Уравнение Бете – Солпитера

Уравнение Бете-Солпитера (BSE, названное в честь Ганса Бете и Эдвина Солпитера ) представляет собой интегральное уравнение, решение которого описывает структуру релятивистского связанного состояния двух тел (частиц) в ковариантном формализме квантовой теории поля (КТП). Уравнение было впервые опубликовано в 1950 году в конце статьи Ёитиро Намбу , но без вывода.

Графическое представление уравнения Бете – Солпитера, показывающее его рекурсивное определение.

Из-за своего общего применения в нескольких разделах теоретической физики уравнение Бете – Солпитера появляется во многих формах. Одна из форм, часто используемая в физике высоких энергий, — это

$\Gamma (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\;K(P,p,k)\,S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})$

где Γ - амплитуда Бете-Солпитера (BSA), K - функция Грина, представляющая взаимодействие, и S - одетые пропагаторы двух составляющих частиц.

В квантовой теории связанные состояния представляют собой составные физические системы, время жизни которых значительно превышает временной масштаб взаимодействия, нарушающего их структуру (иначе рассматриваемые физические системы называются резонансами ), что дает достаточно времени для взаимодействия компонентов. Учитывая все возможные взаимодействия, которые могут произойти между двумя компонентами, BSE является инструментом для расчета свойств состояний с глубокой связью. БСА как ее решение кодирует структуру рассматриваемого связанного состояния.

Поскольку оно может быть получено путем идентификации связанных состояний с полюсами в S-матрице 4-точечной функции, включающей составляющие частицы, это уравнение связано с квантово-полевым описанием процессов рассеяния с применением функций Грина .

В качестве инструмента общего назначения BSE можно найти в большинстве квантовых теорий поля. Примеры включают позитроний (связанное состояние пары электрон - позитрон ), экситоны (связанные состояния пары электрон-дырка). ) и мезоны (как связанные состояния кварк -антикварк).

Даже для простых систем, таких как позитроний , уравнение не может быть точно решено в рамках квантовой электродинамики (КЭД), несмотря на его точную формулировку. Редукции уравнения можно добиться и без точного решения. В случае, когда рождением пар частиц можно пренебречь, если один из двух фермионных составляющих значительно массивнее другого , система упрощается до уравнения Дирака для легкой частицы под внешним потенциалом тяжелой.

Вывод

Отправной точкой для вывода уравнения Бете – Солпитера является двухчастичное (или четырехточечное) уравнение Дайсона .

$G=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\,G$

в импульсном пространстве, где «G» — двухчастичная функция Грина. $\langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}\,\phi _{3}\,\phi _{4}|\Omega \rangle$, «S» — свободные пропагаторы , а «K» — ядро ​​взаимодействия, которое содержит все возможные взаимодействия между двумя частицами. Теперь решающим шагом будет предположение, что связанные состояния появляются как полюса функции Грина. Предполагается, что две частицы собираются вместе и образуют связанное состояние с массой «М», это связанное состояние свободно распространяется, а затем связанное состояние снова распадается на две составляющие. Поэтому вводится волновая функция Бете – Солпитера $\Psi =\langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}|\psi \rangle$, которая представляет собой амплитуду перехода двух составляющих $\phi _{i}$ в связанное состояние $\psi$, а затем делает анзац для функции Грина вблизи полюса как

$G\approx {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}},$

где P — полный импульс системы. Видно, что если для этого импульса уравнение $P^{2}=M^{2}$ что в точности соответствует соотношению энергии-импульса Эйнштейна (с четырехимпульсным соотношением $P_{\mu }=\left(E/c,{\vec {p}}\right)$ и $P^{2}=P_{\mu }\,P^{\mu }$ ), четырехточечная функция Грина содержит полюс. Если подключить этот анзац к приведенному выше уравнению Дайсона и установить полный импульс «P» таким, чтобы выполнялось соотношение энергия-импульс, по обе стороны от члена появится полюс.

${\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}{\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}$

Сравнение выходов остатков

$\Psi =S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\Psi ,\,$

Это уже уравнение Бете–Солпитера, записанное в терминах волновых функций Бете–Солпитера. Чтобы получить указанную выше форму, вводятся амплитуды Бете – Солпитера «Γ»

$\Psi =S_{1}\,S_{2}\,\Gamma$

и получает наконец

$\Gamma =K_{12}\,S_{1}\,S_{2}\,\Gamma$

что записано выше, с явной зависимостью от импульса.

Приближение радужной лестницы

Графическое представление уравнения Бете – Солпитера в лестничном приближении.

