Биспинор

В физике и особенно в квантовой теории поля , биспинор — это математическая конструкция, которая используется для описания некоторых фундаментальных частиц природы , , включая кварки и электроны . Это конкретный вариант спинора , специально сконструированный так, чтобы он соответствовал требованиям специальной теории относительности . Биспиноры преобразуются определенным «спинориальным» образом под действием группы Лоренца , которая описывает симметрии пространства-времени Минковского . Они происходят в релятивистской спин- ⁠ 1/2 ⁠ решения функции волновой уравнения Дирака .

Биспиноры называются так потому, что они состоят из двух более простых компонентных спиноров, спиноров Вейля . со спином 1/2 Каждый из двух компонентных спиноров преобразуется по-разному под действием двух различных комплексно-сопряженных представлений группы Лоренца . Это спаривание имеет фундаментальное значение, поскольку оно позволяет изображенной частице иметь массу , нести заряд и представлять поток заряда как ток и, что, возможно, наиболее важно, переносить угловой момент . Точнее, масса является инвариантом Казимира группы Лоренца (собственное состояние энергии), тогда как комбинация векторов несет импульс и ток, будучи ковариантной под действием группы Лоренца. Угловой момент переносится вектором Пойнтинга , соответствующим образом построенным для спинового поля.

Биспинор — это более или менее «то же самое», что и спинор Дирака . Используемое здесь соглашение заключается в том, что в статье о спиноре Дирака представлены плоские волновые решения уравнения Дирака с использованием соглашения Дирака для гамма-матриц . То есть спинор Дирака является биспинором в соглашении Дирака. Напротив, статья ниже концентрируется в первую очередь на Вейле, или киральном представлении, менее сосредоточена на уравнении Дирака и больше сосредоточена на геометрической структуре, включая геометрию группы Лоренца . Таким образом, многое из сказанного ниже можно применить к уравнению Майораны .

Определение

Биспиноры — это элементы 4-мерного комплексного векторного пространства ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1/2 ​ ​ ⁠ ) представление группы Лоренца .

В базисе Вейля биспинор

$\psi =\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{array}}\right)$

состоит из двух (двухкомпонентных) спиноров Вейля $\psi _{\rm {L}}$ и $\psi _{\rm {R}}$ которые преобразуются соответственно под действием ( ⁠ 1/2 , ⁠ , 0) и (0 ⁠ 1 / 2 ⁠ ) представления $\mathrm {SO} (1,3)$ группа (группа Лоренца без преобразований четности ). При преобразовании четности спиноры Вейля переходят друг в друга.

Биспинор Дирака соединяется с биспинором Вейля унитарным преобразованием в базис Дирака :

$\psi \rightarrow {1 \over {\sqrt {2}}}\left[{\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}}\right]\psi ={1 \over {\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {R}}+\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}-\psi _{\rm {L}}\end{array}}\right).$

Базис Дирака является наиболее широко используемым в литературе.

Выражения для преобразований Лоренца биспиноров

Биспинорное поле $\psi (x)$ преобразуется по правилу

$\psi ^{a}(x)\to {\psi ^{\prime }}^{a}\left(x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}\left(\Lambda ^{-1}x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}(x)$

где $\Lambda$ является преобразованием Лоренца . Здесь координаты физических точек преобразуются по закону $x^{\prime }=\Lambda x$, пока $S$, матрица, является элементом спинорного представления (для спина 1/2 ) группы Лоренца.

В базисе Вейля явные матрицы преобразования для повышения $\Lambda _{\rm {boost}}$ и для ротации $\Lambda _{\rm {rot}}$ следующие:

${\begin{aligned}S[\Lambda _{\rm {boost}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+\chi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{-\chi \cdot \sigma /2}\end{array}}\right)\\S[\Lambda _{\rm {rot}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+i\phi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{+i\phi \cdot \sigma /2}\end{array}}\right)\end{aligned}}$

Здесь $\chi$ - параметр повышения, и $\phi ^{i}$ представляет собой вращение вокруг $x^{i}$ ось. $\sigma _{i}$ — матрицы Паули . Экспонента — это экспоненциальная карта , в данном случае матричная экспонента, определенная путем помещения матрицы в обычный степенной ряд для экспоненциальной функции.

