Группа функциональной ренормализации

В теоретической физике функциональная ренормгруппа ( ФРГ ) представляет собой реализацию концепции ренормгруппы (РГ), которая используется в квантовой и статистической теории поля, особенно при работе с сильно взаимодействующими системами. Метод сочетает в себе функциональные методы квантовой теории поля с интуитивной идеей ренормгруппы Кеннета Г. Уилсона . Этот метод позволяет плавно интерполировать известные микроскопические законы и сложные макроскопические явления в физических системах. В этом смысле он соединяет переход от простоты микрофизики к сложности макрофизики. Образно говоря, ФРГ действует как микроскоп с переменным разрешением. Начинают с изображения известных микрофизических законов в высоком разрешении, а затем уменьшают разрешение, чтобы получить более крупнозернистую картину макроскопических коллективных явлений. Метод является непертурбативным, что означает, что он не основан на разложении по малой константе связи . Математически ФРГ основана на точном функционально-дифференциальном уравнении для масштабно-зависимой эффективное действие .

Уравнение потока для эффективного действия

В квантовой теории поля эффективное действие $\Gamma$ является аналогом классического функционала действия $S$ и зависит от областей данной теории. Оно включает в себя все квантовые и тепловые флуктуации. Вариант $\Gamma$ дает точные уравнения квантового поля, например, для космологии или электродинамики сверхпроводников. Математически, $\Gamma$ — производящий функционал одночастичных неприводимых диаграмм Фейнмана . Из него можно напрямую извлечь интересную физику, например, пропагаторы и эффективные связи для взаимодействий. В общей теории взаимодействующего поля эффективное действие $\Gamma$однако получить его сложно. ФРГ предоставляет практический инструмент для расчета $\Gamma$ используя концепцию ренормгруппы .

Центральным объектом в ФРГ является масштабно-зависимый функционал эффективного действия. $\Gamma _{k}$ часто называют средним действием или плавным действием. Зависимость от скользящей шкалы РГ $k$ вводится добавлением регулятора (отсечка инфракрасного излучения) $R_{k}$ к полному обратному распространителю $\Gamma _{k}^{(2)}$. Грубо говоря, регулятор $R_{k}$ отделяет медленные моды от импульсов $q\lesssim k$ придавая им большую массу, при этом моды с высоким импульсом не затрагиваются. Таким образом, $\Gamma _{k}$ включает все квантовые и статистические флуктуации с импульсами $q\gtrsim k$. Плавное действие $\Gamma _{k}$ подчиняется точному функциональному уравнению потока

$k\,\partial _{k}\Gamma _{k}={\frac {1}{2}}{\text{STr}}\,k\,\partial _{k}R_{k}\,(\Gamma _{k}^{(1,1)}+R_{k})^{-1},$

получено Кристофом Веттерихом и Тимом Р. Моррисом в 1993 году. Здесь $\partial _{k}$ обозначает производную по шкале РГ $k$ при фиксированных значениях полей. Более того, $\Gamma _{k}^{(1,1)}$ обозначает функциональную производную $\Gamma _{k}$ из левой и правой части соответственно из-за тензорной структуры уравнения. Эту особенность часто изображают упрощенно посредством второй производной эффективного действия.Функционально-дифференциальное уравнение для $\Gamma _{k}$ необходимо дополнить начальным условием $\Gamma _{k\to \Lambda }=S$, где «классическое действие» $S$ описывает физику в микроскопическом ультрафиолетовом масштабе $k=\Lambda$. Важно отметить, что в инфракрасном пределе $k\to 0$ полное эффективное действие $\Gamma =\Gamma _{k\to 0}$ получается. В уравнении Веттериха ${\text{STr}}$ обозначает суперслед, который суммирует импульсы, частоты, внутренние индексы и поля (принимая бозоны со знаком плюс и фермионы со знаком минус). Точное уравнение потока для $\Gamma _{k}$ имеет одноконтурную структуру. Это важное упрощение по сравнению с теорией возмущений , куда необходимо включать многоконтурные диаграммы. Вторая функциональная производная $\Gamma _{k}^{(2)}=\Gamma _{k}^{(1,1)}$ - это пропагатор полного обратного поля, модифицированный наличием регулятора $R_{k}$.

