Дарвин Лагранжиан

Дарвиновский лагранжиан (названный в честь Чарльза Гальтона Дарвина , внука натуралиста ) описывает взаимодействие порядка ${\textstyle {v^{2}}/{c^{2}}}$ между двумя заряженными частицами в вакууме, где c — скорость света . Оно было получено до появления квантовой механики и стало результатом более детального исследования классических электромагнитных взаимодействий электронов в атоме. Из модели Бора было известно, что они должны двигаться со скоростями, приближающимися к скорости света. ^[1]

Полный лагранжиан для двух взаимодействующих частиц равен $L=L_{\text{f}}+L_{\text{int}},$ где свободная часть частицы $L_{\text{f}}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{1}v_{1}^{4}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{2}v_{2}^{4},$ Взаимодействие описывается $L_{\text{int}}=L_{\text{C}}+L_{\text{D}},$ где кулоновское взаимодействие в гауссовских единицах равно $L_{\text{C}}=-{\frac {q_{1}q_{2}}{r}},$ в то время как дарвиновское взаимодействие $L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}.$ Здесь $q 1$ и $q 2$ — заряды частиц 1 и 2 соответственно, $m 1$ и $m 2$ — массы частиц, $v 1$ и $v 2$ — скорости частиц, $c$ — скорость света , $r$ — скорость вектор между двумя частицами и ${\hat {\mathbf {r} }}$ — единичный вектор в направлении $r$ .

Первая часть представляет собой разложение Тейлора свободного лагранжиана двух релятивистских частиц до второго порядка по v . Член дарвиновского взаимодействия обусловлен тем, что одна частица реагирует на магнитное поле, создаваемое другой частицей. Если члены более высокого порядка по $v / c$ сохраняются, то необходимо учитывать степени свободы поля и взаимодействие между частицами уже нельзя считать мгновенным. В этом случае замедления . необходимо учитывать эффекты ^[2]^{: 596–598}

Вывод в вакууме

Лагранжиан релятивистского взаимодействия для частицы с зарядом q, взаимодействующей с электромагнитным полем, равен ^[2]^{: 580–581} $L_{\text{int}}=-q\Phi +{\frac {q}{c}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} ,$ где $u$ — релятивистская скорость частицы. Первый член справа порождает кулоновское взаимодействие. Второй член порождает дарвиновское взаимодействие.

Векторный потенциал в кулоновской калибровке описывается выражением ^[2]^: 242 $\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{t}$ где поперечный ток $J t$ — соленоидальный ток (см. разложение Гельмгольца ), генерируемый второй частицей. Дивергенция . поперечного тока равна нулю

Ток, генерируемый второй частицей, равен $\mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta {\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right)},$ который имеет преобразование Фурье $\mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).$

Поперечная составляющая тока равна $\mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )=q_{2}\left[\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}}.$

Легко проверить, что $\mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )=0,$ что должно быть верно, если дивергенция поперечного тока равна нулю. Мы видим это $\mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )$ является компонентой преобразованного Фурье тока, перпендикулярной $k$ .

Из уравнения векторного потенциала преобразование Фурье векторного потенциала равно $\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={\frac {4\pi }{c}}{\frac {q_{2}}{k^{2}}}\left[\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}}$ где мы сохранили только член низшего порядка по $v / c$ .

Обратное преобразование Фурье векторного потенциала есть $\mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {\frac {d^{3}k}{\left(2\pi \right)^{3}}}\;\mathbf {A} (\mathbf {k} )\;e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{1}}={\frac {q_{2}}{2c}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}$ где $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$ (см. Общие интегралы в квантовой теории поля § Поперечный потенциал с массой ).

Тогда член дарвиновского взаимодействия в лагранжиане равен $L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}$ где мы снова сохранили только член низшего порядка по $v / c$ .

Лагранжевы уравнения движения

Уравнение движения одной из частиц имеет вид ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} _{1}}}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)$ ${\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)$ где $p 1$ – импульс частицы.