Характеристики

Билинейную форму биспиноров можно свести к пяти неприводимым (по группе Лоренца) объектам:

1. скаляр , ${\bar {\psi }}\psi$;
2. псевдоскаляр , ${\bar {\psi }}\gamma ^{5}\psi$;
3. вектор , ${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$;
4. псевдовектор , ${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi$;
5. антисимметричный тензор , ${\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)\psi$,

где ${\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ и $\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\right\}$ являются гамма-матрицами . Эти пять величин связаны между собой тождествами Фирца . Их значения используются в классификации спинорных полей Лунесто для различных типов спиноров, из которых биспинор является лишь одним из них; остальные — это флагшток которого является спинор Майорана ( частным случаем ), флаг-диполь и спинор Вейля . Флагшток, флаг-диполь и спиноры Вейля имеют нулевую массу и псевдоскалярные поля; флагшток дополнительно имеет нулевое псевдовекторное поле, тогда как спиноры Вейля имеют нулевой антисимметричный тензор (нулевое «поле углового момента»).

Подходящий лагранжиан для релятивистского спина Поле ⁠ 1 / 2 ⁠ может быть построено из них и задается как

${\mathcal {L}}={i \over 2}\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)-m{\bar {\psi }}\psi \;.$

Уравнение Дирака можно вывести из этого лагранжиана с помощью уравнения Эйлера-Лагранжа .

Вывод биспинорного представления

Введение

В этом плане описывается один тип биспиноров как элементы определенного пространства представления ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1/2 представление ⁠ ) группы Лоренца. Это пространство представления связано, но не идентично ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1/2 пространство представления , ⁠ как ) содержащееся в алгебре Клиффорда над пространством-временем Минковского, описано в статье Спиноры . Язык и терминология используются как в теории представлений группы Лоренца . Единственное свойство алгебр Клиффорда, существенное для изложения, — это определяющее свойство, приведенное ниже в D1 . Базисные элементы формулы ( 3,1) обозначены M ^{примечание} .

Представление алгебры Ли так (3,1) группы Лоренца O(3,1) возникнет среди матриц, которые будут выбраны в качестве базиса (в качестве векторного пространства) комплексной алгебры Клиффорда в пространстве-времени. Эти матрицы 4×4 затем возводятся в степень, давая представление SO(3,1) ⁺ . Это представление, которое оказывается ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1/2 представление, будет действовать как ⁠ ) на произвольном 4-мерном комплексном векторном пространстве, которое будет просто взято C ⁴ , а его элементы будут биспинорами.

Для справки: коммутационные соотношения вид (3,1) имеют

$\left[M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }M^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \sigma }M^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }M^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }M^{\mu \sigma }\right)$ ( М1 )

с метрикой пространства-времени η = Diag(−1, 1, 1, 1) .

Гамма-матрицы

Пусть γ ^м обозначают набор из четырех 4-мерных гамма-матриц, называемых здесь матрицами Дирака . Матрицы Дирака удовлетворяют

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4},$ ( Д1 )

где { , } — антикоммутатор , I ₄ — единичная матрица 4×4 , а η ^{примечание} — метрика пространства-времени с сигнатурой (+,−,−,−). Это определяющее условие для порождающего множества алгебры Клиффорда . Дополнительные базисные элементы σ ^{примечание} алгебры Клиффорда имеют вид

$\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right].$ ( С1 )

Только шесть матриц σ ^{примечание} линейно независимы. Это следует непосредственно из их определения, поскольку σ ^{примечание} = − п ^н.м. . Они действуют на подпространстве V _γ γ , ^м промежуток в пассивном смысле , согласно

$\left[\sigma ^{\mu \nu },\gamma ^{\rho }\right]=-i\gamma ^{\mu }\eta ^{\nu \rho }+i\gamma ^{\nu }\eta ^{\mu \rho }.$ ( С2 )

В (C2) второе равенство следует из свойства (D1) алгебры Клиффорда.

Вложение алгебры Ли so(3,1) в Cl ₄ (C)

Теперь определим действие so (3,1) на σ ^{примечание} , а линейное подпространство V _σ ⊂ Cl ₄ ( C ) они охватывают в Cl ₄ ( C ) ≈ M ^н _C , заданный

$\pi \left(M^{\mu \nu }\right)\left(\sigma ^{\rho \sigma }\right)=\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\sigma \nu }\sigma ^{\rho \mu }-\eta ^{\mu \rho }\sigma ^{\nu \sigma }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \sigma }\right).$ ( С4 )