Ренормгрупповая эволюция $\Gamma _{k}$ можно проиллюстрировать в теоретическом пространстве, которое представляет собой многомерное пространство всех возможных работающих связей. $\{c_{n}\}$ допускается симметрией задачи. Как схематично показано на рисунке, в микроскопическом ультрафиолетовом масштабе $k=\Lambda$ мы начинаем с начального условия $\Gamma _{k=\Lambda }=S$.

Ренормализационный групповой поток в теоретическом пространстве всех возможных связей, допускаемых симметриями.

Как скользящая шкала $k$ опущено, плавное действие $\Gamma _{k}$ развивается в пространстве теории согласно функциональному уравнению потока. Выбор регулятора $R_{k}$ не является единственным, что вносит некоторую схемную зависимость в поток ренормгруппы . По этой причине различные варианты выбора регулятора $R_{k}$ соответствуют различным путям на рисунке. В инфракрасном масштабе $k=0$, однако полное эффективное действие $\Gamma _{k=0}=\Gamma$ восстанавливается для каждого выбора отсечки $R_{k}$, и все траектории встречаются в одной и той же точке теоретического пространства.

В большинстве представляющих интерес случаев уравнение Веттериха можно решить только приближенно. Обычно какой-то тип расширения $\Gamma _{k}$ выполняется, которое затем усекается до конечного порядка, что приводит к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Были разработаны различные схемы систематического разложения (такие как разложение по производной, разложение вершин и т. д.). Выбор подходящей схемы должен быть физически мотивирован и зависеть от поставленной задачи. Разложения не обязательно включают малый параметр (например, константу связи взаимодействия ) и поэтому они, как правило, имеют непертурбативную природу.

Однако обратите внимание, что из-за множества вариантов соглашений (префакторов) и конкретного определения эффективного действия в литературе можно найти другие (эквивалентные) версии уравнения Веттериха.

Аспекты функциональной перенормировки

• Уравнение потока Веттериха является точным уравнением. Однако на практике функционально-дифференциальное уравнение должно быть усечено, т.е. оно должно быть спроецировано на функции нескольких переменных или даже на некоторое конечномерное подтеоретическое пространство. Как и в любом непертурбативном методе, при функциональной перенормировке вопрос оценки погрешности нетривиален. Один из способов оценить ошибку в FRG — улучшить усечение на последовательных шагах, т. е. расширить пространство подтеории за счет включения все большего и большего количества работающих связей. Разница в потоках для разных усечений дает хорошую оценку ошибки. В качестве альтернативы можно использовать различные функции регулятора. $R_{k}$ в заданном (фиксированном) усечении и определить разность потоков РГ в ИК-диапазоне для соответствующих вариантов выбора регулятора. Если используется бозонизация, можно проверить нечувствительность конечных результатов к различным процедурам бозонизации.
• В ФРГ, как и во всех методах РГ, большую часть информации о физической системе можно получить из топологии потоков РГ. В частности, большое значение имеет выявление неподвижных точек эволюции ренормгруппы. Вблизи неподвижных точек поток работающих муфт эффективно останавливается и RG $\beta$-функции стремятся к нулю. Наличие (частично) стабильных инфракрасных фиксированных точек тесно связано с концепцией универсальности . Универсальность проявляется в наблюдении того, что некоторые очень разные физические системы имеют одинаковое критическое поведение. Например, критические показатели фазового перехода жидкость–газ в воде и ферромагнитного фазового перехода в магнетиках с хорошей точностью совпадают. На языке ренормгруппы разные системы одного и того же класса универсальности текут к одной и той же (частично) стабильной инфракрасной фиксированной точке. Таким образом, макрофизика становится независимой от микроскопических деталей конкретной физической модели.
• По сравнению с теорией возмущений функциональная перенормировка не делает строгого различия между перенормируемыми и неперенормируемыми связями. Все текущие связи, допускаемые симметрией задачи, генерируются в ходе течения ФРГ. Однако неперенормируемые связи очень быстро приближаются к частичным фиксированным точкам во время эволюции в сторону инфракрасного диапазона, и, таким образом, поток эффективно коллапсирует на гиперповерхности размерности, определяемой количеством перенормируемых связей. Учет неперенормируемых связей позволяет исследовать неуниверсальные особенности, чувствительные к конкретному выбору микроскопического воздействия. $S$ и конечная ультрафиолетовая отсечка $\Lambda$.
• Уравнение Веттериха может быть получено путем преобразования Лежандра функционального уравнения Полчинского, полученного Джозефом Полчински в 1984 году. Однако концепция эффективного среднего действия, используемая в ФРГ, более интуитивна, чем плавное голое действие в уравнении Полчинского. . Кроме того, метод ФРГ оказался более пригодным для практических расчетов.
• Обычно физика низких энергий сильно взаимодействующих систем описывается макроскопическими степенями свободы (т.е. возбуждениями частиц), которые сильно отличаются от микроскопических степеней свободы высоких энергий. Например, квантовая хромодинамика — это полевая теория взаимодействующих кварков и глюонов. Однако при низких энергиях собственными степенями свободы являются барионы и мезоны. Другим примером является проблема пересечения BEC/BCS в физике конденсированного состояния . Хотя микроскопическая теория определяется в терминах двухкомпонентных нерелятивистских фермионов, при низких энергиях составной (частично-частичный) димер становится дополнительной степенью свободы, и его целесообразно явно включить в модель. Низкоэнергетические составные степени свободы могут быть введены в описание методом частичной бозонизации ( преобразование Хаббарда–Стратоновича ). Однако это преобразование выполняется раз и навсегда в УФ-масштабе. $\Lambda$. В ФРГ был предложен более эффективный способ включения макроскопических степеней свободы, известный как проточная бозонизация или ребозонизация. С помощью масштабно-зависимого преобразования поля это позволяет непрерывно выполнять преобразование Хаббарда – Стратоновича на всех масштабах РГ. $k$.