В принципе ядро ​​взаимодействия K содержит все возможные двухчастичные неприводимые взаимодействия, которые могут возникнуть между двумя компонентами. Для проведения практических расчетов необходимо смоделировать его, выбрав подмножество взаимодействий. Как и в квантовых теориях поля , взаимодействие описывается посредством обмена частицами (например, фотонами в КЭД или глюонами в квантовой хромодинамике ), кроме контактных взаимодействий, наиболее простое взаимодействие моделируется обменом только одной из этих несущих силу частиц с известный пропагандист.

Поскольку уравнение Бете-Солпитера суммирует взаимодействие бесконечно много раз с точки зрения пертурбативного подхода, результирующий график Фейнмана напоминает форму лестницы (или радуги), отсюда и название этого приближения.

В то время как в КЭД лестничное приближение вызвало проблемы с перекрестной симметрией и калибровочной инвариантностью, что указывает на включение членов перекрестной лестницы. В квантовой хромодинамике (КХД) это приближение часто используется феноменологически для расчета массы адрона и его структуры в терминах амплитуд Бете--Солпитера и амплитуд Фаддеева, известный анзац которых предложен Марисом и Тэнди. Такой анзац для одетой кварк-глюонной вершины внутри усечения радужной лестницы соблюдает киральную симметрию и ее динамическое нарушение , что, следовательно, является важным моделированием сильного ядерного взаимодействия . В качестве примера структуру пионов можно решить, используя анзац Мариса-Тэнди из уравнения Бете-Солпитера в евклидовом пространстве.

Нормализация

Что касается решений любого однородного уравнения, то решение уравнения Бете–Солпитера определяется с точностью до числового множителя. Этот коэффициент должен быть задан определенным условием нормировки. Для амплитуд Бете – Солпитера это обычно делается путем требования сохранения вероятности (аналогично нормализации квантово-механической волновой функции ), что соответствует уравнению

$2P_{\mu }={\bar {\Gamma }}\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\left(S_{1}\otimes S_{2}\right)-S_{1}\,S_{2}\,\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\,K\right)\,S_{1}\,S_{2}\right)\Gamma$

Нормировки к тензору заряда и энергии-импульса связанного состояния приводят к тому же уравнению. В приближении радужной лестницы это ядро ​​Взаимодействия не зависит от полного импульса амплитуды Бете–Солпитера, и в этом случае второй член условия нормировки обращается в нуль. Альтернативная нормализация, основанная на собственном значении соответствующего линейного оператора, была получена Наканиши.

Решение в пространстве Минковского.

Уравнение Бете-Солпитера применимо ко всей кинематической области амплитуды Бете-Солпитера. Следовательно, он определяет амплитуды, в которых функции не являются непрерывными. Такие особенности обычно располагаются, когда составляющий импульс времениподобен, что невозможно напрямую получить из решений этого уравнения в евклидовом пространстве. Вместо этого разрабатываются методы решения интегральных уравнений такого типа непосредственно во времениподобной области. В случае скалярных связанных состояний посредством обмена скалярными частицами при усечении радужной лестницы уравнение Бете--Солпитера в пространстве Минковского может быть решено с помощью интегрального представления Наканиши.

См. также

• АБИН
• Поправка Араки – Искателя
• Широкое уравнение
• Уравнение Липпмана – Швингера
• Уравнение Швингера – Дайсона
• Уравнения Дирака двух тел
• Код ЯМБО

Библиография

Многие современные учебники по квантовой теории поля и несколько статей содержат педагогические объяснения контекста и использования уравнения Бете-Солпитера. Видеть:

• В. Грейнер, Дж. Рейнхардт (2003). Квантовая электродинамика (3-е изд.). Спрингер . ISBN  978-3-540-44029-1 .
• З.К. Силагадзе (1998). «Модель Уика – Каткоски: Введение». arXiv : hep-ph/9803307 .

Еще хорошее введение дает обзорная статья Наканиси.

• Н. Наканиши (1969). «Общий обзор теории уравнения Бете – Солпитера» . Приложение «Прогресс теоретической физики» . 43 : 1–81. Бибкод : 1969ПТПС..43....1Н . дои : 10.1143/PTPS.43.1 .

Об исторических аспектах см.

• Э. Солпитер (2008). «Уравнение Бете – Солпитера (происхождение)» . Схоларпедия . 3 (11): 7483. arXiv : 0811.1050 . Бибкод : 2008SchpJ...3.7483S . doi : 10.4249/scholarpedia.7483 . S2CID   32913032 .

Внешние ссылки на коды, в которых закодировано уравнение Бете-Солпитера

• Ямбо - плосковолновой псевдопотенциал
• BerkeleyGW – псевдопотенциал плоской волны
• ExC - плосковолновой псевдопотенциал
• Фиеста - гауссовский полностью электронный
• Абинит - плосковолновой псевдопотенциал
• VASP - плосковолновой псевдопотенциал

Более полный список кодов основных принципов см. здесь: List_of_quantum_chemistry_and_solid-state_physical_software.