Последнее равенство в (C4) , следующее из (C2) и свойства (D1) гамма-матриц, показывает, что σ ^{примечание} представляют собой представление so (3,1), поскольку коммутационные соотношения в (C4) в точности такие же, как и so (3,1) . Действие π(M ^{примечание} ) можно рассматривать как шестимерные матрицы Σ ^{примечание} умножая базисные векторы σ ^{примечание} , поскольку пространство в M _n ( C ), натянутое на σ ^{примечание} является шестимерным, или его можно рассматривать как действие коммутацией на σ ^рупий . Далее π ( M ^{примечание} ) = п ^{примечание}

γ ​ ^м и σ ^{примечание} оба (непересекающиеся) подмножества базисных элементов Cl ₄ ( C ), порожденные четырехмерными матрицами Дирака γ ^м в четырех измерениях пространства-времени. Таким образом, алгебра Ли so (3,1) вложена в Cl ₄ ( C ) посредством π как вещественное подпространство Cl ₄ ( C ), натянутое на σ ^{примечание} . Для полного описания остальных базисных элементов, кроме γ ^м и σ ^{примечание} алгебры Клиффорда см. в статье « Алгебра Дирака» .

Биспиноры представлены

Теперь введем любое четырехмерное комплексное векторное пространство U, в котором γ ^м действовать путем умножения матриц. Здесь U = C ⁴ прекрасно справится. Пусть Λ = e ^{О, _{дорогой} М примечание} — преобразование Лоренца и определим действие группы Лоренца на U как

$u\rightarrow S(\Lambda )u=e^{i\pi (\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu })}u;\quad u^{\alpha }\rightarrow [e^{\omega _{\mu \nu }\sigma ^{\mu \nu }}]^{\alpha }{}_{\beta }u^{\beta }.$

Поскольку σ ^{примечание} согласно (C4) представляют собой представление so (3,1) , индуцированное отображение

$S:\mathrm {SO} (3,1)^{+}\rightarrow \mathrm {GL} (U);\quad \Lambda \rightarrow e^{i\pi (X)};\quad e^{iX}=\Lambda ,\quad X=\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\in {\mathfrak {so}}(3,1)$ ( С5 )

согласно общей теории либо является представлением, либо проективным представлением SO (3,1) ⁺ . Это окажется проективное представление. Элементы U , наделенные правилом преобразования, заданным S , называются биспинорами или просто спинорами .

Выбор матриц Дирака

Осталось выбрать набор матриц Дирака γ ^м чтобы получить представление спина S . Одним из таких вариантов, подходящим для ультрарелятивистского предела , является

${\begin{aligned}\gamma ^{0}&=-i{\biggl (}{\begin{matrix}0&I\\I&0\\\end{matrix}}{\biggr )},\\\gamma ^{i}&=-i{\biggl (}{\begin{matrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\\\end{matrix}}{\biggr )},\quad i=1,2,3\\\end{aligned}}.$ ( Е1 )

где σi _— матрицы Паули . В этом представлении генераторов алгебры Клиффорда σ ^{примечание} становиться

${\begin{aligned}\sigma ^{i0}&={\frac {i}{2}}{\biggl (}{\begin{matrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\\\end{matrix}}{\biggr )},\\\sigma ^{ij}&={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{\biggl (}{\begin{matrix}\sigma _{k}&0\\0&\sigma _{k}\\\end{matrix}}{\biggr )}\\\end{aligned}}.$ ( Е23 )

Это представление явно не является неприводимым, поскольку все матрицы блочно-диагональные . Но из-за неприводимости матриц Паули представление не может быть сокращено дальше. Поскольку это 4-мерный объект, единственная возможность состоит в том, что это ( ⁠ 1 / 2 ⁠ ,0)⊕(0, ⁠ 1/2 представление, т . е . ⁠ ) биспинорное представление. Теперь, используя рецепт возведения в степень представления алгебры Ли, получим представление SO(3,1) ⁺ ,

${\begin{aligned}S\left(\Lambda _{B}\right)&=e^{i\pi (\chi \cdot \mathbf {K} )}={\biggl (}{\begin{matrix}e^{-{\frac {1}{2}}\chi \cdot \sigma }&0\\0&e^{{\frac {1}{2}}\chi \cdot \sigma }\\\end{matrix}}{\biggr )},\\S\left(\Lambda _{R}\right)&=e^{i\pi (\phi \cdot \mathbf {J} )}={\biggl (}{\begin{matrix}e^{{\frac {i}{2}}\phi \cdot \sigma }&0\\0&e^{{\frac {i}{2}}\phi \cdot \sigma }\\\end{matrix}}{\biggr )}\\\end{aligned}},$ ( Е3 )

