Широкое уравнение

Уравнение Брейта , или уравнение Дирака-Кулона-Брейта , представляет собой релятивистское волновое уравнение, выведенное Грегори Брейтом в 1929 году на основе уравнения Дирака , которое формально описывает две или более массивные со спином частицы электроны -1/2 ( например, ), взаимодействующие электромагнитным образом. до первого порядка по теории возмущений . Он учитывает магнитные взаимодействия и эффекты торможения порядка 1/ c. ² . Было показано, что когда другие квантово-электродинамические эффекты пренебрежимо малы, это уравнение дает результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом. Первоначально он был выведен из лагранжиана Дарвина , но позже подтвержден теорией поглотителя Уиллера-Фейнмана и, в конечном итоге, квантовой электродинамикой .

Введение

Уравнение Брейта является приближением не только с точки зрения квантовой механики , но и с точки зрения теории относительности, поскольку оно не является полностью инвариантным относительно преобразования Лоренца . Как и уравнение Дирака , оно рассматривает ядра как точечные источники внешнего поля для описываемых им частиц. Для N частиц уравнение Брейта имеет вид ( r _ij — расстояние между частицами i и j ):

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(\sum _{i}{\hat {H}}_{\rm {D}}(i)+\sum _{i>j}{\frac {1}{r_{ij}}}+\sum _{i>j}{\hat {B}}_{ij}\right)\Psi$

где $${\hat {H}}_{\text{D}}(i)=\left[q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})+c\sum _{s=x,y,z}\alpha _{s}(i)\pi _{s}(I)+\alpha _{0}(I)m_{0}c^{2}\right]$$— гамильтониан Дирака (см. уравнение Дирака ) для частицы i в положении $\mathbf {r} _{i}$ и $\phi (\mathbf {r} _{i})$ – скалярный потенциал в этом положении; q _i — заряд частицы, поэтому для электронов q _i = − e .Одноэлектронные гамильтонианы Дирака частиц вместе с их мгновенными кулоновскими взаимодействиями 1/ r _ij образуют оператор Дирака–Кулона . К этому Брейт добавил оператор (теперь известный как (частотно-независимый) оператор Брейта ): $${\hat {B}}_{ij}=-{\frac {1}{2r_{ij}}}\left[{\vec {\alpha }}(i)\cdot {\vec {\alpha }}(j)+{\frac {\left({\vec {\alpha }}(i)\cdot \mathbf {r} _{ij}\right)\left({\vec {\alpha }}(j)\cdot \mathbf {r} _{ij}\right)}{r_{ij}^{2}}}\right],$$где матрицы Дирака для электрона i : α ( i ) = [ α _x ( i ), α _y ( i ), α _z ( i )] . Два члена в операторе Брейта учитывают эффекты замедления первого порядка.Волновая функция Ψ в уравнении Брейта представляет собой спинор с 4 ^Н элементов, поскольку каждый электрон описывается биспинором Дирака с 4 элементами, как в уравнении Дирака , а полная волновая функция является их тензорным произведением.

Полный гамильтониан уравнения Брейта, иногда называемый гамильтонианом Дирака-Кулона-Брейта ( H _DCB ), можно разложить на следующие практические операторы энергии для электронов в электрических и магнитных полях (также называемые гамильтонианом Брейта-Паули ): которые имеют четко определенное значение при взаимодействии молекул с магнитными полями (например, для ядерного магнитного резонанса ): $${\hat {B}}_{ij}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{1}+\dots +{\hat {H}}_{6},$$в котором последовательные частичные операторы:

• ${\hat {H}}_{0}=\sum _{i}{\frac {{\hat {p}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+V$ – нерелятивистский гамильтониан ( $m_{i}$ — стационарная масса частицы i ).
• ${\hat {H}}_{1}=-{\frac {1}{8c^{2}}}\sum _{i}{\frac {{\hat {p}}_{i}^{4}}{m_{i}^{3}}}$ связано с зависимостью массы от скорости: $E_{\rm {kin}}^{2}-\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}=m^{2}v^{2}c^{2}$.
• ${\hat {H}}_{2}=-\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{2r_{ij}m_{i}m_{j}c^{2}}}\left[\mathbf {\hat {p}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{j}+{\frac {(\mathbf {r_{ij}} \cdot \mathbf {\hat {p}} _{i})(\mathbf {r_{ij}} \cdot \mathbf {\hat {p}} _{j})}{r_{ij}^{2}}}\right]$ представляет собой поправку, которая частично объясняет запаздывание и может быть описана как взаимодействие между магнитными дипольными моментами частиц, возникающими в результате орбитального движения зарядов (также называемое орбитально-орбитальным взаимодействием).
• ${\hat {H}}_{3}={\frac {\mu _{\rm {B}}}{c}}\sum _{i}{\frac {1}{m_{i}}}\mathbf {s} _{i}\cdot \left[\mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})\times \mathbf {\hat {p}} _{i}+\sum _{j>i}{\frac {2q_{i}}{r_{ij}^{3}}}\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {\hat {p}} _{j}\right]$ — это классическое взаимодействие между орбитальными магнитными моментами (из орбитального движения заряда) и спиновыми магнитными моментами (также называемое спин-орбитальным взаимодействием ). Первый член описывает взаимодействие спина частицы с ее собственным орбитальным моментом ( F ( r _i ) — электрическое поле в положении частицы), а второй член между двумя разными частицами.
• ${\hat {H}}_{4}={\frac {ih}{8\pi c^{2}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{m_{i}^{2}}}\mathbf {\hat {p}} _{i}\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})$ — неклассический термин, характерный для теории Дирака, иногда называемый термином Дарвина .
• ${\hat {H}}_{5}=4\mu _{\rm {B}}^{2}\sum _{i>j}\left\lbrace -{\frac {8\pi }{3}}(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j})\delta (\mathbf {r} _{ij})+{\frac {1}{r_{ij}^{3}}}\left[\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-{\frac {3(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {r} _{ij})(\mathbf {s} _{j}\cdot \mathbf {r} _{ij})}{r_{ij}^{2}}}\right]\right\rbrace$ – магнитный момент спин-спинового взаимодействия. Первый член называется контактным взаимодействием , поскольку он отличен от нуля только тогда, когда частицы находятся в одном и том же положении; второй член — взаимодействие классического диполь-дипольного типа.
• ${\hat {H}}_{6}=2\mu _{\rm {B}}\sum _{i}\left[\mathbf {H} (\mathbf {r} _{i})\cdot \mathbf {s} _{i}+{\frac {q_{i}}{m_{i}c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} _{i})\cdot \mathbf {\hat {p}} _{i}\right]$ взаимодействие спинового и орбитального магнитных моментов с внешним магнитным полем H. —

где: ${\textstyle V=\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}$ и ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2mc}}}$ это магнетон Бора .

См. также

• Уравнение Бете – Солпитера
• Дарвин Лагранжиан
• Уравнения Дирака двух тел
• Позитроний
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Ссылки

• Г. Брейт (1932). «Уравнение Дирака и спин-спиновые взаимодействия двух электронов». Физ. Преподобный . 39 (4): 616–624. Бибкод : 1932PhRv...39..616B . дои : 10.1103/PhysRev.39.616 .
• Дж. Л. Фрайар, Дж. В. Негеле (1973). «Анализ поправок отдачи к уровням энергии мюонного атома по уравнению Брейта». Буквы по физике Б. 46 (1): 5–7. Бибкод : 1973PhLB...46....5F . дои : 10.1016/0370-2693(73)90459-0 .
• Ж. Мурад, Х. Сазджян (1995). «Как получить ковариантное уравнение типа Брейта из релятивистской теории ограничений». Журнал физики G: Ядерная физика и физика элементарных частиц . 46 (3): 267–279. arXiv : hep-ph/9412261 . Бибкод : 1995JPhG...21..267M . дои : 10.1088/0954-3899/21/3/004 . S2CID   17983477 .

Внешние ссылки

• Тензорная форма уравнения Брейта, Институт теоретической физики Варшавского университета.
• Непертурбативное решение уравнения Брейта для парапозитрония, Институт теоретической физики Варшавского университета.