Теорема Нётер

Эта статья посвящена первой теореме Эмми Нётер, которая выводит сохраняющиеся величины из симметрии. Чтобы узнать о других значениях, см. Теорему Нётер (значения) .

Первая страница статьи Эмми Нётер «Проблема инвариантных вариаций» (1918), где она доказала свою теорему.

Теорема Нётер что всякой непрерывной симметрии действия утверждает , физической системы с консервативными силами соответствует соответствующий закон сохранения . Это первая из двух теорем (см. вторую теорему Нётер ), доказанных математиком Эмми Нётер в 1915 году и опубликованных в 1918 году. Действие физической системы представляет собой интеграл по времени от функции Лагранжа , из которой поведение системы можно определить по принципу наименьшего действия . Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям физического пространства .

Теорема Нётер используется в теоретической физике и вариационном исчислении . Он раскрывает фундаментальную связь между симметриями физической системы и законами сохранения. Это также заставило современных физиков-теоретиков гораздо больше сосредоточиться на симметрии физических систем. Являясь обобщением формулировок о константах движения в лагранжевой и гамильтоновой механике (разработанных в 1788 и 1833 годах соответственно), он не применим к системам, которые нельзя моделировать только с помощью лагранжиана (например, к системам с функцией диссипации Рэлея ). В частности, диссипативные системы с непрерывными симметриями не обязательно должны иметь соответствующий закон сохранения.

Основные иллюстрации и фон

Например, если физическая система ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве (то есть инвариантна ), ее лагранжиан симметричен при непрерывном вращении: исходя из этой симметрии, теорема Нётер предписывает, что угловой момент системы равен сохраняется в силу своих законов движения. Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зазубренный астероид, падающий в космосе, сохраняет угловой момент, несмотря на свою асимметрию. Именно законы его движения симметричны.

Другой пример: если физический процесс демонстрирует одни и те же результаты независимо от места и времени, то его лагранжиан симметричен при непрерывных перемещениях в пространстве и времени соответственно: по теореме Нётер эти симметрии объясняют законы сохранения линейного импульса и энергии внутри этого процесса. система соответственно.

Теорема Нётер важна как из-за понимания законов сохранения, так и из-за того, что она дает представление о законах сохранения, а также как практический инструмент вычислений. Это позволяет исследователям определять сохраняющиеся величины (инварианты) на основе наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, это позволяет исследователям рассматривать целые классы гипотетических лагранжианов с заданными инвариантами для описания физической системы. В качестве иллюстрации предположим, что предложена физическая теория, сохраняющая X. величину Исследователь может вычислить типы лагранжианов, сохраняющих X благодаря непрерывной симметрии. Благодаря теореме Нётер свойства этих лагранжианов предоставляют дополнительные критерии для понимания последствий и оценки пригодности новой теории.

Существует множество версий теоремы Нётер разной степени общности. Существуют естественные квантовые аналоги этой теоремы, выраженные в тождествах Уорда – Такахаши . Существуют также обобщения теоремы Нётер на суперпространства .

Неформальная формулировка теоремы

Если отбросить все тонкие технические моменты, теорему Нётер можно сформулировать неформально:

Если система обладает свойством непрерывной симметрии, то существуют соответствующие величины, значения которых сохраняются во времени.

Более сложная версия теоремы о полях утверждает, что:

Каждой непрерывной симметрии, порожденной локальными воздействиями, соответствует сохраняющийся ток , и наоборот.

Слово «симметрия» в приведенном выше утверждении точнее относится к ковариантности формы, которую принимает физический закон по отношению к одномерной группе Ли преобразований, удовлетворяющей определенным техническим критериям. Закон сохранения физической величины обычно выражают в виде уравнения неразрывности .

Формальное доказательство теоремы использует условие инвариантности для вывода выражения для тока, связанного с сохраняющейся физической величиной. В современной терминологии сохраняющаяся величина называется нётеровским зарядом , а поток, несущий этот заряд, называется нётеровским током . Нётеровский ток определен до соленоидального с точностью (бездивергентного) векторного поля.

В контексте гравитации формулировка Феликсом Кляйном теоремы Нётер для действия I предусматривает инварианты:

Если интеграл I инвариантен относительно непрерывной группы G _ρ с ρ параметрами, то ρ линейно независимых комбинаций лагранжевых выражений являются расходимостями.

Краткая иллюстрация и обзор концепции

График, иллюстрирующий теорему Нётер о координатной симметрии.