получено проективное двузначное представление. Здесь φ — вектор параметров вращения с 0 ≤ φ ^я ≤ 2 π , а χ — вектор параметров повышения . С учетом использованных здесь соглашений можно написать

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{R}\\\psi _{L}\end{pmatrix}},$ ( Е4 )

для биспинорного поля. Здесь верхняя компонента соответствует правому спинору Вейля . Чтобы включить инверсию пространственной четности в этот формализм, нужно установить

$\beta =i\gamma ^{0}={\biggl (}{\begin{matrix}0&I\\I&0\\\end{matrix}}{\biggr )},$ ( Е5 )

как представитель P = Diag(1, −1, −1, −1) . Видно, что представление неприводимо, если включить инверсию пространственной четности.

Пример

Пусть X = 2 πM ¹² так что X генерирует поворот вокруг оси z на угол 2 π . Тогда Λ = e ^IX = I ∈ SO(3,1) ⁺ но е ^{яπ ( Икс )} знак равно - я ∈ GL( U ) . Здесь I обозначает идентификационный элемент. Если X = 0 вместо этого выбрано , то все равно Λ = e ^IX = I ∈ SO(3,1) ⁺ , но теперь е ^{яπ ( Икс )} знак равно я ∈ GL( U ) .

Это иллюстрирует двузначную природу спинового представления. Тождество в SO(3,1) ⁺ отображается либо в − I ∈ GL( U ), либо в I ∈ GL( U ) в зависимости от выбора элемента алгебры Ли для его представления. В первом случае можно предположить, что поворот на угол 2 π отрицает биспинор и что 4 π для поворота биспинора обратно в себя требуется поворот на . На самом деле происходит то, что тождество в SO(3,1) ⁺ отображается в − I в GL( U ) с неудачным выбором X .

Невозможно непрерывно выбирать X для всех g ∈ SO(3,1) ⁺ так что S — непрерывное представление. Предположим, что S определен вдоль петли в SO(3,1) такой, что X ( t ) = 2 πtM ¹² , 0 ≤ т ≤ 1 . Это замкнутый цикл в SO(3,1) , т.е. повороты в диапазоне от 0 до 2 π вокруг оси z при экспоненциальном отображении, но это только «половина» цикла в GL( U ) , заканчивающийся на — I . Кроме того, значение I ∈ SO(3,1) неоднозначно, поскольку t = 0 и t = 2 π дают разные значения для I ∈ SO(3,1) .

Алгебра Дирака

Представление S на биспинорах индуцирует представление SO(3,1) ⁺ на End( U ) набор линейных операторов на U . Это пространство соответствует самой алгебре Клиффорда, так что все линейные операторы на U являются элементами последней. Это представление и то, как оно разлагается в прямую сумму неприводимых SO(3,1) ⁺ представления, описано в статье об алгебре Дирака . Одним из следствий является разложение билинейных форм на U × U . Это разложение подсказывает, как соединить любое биспинорное поле с другими полями в лагранжиане, чтобы получить скаляры Лоренца .

Биспиноры и алгебра Дирака

Матрицы Дирака представляют собой набор из четырех матриц 4×4, образующих алгебру Дирака , и используются для переплетения направления вращения с локальной системой отсчета (локальной системой координат пространства-времени), а также для определения заряда ( C-симметрия ). , четности и обращения времени операторы .

Конвенции

Существует несколько вариантов подписи и представления , которые широко используются в физической литературе. Матрицы Дирака обычно записываются как $\gamma ^{\mu }$ где $\mu$ работает от 0 до 3. В этих обозначениях 0 соответствует времени, а от 1 до 3 соответствуют x , y и z .

Сигнатуру + - - - иногда называют метрикой западного побережья , а - + + + - метрикой восточного побережья . В настоящее время + - - - более широко используется подпись , и в нашем примере будет использоваться именно эта подпись. Чтобы перейти от одного примера к другому, умножьте все $\gamma ^{\mu }$ к $i$.

После выбора подписи существует множество способов построения представления в матрицах 4×4, и многие из них широко используются. Чтобы сделать этот пример максимально общим, мы не будем указывать представление до последнего шага. Тогда мы заменим в «киральном» представлении или представлении Вейля .

Построение спинора Дирака с заданным направлением спина и зарядом.

