Уравнение Швингера – Дайсона

Фримен Дайсон в 2005 году

Уравнения Швингера-Дайсона ( СДУ ) или уравнения Дайсона-Швингера , названные в честь Джулиана Швингера и Фримена Дайсона , представляют собой общие соотношения между корреляционными функциями в квантовых теориях поля (КТП). Их также называют уравнениями Эйлера–Лагранжа квантовых теорий поля, поскольку они представляют собой уравнения движения, соответствующие функции Грина. Они образуют набор бесконечно многих функционально-дифференциальных уравнений, связанных друг с другом, иногда называемый бесконечной башней СДУ.

В своей статье «S-матрица в квантовой электродинамике» Дайсон вывел отношения между различными элементами S-матрицы , или более конкретными «одночастичными функциями Грина» в квантовой электродинамике , суммируя бесконечное количество диаграмм Фейнмана , работая таким образом в пертурбативном подходе. Исходя из своего вариационного принципа , Швингер непертурбативно вывел систему уравнений для функций Грина: которые обобщают уравнения Дайсона до уравнений Швингера-Дайсона для функций Грина квантовых теорий поля . Сегодня они обеспечивают непертурбативный подход к квантовым теориям поля, и их приложения можно найти во многих областях теоретической физики, таких как физика твердого тела и физика элементарных частиц .

Швингер также вывел уравнение для двухчастичных неприводимых функций Грина: которое в настоящее время называют неоднородным уравнением Бете–Солпитера .

Вывод

Учитывая полиномиально ограниченный функционал $F$ тогда по конфигурациям полей для любого вектора состояния (который является решением КТП) $|\psi \rangle$, у нас есть

$\left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F[\varphi ]\right\}\right|\psi \right\rangle =-i\left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{F[\varphi ]{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S[\varphi ]\right\}\right|\psi \right\rangle$

где $S$ действие функциональное и ${\mathcal {T}}$ — операция упорядочения времени .

Эквивалентно, в формулировке состояния плотности для любого (действительного) состояния плотности $\rho$, у нас есть

$\rho \left({\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F[\varphi ]\right\}\right)=-i\rho \left({\mathcal {T}}\left\{F[\varphi ]{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S[\varphi ]\right\}\right).$

Этот бесконечный набор уравнений можно использовать для непертурбативного решения корреляционных функций .

Чтобы сделать связь с диаграммными методами (такими как диаграммы Фейнмана ) более понятной, часто бывает удобно разделить действие $S$ как

$S[\varphi ]={\frac {1}{2}}\varphi ^{i}D_{ij}^{-1}\varphi ^{j}+S_{\text{int}}[\varphi ],$

где первый член представляет собой квадратичную часть, а $D^{-1}$ представляет собой обратимый симметричный (антисимметричный для фермионов) ковариантный тензор второго ранга в обозначениях ДеВитта , обратный которому $D$ называется голым пропагатором и $S_{\text{int}}[\varphi ]$ это «действие взаимодействия». Тогда мы можем переписать уравнения SD как

$\langle \psi |{\mathcal {T}}\{F\varphi ^{j}\}|\psi \rangle =\langle \psi |{\mathcal {T}}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{{\text{int}},i}D^{ij}\}|\psi \rangle .$

Если $F$ является функционалом $\varphi$, то для оператора $K$, $F[K]$ определяется как оператор, который заменяет $K$ для $\varphi$. Например, если

$F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n})$

и $G$ является функционалом $J$, затем

$F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].$

Если у нас есть « аналитический » (функция, локально заданная сходящимся степенным рядом) функционал $Z$ (называемый производящим функционалом ) $J$ (называемое исходным полем ), удовлетворяющее

${\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[0]=i^{n}Z[0]\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\rangle ,$

тогда из свойств функциональных интегралов

${\left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[\varphi \right]+J(x)\right\rangle }_{J}=0,$

уравнение Швингера–Дайсона для производящего функционала имеет вид

${\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0.$

Если мы разложим это уравнение как ряд Тейлора относительно $J=0$, мы получаем всю систему уравнений Швингера–Дайсона.

Пример: φ ⁴

В качестве примера предположим, что

$S[\varphi ]=\int d^{d}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi (x)\partial _{\mu }\varphi (x)-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi (x)^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi (x)^{4}\right)$

для реального поля φ .

Затем,

${\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}=-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\varphi (x)-m^{2}\varphi (x)-{\frac {\lambda }{3!}}\varphi ^{3}(x).$

Уравнение Швингера-Дайсона для этого конкретного примера:

$i\partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]+im^{2}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]-{\frac {i\lambda }{3!}}{\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}Z[J]+J(x)Z[J]=0$

Обратите внимание, что поскольку

${\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}$

не является четко определенным, поскольку

${\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x_{1})\delta J(x_{2})\delta J(x_{3})}}Z[J]$

это распределение в

х ₁ , х ₂ и х ₃ ,

это уравнение необходимо регуляризовать .

В этом примере голый пропагатор D является функцией Грина для $-\partial ^{\mu }\partial _{\mu }-m^{2}$ и, таким образом, система уравнений Швингера – Дайсона имеет вид

${\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]={}&iD(x_{0},x_{1})+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{2}\,D(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\[6pt]={}&iD(x_{0},x_{1})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle +iD(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]&{}+iD(x_{0},x_{3})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]&{}+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{4}\,D(x_{0},x_{4})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}$

и т. д.

(Если не происходит спонтанного нарушения симметрии , нечетные корреляционные функции исчезают.)

См. также

• Группа функциональной ренормализации
• Уравнение Дайсона
• Формулировка интеграла по траектории
• Исходное поле

Дальнейшее чтение

Книг, посвященных уравнениям Швингера – Дайсона, не так много. Вот три стандартных ссылки:

• Клод Ицыксон, Жан-Бернар Зубер (1980). Квантовая теория поля . МакГроу-Хилл . ISBN  9780070320710 .
• Р. Дж. Риверс (1990). Методы интеграла по траекториям в квантовых теориях поля . Издательство Кембриджского университета.
• В.П. Наир (2005). Квантовая теория поля: современный взгляд . Спрингер.

Есть обзорные статьи о приложениях уравнений Швингера–Дайсона в специальных областях физики. Для приложений к квантовой хромодинамике существуют

• Р. Алкофер и Л. против Смекала (2001 г.). «Об инфракрасном поведении функций Грина КХД». Физ. Представитель . 353 (5–6): 281. arXiv : hep-ph/0007355 . Бибкод : 2001PhR...353..281A . дои : 10.1016/S0370-1573(01)00010-2 . S2CID   119411676 .
• CD Робертс и А.Г. Уильямс (1994). «Уравнения Дайсона-Швингера и их приложения к физике адронов». Прог. Часть. Нукл. Физ . 33 : 477–575. arXiv : hep-ph/9403224 . Бибкод : 1994ПрПНП..33..477Р . дои : 10.1016/0146-6410(94)90049-3 . S2CID   119360538 .