Основную идею теоремы Нётер легче всего проиллюстрировать на примере системы с одной координатой. $q$ и непрерывная симметрия $\varphi :q\mapsto q+\delta q$ (серые стрелки на схеме).

Рассмотрим любую траекторию $q(t)$ системы (жирный шрифт на схеме), удовлетворяющий законам движения . То есть действие $S$ управляющее этой системой стационарно на этой траектории, т. е. не меняется при любом локальном изменении траектории. В частности, оно не изменится при вариации, применяющей поток симметрии $\varphi$ на отрезке времени [ t ₀ , t ₁ ] и неподвижен вне этого отрезка. Чтобы траектория оставалась непрерывной, мы используем «буферные» периоды небольшого времени. $\tau$ переходить между сегментами постепенно.

Полное изменение действия $S$ теперь включает в себя изменения, вносимые каждым интервалом игры. Части, в которых исчезает сама вариация, т. е. вне $[t_{0},t_{1}]$ не принеси нет $\Delta S$. Средняя часть также не меняет действия, поскольку ее трансформация $\varphi$ является симметрией и, следовательно, сохраняет лагранжиан $L$ и действие ${\textstyle S=\int L}$. Единственные оставшиеся части — это «буферные» части. В этих регионах обе координаты $q$ и скорость ${\dot {q}}$ измениться, но ${\dot {q}}$ изменения на $\delta q/\tau$, и изменение $\delta q$ по координате пренебрежимо мал по сравнению с тем, что промежуток времени $\tau$ буферизации невелик (приведен к пределу 0), поэтому $\delta q/\tau \gg \delta q$. Так что регионы вносят свой вклад в основном за счет своей "косости" ${\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau$.

Это меняет лагранжиан на $\Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}$, который интегрируется в $$\Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\pm {\frac {\delta q}{\tau }}\right)\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi .$$

Эти последние члены, оцененные вокруг конечных точек $t_{0}$ и $t_{1}$, должны отменить друг друга, чтобы внести полное изменение в действие $\Delta S$ быть нулем, как и следовало ожидать, если траектория является решением. То есть $$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{0})=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{1}),$$имеется в виду количество $\left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)\varphi$ сохраняется, что является выводом теоремы Нётер. Например, если чистые переводы $q$ константой являются симметрией, то сохраняющаяся величина становится просто $\left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)=p$, канонический импульс.

Более общие случаи следуют той же идее:

• Когда больше координат $q_{r}$ претерпевать преобразование симметрии $q_{r}\mapsto q_{r}+\varphi _{r}$, их эффекты суммируются по линейности до сохраняющейся величины ${\textstyle \sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right)\varphi _{r}}$.
• Когда происходят трансформации времени $t\mapsto t+T$, они заставляют сегменты «буферизации» вносить два следующих термина в $\Delta S$:

  $$\Delta S\approx \pm \left(TL+\int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}\Delta {\dot {q}}_{r}\right)\approx \pm T\left(L-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}{\dot {q}}_{r}\right),$$

  первое слагаемое обусловлено растяжением во временном измерении «буферного» сегмента (изменяющим размер области интегрирования), а второе — его «накосом», как и в примере. Вместе они складывают слагаемое ${\textstyle T\left(L-\sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right){\dot {q}}_{r}\right)}$ до сохраняющегося количества.
• Наконец, когда вместо траектории $q(t)$ целые поля $\psi (q_{r},t)$ рассматриваются, аргумент заменяет
  • интервал $[t_{0},t_{1}]$ с ограниченной областью $U$ принадлежащий $(q_{r},t)$-домен,
  • конечные точки $t_{0}$ и $t_{1}$ с границей $\partial U$ региона,
  • и его вклад в $\Delta S$ интерпретируется как поток сохраняющегося тока $j_{r}$, которое построено аналогично предыдущему определению сохраняющейся величины.
  Теперь нулевой вклад «буферизации» $\partial U$ к $\Delta S$ интерпретируется как исчезновение полного потока тока $j_{r}$ через $\partial U$. В этом смысле оно сохраняется: сколько «втекает» внутрь, столько же «вытекает».

Исторический контекст

Основные статьи: Постоянная движения , закон сохранения и сохраняющийся ток

Закон сохранения гласит, что некоторая величина X в математическом описании эволюции системы остается постоянной на протяжении всего ее движения – это инвариант . Математически скорость изменения X (его производной по времени ) равна нулю,

${\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.$

Говорят, что такие количества сохраняются; их часто называют константами движения (хотя движение само по себе не обязательно должно иметь в виду, а только эволюция во времени). Например, если энергия системы сохраняется, ее энергия всегда инвариантна, что накладывает ограничение на движение системы и может помочь в его решении. Помимо понимания, которое такие константы движения дают для понимания природы системы, они являются полезным инструментом вычислений; например, приближенное решение можно исправить, найдя ближайшее состояние, удовлетворяющее подходящим законам сохранения.