Свободная частица

Уравнение движения свободной частицы без учета взаимодействия между двумя частицами имеет вид ${\frac {d}{dt}}\left[\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}\right]=0$ $\mathbf {p} _{1}=\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}$

Взаимодействующие частицы

Для взаимодействующих частиц уравнение движения принимает вид ${\frac {d}{dt}}\left[\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{\frac {q_{1}}{c}}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)\right]=-\nabla {\frac {q_{1}q_{2}}{r}}+\nabla \left[{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}\right]$ ${\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\frac {1}{2c^{2}}}\left\{\mathbf {v} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{2}}\right)+\mathbf {v} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {v} _{2}\right]\right\}$ $\mathbf {p} _{1}=\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{\frac {q_{1}}{c}}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)$ $\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)={\frac {q_{2}}{2c}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}$ $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

Гамильтониан для двух частиц в вакууме

Дарвиновский гамильтониан для двух частиц в вакууме связан с лагранжианом преобразованием Лежандра. $H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.$

Гамильтониан становится $H\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {p} _{2}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{1}^{2}}{m_{1}^{2}c^{2}}}\right){\frac {p_{1}^{2}}{2m_{1}}}\;+\;\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{2}^{2}}{m_{2}^{2}c^{2}}}\right){\frac {p_{2}^{2}}{2m_{2}}}\;+\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}\;-\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}.$

Этот гамильтониан дает энергию взаимодействия между двумя частицами. Недавно утверждалось, что, выражаясь через скорости частиц, следует просто положить $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ в последнем члене и поменяйте его знак. ^[3]

Уравнения движения

Гамильтоновы уравнения движения имеют вид $\mathbf {v} _{1}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{1}}}$ и ${\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}=-\nabla _{1}H,$ которые дают $\mathbf {v} _{1}=\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {p_{1}^{2}}{m_{1}^{2}c^{2}}}\right){\frac {\mathbf {p} _{1}}{m_{1}}}-{\frac {q_{1}q_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {p} _{2}$ и ${\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\;+\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\frac {1}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}\left\{\mathbf {p} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{2}}\right)+\mathbf {p} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}\right]\right\}$

Квантовая электродинамика

Структуру дарвиновского взаимодействия можно также ясно увидеть в квантовой электродинамике и за счет обмена фотонами в низшем порядке теории возмущений . Когда фотон имеет четырехимпульс p ^м = хк ^м с волновым вектором k ^м = ( ω / c , k ), его пропагатор в кулоновской калибровке имеет две компоненты. ^[4]

D_{00}(k)={1 \over \mathbf {k} ^{2}}

дает кулоновское взаимодействие между двумя заряженными частицами, а

D_{ij}(k)={1 \over \omega ^{2}-c^{2}\mathbf {k} ^{2}}\left(\delta _{ij}-{k_{i}k_{j} \over \mathbf {k} ^{2}}\right)

описывает обмен поперечным фотоном. Имеет вектор поляризации $\mathbf {e} _{\lambda }$ и соединяется с частицей с зарядом $q$ и трехимпульсный $\mathbf {p}$ с силой $-q{\sqrt {4\pi }}\,\mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {p} /m.$ С $\mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {k} =0$ в этой калибровке не имеет значения, используется ли импульс частицы до или после того, как с ней связывается фотон.

При обмене фотоном между двумя частицами можно пренебречь частотой $\omega$ по сравнению с $c\mathbf {k}$ в пропагаторе, работающем с точностью $v^{2}/c^{2}$ вот это нужно. Тогда две части пропагатора вместе дают эффективный гамильтониан

H_{int}(\mathbf {k} )={4\pi q_{1}q_{2} \over \mathbf {k} ^{2}}-{4\pi q_{1}q_{2} \over m_{1}m_{2}c^{2}\mathbf {k} ^{2}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}

для их взаимодействия в k -пространстве. Теперь это идентично классическому результату, и от квантовых эффектов, использованных в этом выводе, не осталось и следа.

Аналогичный расчет можно сделать, когда фотон соединяется с частицами Дирака со спином s = 1/2 , и использовать его для вывода уравнения Брейта . Оно дает то же дарвиновское взаимодействие, но и дополнительные члены, включающие спиновые степени свободы и зависящие от постоянной Планка . ^[4]

См. также

Ссылки

^ К. Г. Дарвин, Динамические движения заряженных частиц , Философский журнал 39 , 537-551 (1920).
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. ISBN 047130932X .
^ К. Т. Макдональд, Энергетические парадоксы Дарвина , Принстонский университет (2019).
^ Перейти обратно: ^а ^б Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Релятивистская квантовая теория , Pergamon Press, Oxford (1971).

[Darwin-1] К. Г. Дарвин, Динамические движения заряженных частиц , Философский журнал 39 , 537-551 (1920).

[Jackson-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. ISBN 047130932X .

[Kirk-3] К. Т. Макдональд, Энергетические парадоксы Дарвина , Принстонский университет (2019).

[BLP-4] Перейти обратно: ^а ^б Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Релятивистская квантовая теория , Pergamon Press, Oxford (1971).

[1]

[2]

[3]

[4]