Lagrangian used in classical electrodynamics
Дарвиновский лагранжиан (названный в честь Чарльза Гальтона Дарвина , внука натуралиста ) описывает взаимодействие порядка между двумя заряженными частицами в вакууме, где c — скорость света . Оно было получено до появления квантовой механики и стало результатом более детального исследования классических электромагнитных взаимодействий электронов в атоме. Из модели Бора было известно, что они должны двигаться со скоростями, приближающимися к скорости света. [1]
Полный лагранжиан для двух взаимодействующих частиц равен где свободная часть частицы Взаимодействие описывается где кулоновское взаимодействие в гауссовских единицах равно в то время как дарвиновское взаимодействие Здесь q 1 и q 2 — заряды частиц 1 и 2 соответственно, m 1 и m 2 — массы частиц, v 1 и v 2 — скорости частиц, c — скорость света , r — скорость вектор между двумя частицами и — единичный вектор в направлении r .
Первая часть представляет собой разложение Тейлора свободного лагранжиана двух релятивистских частиц до второго порядка по v . Член дарвиновского взаимодействия обусловлен тем, что одна частица реагирует на магнитное поле, создаваемое другой частицей. Если члены более высокого порядка по v / c сохраняются, то необходимо учитывать степени свободы поля и взаимодействие между частицами уже нельзя считать мгновенным. В этом случае замедления . необходимо учитывать эффекты [2] : 596–598
Лагранжиан релятивистского взаимодействия для частицы с зарядом q, взаимодействующей с электромагнитным полем, равен [2] : 580–581 где u — релятивистская скорость частицы. Первый член справа порождает кулоновское взаимодействие. Второй член порождает дарвиновское взаимодействие.
Векторный потенциал в кулоновской калибровке описывается выражением [2] : 242 где поперечный ток J t — соленоидальный ток (см. разложение Гельмгольца ), генерируемый второй частицей. Дивергенция . поперечного тока равна нулю
Ток, генерируемый второй частицей, равен который имеет преобразование Фурье
Поперечная составляющая тока равна
Легко проверить, что что должно быть верно, если дивергенция поперечного тока равна нулю. Мы видим это является компонентой преобразованного Фурье тока, перпендикулярной k .
Из уравнения векторного потенциала преобразование Фурье векторного потенциала равно где мы сохранили только член низшего порядка по v / c .
Обратное преобразование Фурье векторного потенциала есть где (см. Общие интегралы в квантовой теории поля § Поперечный потенциал с массой ).
Тогда член дарвиновского взаимодействия в лагранжиане равен где мы снова сохранили только член низшего порядка по v / c .
Уравнение движения одной из частиц имеет вид где p 1 – импульс частицы.
Уравнение движения свободной частицы без учета взаимодействия между двумя частицами имеет вид
Для взаимодействующих частиц уравнение движения принимает вид
Дарвиновский гамильтониан для двух частиц в вакууме связан с лагранжианом преобразованием Лежандра.
Гамильтониан становится
Этот гамильтониан дает энергию взаимодействия между двумя частицами. Недавно утверждалось, что, выражаясь через скорости частиц, следует просто положить в последнем члене и поменяйте его знак. [3]
Гамильтоновы уравнения движения имеют вид и которые дают и
Структуру дарвиновского взаимодействия можно также ясно увидеть в квантовой электродинамике и за счет обмена фотонами в низшем порядке теории возмущений . Когда фотон имеет четырехимпульс p м = хк м с волновым вектором k м = ( ω / c , k ), его пропагатор в кулоновской калибровке имеет две компоненты. [4]
дает кулоновское взаимодействие между двумя заряженными частицами, а
описывает обмен поперечным фотоном. Имеет вектор поляризации и соединяется с частицей с зарядом и трехимпульсный с силой С в этой калибровке не имеет значения, используется ли импульс частицы до или после того, как с ней связывается фотон.
При обмене фотоном между двумя частицами можно пренебречь частотой по сравнению с в пропагаторе, работающем с точностью вот это нужно. Тогда две части пропагатора вместе дают эффективный гамильтониан
для их взаимодействия в k -пространстве. Теперь это идентично классическому результату, и от квантовых эффектов, использованных в этом выводе, не осталось и следа.
Аналогичный расчет можно сделать, когда фотон соединяется с частицами Дирака со спином s = 1/2 , и использовать его для вывода уравнения Брейта . Оно дает то же дарвиновское взаимодействие, но и дополнительные члены, включающие спиновые степени свободы и зависящие от постоянной Планка . [4]
- ^ К. Г. Дарвин, Динамические движения заряженных частиц , Философский журнал 39 , 537-551 (1920).
- ^ Перейти обратно: а б с Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. ISBN 047130932X .
- ^ К. Т. Макдональд, Энергетические парадоксы Дарвина , Принстонский университет (2019).
- ^ Перейти обратно: а б Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Релятивистская квантовая теория , Pergamon Press, Oxford (1971).