Самыми ранними открытыми константами движения были импульс и кинетическая энергия , которые были предложены в 17 веке Рене Декартом и Готфридом Лейбницем на основе экспериментов по столкновениям и уточнены последующими исследователями. Исаак Ньютон был первым, кто сформулировал закон сохранения импульса в его современной форме и показал, что это является следствием законов движения Ньютона . Согласно общей теории относительности , законы сохранения линейного момента, энергии и углового момента справедливы в глобальном масштабе только тогда, когда выражаются через сумму тензора энергии-импульса (негравитационного напряжения-энергии) и напряжения-энергии Ландау-Лифшица. – псевдотензор импульса (гравитационное напряжение-энергия). Локальное сохранение негравитационных погонных импульсов и энергии в свободно падающей системе отсчета выражается в равенстве нулю ковариантной дивергенции тензора энергии-импульса . Другая важная сохраняющаяся величина, открытая при изучении небесной механики астрономических тел, — это Вектор Лапласа–Рунге–Ленца .

В конце 18 — начале 19 веков физики разработали более систематические методы открытия инвариантов. Большой прогресс произошел в 1788 году с развитием лагранжевой механики , которая связана с принципом наименьшего действия . В этом подходе состояние системы можно описать любым типом обобщенных координат q ; законы движения не обязательно выражаются в декартовой системе координат , как это было принято в механике Ньютона. Действие как определяется как интеграл по времени I функции, известной лагранжиан   L

$I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,$

где точка над q означает скорость изменения координат q ,

${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.$

Принцип Гамильтона утверждает, что физический путь q ( t ) — тот, который фактически проходит система — это путь, для которого бесконечно малые изменения этого пути не вызывают изменения I , по крайней мере, до первого порядка. Этот принцип приводит к уравнениям Эйлера – Лагранжа :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.$

Таким образом, если одна из координат, скажем, q _k , не входит в лагранжиан, правая часть уравнения равна нулю, а левая часть требует, чтобы

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,$

где импульс

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$

сохраняется на протяжении всего движения (на физическом пути).

Таким образом, отсутствие игнорируемой координаты qk _{преобразования} в лагранжиане означает, что на лагранжиан не влияют изменения qk _или ; лагранжиан инвариантен и, как говорят, проявляет симметрию при таких преобразованиях. Это основная идея, обобщенная в теореме Нётер.

Несколько альтернативных методов поиска сохраняющихся величин были разработаны в 19 веке, особенно Уильямом Роуэном Гамильтоном . Например, он разработал теорию канонических преобразований , которая позволяла изменять координаты так, что некоторые координаты исчезали из лагранжиана, как указано выше, что приводило к сохранению канонических импульсов. Другой подход и, возможно, наиболее эффективный для поиска сохраняющихся величин — это уравнение Гамильтона–Якоби .

Математическое выражение

Смотрите также: Теория возмущений

Простая форма с использованием возмущений

Суть теоремы Нётер заключается в обобщении понятия игнорируемых координат.

Можно предположить, что определенный выше лагранжиан L инвариантен относительно малых возмущений (перекосов) временной переменной t и обобщенных координат q . Можно написать

${\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}$

где возмущения δt и δq . малы, но переменны Для общности предположим, что существует (скажем) N таких преобразований симметрии действия, т. е. преобразований, оставляющих действие неизменным; помечены индексом r = 1, 2, 3, ..., N .

Тогда результирующее возмущение можно записать в виде линейной суммы возмущений отдельных типов:

${\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}$

где ε _r — бесконечно малые параметрические коэффициенты, соответствующие каждому:

• генератор T _r временной эволюции и
• генератор Q _r обобщенных координат.

Для переводов Q _r — константа с единицами длины ; для вращений это выражение, линейное по компонентам q , а параметры составляют угол .

Используя эти определения, Нётер показала, что N величины

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}$

сохраняются ( константы движения ).