Сначала мы выбираем направление вращения нашего электрона или позитрона. Как и в примере с алгеброй Паули, рассмотренном выше, направление вращения определяется единичным вектором в трех измерениях (a, b, c). Следуя соглашению Пескина и Шредера, оператор спина для вращения в направлении (a, b, c) определяется как скалярное произведение (a, b, c) с вектором

${\begin{aligned}\left(i\gamma ^{2}\gamma ^{3},\;\;i\gamma ^{3}\gamma ^{1},\;\;i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)&=-\left(\gamma ^{1},\;\gamma ^{2},\;\gamma ^{3}\right)i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\\sigma _{(a,b,c)}&=ia\gamma ^{2}\gamma ^{3}+ib\gamma ^{3}\gamma ^{1}+ic\gamma ^{1}\gamma ^{2}\end{aligned}}$

Обратите внимание, что приведенное выше является корнем из единицы , то есть оно приводит в квадрат к 1. Следовательно, мы можем сделать из него оператор проектирования , который проецирует подалгебру алгебры Дирака, спин которой ориентирован в (a, b, в) направление:

$P_{(a,b,c)}={\frac {1}{2}}\left(1+\sigma _{(a,b,c)}\right)$

Теперь нам нужно выбрать заряд: +1 (позитрон) или -1 (электрон). Согласно соглашениям Пескина и Шредера, оператором взимания платы является $Q=-\gamma ^{0}$, то есть электронные состояния будут принимать собственное значение -1 по отношению к этому оператору, а состояния позитрона будут принимать собственное значение +1.

Обратите внимание, что $Q$ также является квадратным корнем из единицы. Более того, $Q$ ездит с $\sigma _{(a,b,c)}$. Они образуют полный набор коммутирующих операторов алгебры Дирака . Продолжая наш пример, мы ищем изображение электрона со спином в направлении ( a , b , c ) . Поворот $Q$ в оператор проектирования для заряда = −1, имеем

$P_{-Q}={\frac {1}{2}}\left(1-Q\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)$

Таким образом, оператор проекции искомого нами спинора является произведением двух найденных нами операторов проекции:

$P_{(a,b,c)}\;P_{-Q}$

Приведенный выше оператор проекции, примененный к любому спинору, даст ту часть спинора, которая соответствует искомому электронному состоянию. Таким образом, мы можем применить его к спинору со значением 1 в одной из его компонент и 0 в остальных, что дает столбец матрицы. Продолжая пример, положим ( a , b , c ) = (0, 0, 1) и имеем

$P_{(0,0,1)}={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma _{1}\gamma _{2}\right)$

и поэтому наш желаемый оператор проекции:

$P={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)\cdot {\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{4}}\left(1+\gamma ^{0}+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}+i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)$

Гамма-матрицы 4×4, используемые в представлении Вейля, имеют вид

${\begin{aligned}\gamma _{0}&={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\\gamma _{k}&={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

для k = 1, 2, 3 и где $\sigma ^{i}$ — обычные матрицы Паули размера 2×2 . Замена их на P дает

$P={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\\1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

Наш ответ — любой ненулевой столбец приведенной выше матрицы. Деление на два — это просто нормализация. Первый и третий столбцы дают одинаковый результат:

$\left|e^{-},\,+{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix}}$

В более общем смысле, для электронов и позитронов со спином, ориентированным в направлении ( a , b , c ), оператор проекции равен

${\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib&\pm (1+c)&\pm (a-ib)\\a+ib&1-c&\pm (a+ib)&\pm (1-c)\\\pm (1+c)&\pm (a-ib)&1+c&a-ib\\\pm (a+ib)&\pm (1-c)&a+ib&1-c\end{bmatrix}}$

где верхние знаки относятся к электрону, а нижние знаки относятся к позитрону. Соответствующим спинором можно считать любой ненулевой столбец. С $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ разные столбцы кратны одному и тому же спинору. Представление полученного спинора в базисе Дирака можно получить, воспользовавшись правилом, приведенным в статье о биспиноре.

См. также

• Спинор Дирака
• Spin(3,1) , двойное покрытие SO (3,1) . спиновой группой
• Уравнение Рариты – Швингера

Ссылки

• Кабан, Павел; Рембилински, Якуб (5 июля 2005 г.). «Лоренц-ковариантная приведенная матрица спиновой плотности и корреляции Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома». Физический обзор А. 72 (1): 012103. arXiv : quant-ph/0507056v1 . Бибкод : 2005PhRvA..72a2103C . дои : 10.1103/physreva.72.012103 . S2CID   119105796 .
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, том I , ISBN  0-521-55001-7 .