имеет сравнение $\mathbf {J}$ срок против $\partial \mathbf {D} /\partial t$ срок. Если $\mathbf {J}$ член существенно больше, то меньший член можно игнорировать без существенной потери точности.

Повторное введение в закон Фарадея

Обычный метод - решить серию магнитостатических задач с пошаговыми шагами по времени, а затем использовать эти решения для аппроксимации члена $\partial \mathbf {B} /\partial t$. Подключая этот результат к закону Фарадея, можно найти значение для $\mathbf {E}$ (что ранее игнорировалось). Этот метод не является истинным решением уравнений Максвелла , но может обеспечить хорошее приближение для медленно меняющихся полей.

Решение проблемы магнитного поля

Текущие источники

Если известны все токи в системе (т. е. если полное описание плотности тока $\mathbf {J} (\mathbf {r} )$ доступно), то магнитное поле можно определить в позиции r из токов по уравнению Био-Савара :

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$$

Этот метод хорошо работает для задач, в которых средой является вакуум , воздух или какой-либо аналогичный материал с относительной проницаемостью 1. Сюда входят индукторы с воздушным сердечником и трансформаторы с воздушным сердечником . Одним из преимуществ этого метода является то, что, если катушка имеет сложную геометрию, ее можно разделить на секции и вычислить интеграл для каждой секции. Поскольку это уравнение в основном используется для решения линейных задач, вклады можно добавить. Для очень сложной геометрии численное интегрирование можно использовать .

Для задач, в которых преобладающим магнитным материалом является магнитный сердечник с высокой проницаемостью и относительно небольшими воздушными зазорами, магнитной цепи полезен подход . Когда воздушные зазоры велики по сравнению с длиной магнитной цепи , окантовка становится значительной и обычно требует расчета методом конечных элементов . В расчете методом конечных элементов используется модифицированная форма приведенных выше уравнений магнитостатики для расчета магнитного потенциала . Стоимость $\mathbf {B}$ можно найти по магнитному потенциалу.

Магнитное поле можно получить из векторного потенциала . Поскольку дивергенция плотности магнитного потока всегда равна нулю,

$$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,$$

а отношение векторного потенциала к току равно:

$$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.$$

Намагниченность

Дополнительная информация: Размагничивающее поле и микромагнетизм.

Сильно магнитные материалы (т.е. ферромагнитные , ферримагнитные или парамагнитные ) имеют намагниченность , которая обусловлена ​​в первую очередь спином электрона . В таких материалах намагниченность необходимо учитывать явно, используя соотношение

$$\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).$$

За исключением проводников, электрическими токами можно пренебречь. Тогда закон Ампера просто

$$\nabla \times \mathbf {H} =0.$$

Это имеет общее решение

$$\mathbf {H} =-\nabla \Phi _{M},$$

где $\Phi _{M}$ скалярный потенциал . Подстановка этого в закон Гаусса дает

$$\nabla ^{2}\Phi _{M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .$$

Таким образом, расходимость намагниченности $\nabla \cdot \mathbf {M} ,$ играет роль, аналогичную электрическому заряду в электростатике. и часто называется эффективной плотностью заряда $\rho _{M}$.

Метод векторного потенциала также можно использовать с эффективной плотностью тока

$$\mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M} .$$

См. также

• Дарвин Лагранжиан

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с магнитостатикой, на Викискладе?