Функциональная ренорм-группа для эффективного взаимодействия, упорядоченного по Вику.

В отличие от уравнения потока эффективного действия, данная схема сформулирована для эффективного взаимодействия

${\mathcal {V}}[\eta ,\eta ^{+}]=-\ln Z[G_{0}^{-1}\eta ,G_{0}^{-1}\eta ^{+}]-\eta G_{0}^{-1}\eta ^{+}$

который генерирует вершины взаимодействия n-частиц, ампутированные голыми пропагаторами $G_{0}$; $Z[\eta ,\eta ^{+}]$ — «стандартный» производящий функционал для n-частичных функций Грина.

Виковский порядок эффективного взаимодействия относительно функции Грина $D$ может быть определен

${\mathcal {W}}[\eta ,\eta ^{+}]=\exp(-\Delta _{D}){\mathcal {V}}[\eta ,\eta ^{+}]$.

где $\Delta =D\delta ^{2}/(\delta \eta \delta \eta ^{+})$ является лапласианом в полевом пространстве. Эта операция аналогична нормальному порядку и исключает из взаимодействия все возможные члены, образованные сверткой исходных полей с соответствующей функцией Грина D. Введение некоторого отсечения $\Lambda$ the Polchinskii equation

${\frac {\partial }{\partial \Lambda }}{{V}_{\Lambda }}(\psi )=-{{\dot {\Delta }}_{G_{0,\Lambda }}}{{V}_{\Lambda }}(\psi )+\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(2)}$

принимает форму уравнения Вика

${\partial _{\Lambda }}{{\mathcal {W}}_{\Lambda }}=-{\Delta _{{{\dot {D}}_{\Lambda }}+{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}}}{{\mathcal {W}}_{\Lambda }}+{e^{-\Delta _{D_{\Lambda }}^{12}}}\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {W}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {W}}_{\Lambda }^{(2)}$

где

$\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(2)}={\frac {1}{2}}\left({{\frac {\delta {{V}_{\Lambda }}(\psi )}{\delta \psi }},{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}{\frac {\delta {{V}_{\Lambda }}(\psi )}{\delta \psi }}}\right)$

Приложения

Метод применялся к многочисленным задачам физики, например:

• В статистической теории поля ФРГ дала единую картину фазовых переходов в классических линейных системах. $O(N)$-симметричные скалярные теории в разных измерениях $d$, включая критические показатели для $d=3$ и фазовый переход Березинского–Костерлица–Таулесса для $d=2$, $N=2$.
• В калибровочной квантовой теории поля ФРГ использовалась, например, для исследования кирального фазового перехода и инфракрасных свойств КХД и ее расширений с большим ароматом.
• В физике конденсированного состояния этот метод оказался успешным для рассмотрения моделей решетки (например, модели Хаббарда или фрустрированных магнитных систем), отталкивающего бозе-газа, кроссовера БЭК/БКШ для двухкомпонентного ферми-газа, эффекта Кондо , неупорядоченных систем и неравновесных явлений.
• Применение ФРГ к гравитации предоставило аргументы в пользу непертурбативной перенормируемости квантовой гравитации в четырех измерениях пространства-времени, известной как асимптотический сценарий безопасности .
• В математической физике ФРГ использовалась для доказательства перенормируемости различных теорий поля.

См. также

• Ренормгруппа
• Перенормировка
• Критические явления
• Масштабная инвариантность
• Асимптотическая безопасность в квантовой гравитации

Ссылки

Статьи

• Веттерих, К. (1993), «Точное уравнение эволюции эффективного потенциала», Phys. Летт. B , 301 (1): 90, arXiv : 1710.05815 , Bibcode : 1993PhLB..301...90W , doi : 10.1016/0370-2693(93)90726-X , S2CID   119536989
• Моррис, Т.Р. (1994), "Точная ренормгруппа и приближенные решения", Int. Дж. Мод. Физ. A , A (14): 2411–2449, arXiv : hep-ph/9308265 , Bibcode : 1994IJMPA...9.2411M , doi : 10.1142/S0217751X94000972 , S2CID   15749927
• Полчински, Дж. (1984), "Перенормировка и эффективные лагранжианы", Nucl. Физ. Б , 231 (2):269, Бибкод : 1984НуФБ.231..269П , номер документа : 10.1016/0550-3213(84)90287-6

• Рейтер, М. (1998), «Уравнение непертурбативной эволюции квантовой гравитации», Phys. D , 57 (2): 971–985, arXiv : hep-th/9605030 , Bibcode : 1998PhRvD..57..971R , CiteSeerX   10.1.1.263.3439 , doi : 10.1103/PhysRevD.57.971 , S2CID   119454616

Педагогические обзоры

• Ж. Бержес; Н. Тетрадис; К. Веттерих (2002), «Непертурбативный поток перенормировки в квантовой теории поля и статистической механике», Phys. Rep. , 363 (4–6): 223–386, arXiv : hep-ph/0005122 , Bibcode : 2002PhR...363..223B , doi : 10.1016/S0370-1573(01)00098-9 , S2CID   119033356

• Дж. Полони, Янош (2003), «Лекции по методу функциональной ренормгруппы», Cent. Евро. Дж. Физ. , 1 (1): 1–71, arXiv : hep-th/0110026 , Bibcode : 2003CEJPh...1....1P , doi : 10.2478/BF02475552 , S2CID   53407529

• Х.Гис (2006). «Введение в функциональную РГ и приложения для калибровочных теорий». Ренормгруппа и эффективные подходы теории поля к системам многих тел . Конспект лекций по физике. Том. 852. стр. 287–348. arXiv : hep-ph/0611146 . дои : 10.1007/978-3-642-27320-9_6 . ISBN  978-3-642-27319-3 . S2CID   15127186 .

• Б. Деламотт (2007). «Введение в непертурбативную ренормгруппу». Ренормгруппа и эффективные подходы теории поля к системам многих тел . Конспект лекций по физике. Том. 852. стр. 49–132. arXiv : cond-mat/0702365 . дои : 10.1007/978-3-642-27320-9_2 . ISBN  978-3-642-27319-3 . S2CID   34308305 .

• Зальмхофер, Манфред; Хонеркамп, Карстен (2001), «Потоки фермионной ренормгруппы: техника и теория», Prog. Теор. Физ. , 105 (1): 1, Bibcode : 2001PThPh.105....1S , doi : 10.1143/PTP.105.1

• М. Рейтер и Ф. Зауэрессиг; Франк Зауэрессиг (2007). «Уравнения функциональной ренормгруппы, асимптотическая безопасность и квантовая гравитация Эйнштейна». arXiv : 0708.1317 [ hep-th ].