Примеры

I. Временная инвариантность

Для иллюстрации рассмотрим лагранжиан, не зависящий от времени, т. е. инвариантный (симметричный) относительно изменений t → t + δt , без какого-либо изменения координат q . В этом случае N = 1, T = 1 и Q = 0; соответствующая сохраняющаяся величина — это полная энергия H

$H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.$

II. Трансляционная инвариантность

Рассмотрим лагранжиан, который не зависит от координаты q _k («игнорируемой», как указано выше) ; поэтому он инвариантен (симметричен) относительно изменений q _k → q _k + δq _k . В этом случае N = 1, T = 0 и Q _k = 1; сохраняющейся величиной является соответствующий линейный импульс p _k

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.$

В специальной и общей теории относительности эти два закона сохранения могут быть выражены либо глобально (как это сделано выше), либо локально в виде уравнения непрерывности. Глобальные версии можно объединить в один глобальный закон сохранения: сохранение 4-вектора энергии-импульса. Локальные варианты сохранения энергии и импульса (в любой точке пространства-времени) также можно объединить в сохранение величины, определенной локально в точке пространства-времени: тензора энергии-импульса (это будет выведено в следующем разделе).

III. Вращательная инвариантность

Сохранение углового момента L = r × p аналогично сохранению линейного момента. Предполагается, что симметрия лагранжиана вращательная, т. е. что лагранжиан не зависит от абсолютной ориентации физической системы в пространстве. Для конкретности предположим, что лагранжиан не меняется при малых поворотах угла δθ вокруг оси n ; такое вращение преобразует декартовы координаты по уравнению

$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .$

Поскольку время не преобразуется, T = 0 и N = 1. Принимая δθ в качестве параметра ε и декартовы координаты r в качестве обобщенных координат q , соответствующие переменные Q задаются формулами

$\mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .$

Тогда теорема Нётер утверждает, что сохраняется следующая величина:

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .$

компонента углового момента L вдоль оси n Другими словами, сохраняется . А если n произвольно, т. е. если система нечувствительна к любому вращению, то каждый компонент L сохраняется; Короче говоря, угловой момент сохраняется.

Версия теории поля

Хотя только что приведенная версия теоремы Нётер полезна сама по себе, она представляет собой частный случай общей версии, полученной в 1915 году. Чтобы придать изюминку общей теореме, приведем версию теоремы Нётер для непрерывных полей в четырехмерном пространстве-времени. сейчас дано. Поскольку проблемы теории поля более распространены в современной физике, чем проблемы механики , эта версия теории поля является наиболее часто используемой (или наиболее часто реализуемой) версией теоремы Нётер.

Пусть существует множество дифференцируемых полей $\varphi$ определены во всем пространстве и времени; например, температура $T(\mathbf {x} ,t)$ будет репрезентативным для такого поля, будучи числом, определенным в каждом месте и в любое время. К таким полям можно применить принцип наименьшего действия , но действие теперь является интегралом в пространстве и времени.

${\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x$

(теорему можно обобщить на случай, когда лагранжиан зависит от n ^й производная, а также может быть сформулирована с помощью струйных расслоений ).

Непрерывное преобразование полей $\varphi$ можно записать бесконечно мало как

$\varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,$

где $\Psi$ вообще говоря, это функция, которая может зависеть как от $x^{\mu }$ и $\varphi$. Условие для $\Psi$ для создания физической симметрии заключается в том, что действие ${\mathcal {S}}$ остается инвариантным. Это, безусловно, будет верно, если лагранжева плотность ${\mathcal {L}}$ остается инвариантным, но это также будет верно, если лагранжиан изменится на дивергенцию:

${\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },$

поскольку интеграл от дивергенции становится граничным членом согласно теореме о дивергенции . Система, описываемая данным действием, может иметь несколько независимых симметрий этого типа, индексируемых $r=1,2,\ldots ,N,$ поэтому наиболее общее преобразование симметрии будет записано как

$\varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},$

с последствиями

${\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.$

Теорема Нётер утверждает, что для таких систем существуют $N$ сохраняющиеся плотности тока

$j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\cdot \Psi _{r}$

(где скалярное произведение понимается как сжимающее индексы полей , а не $\nu$ индекс или $r$ индекс).

В таких случаях закон сохранения выражается в четырехмерном виде

$\partial _{\nu }j^{\nu }=0,$

которая выражает идею о том, что количество сохраняющейся величины внутри сферы не может измениться, если некоторая ее часть не вытечет из сферы. Например, электрический заряд сохраняется ; количество заряда внутри сферы не может измениться, если часть заряда не покинет сферу.

Для иллюстрации рассмотрим физическую систему полей, которая ведет себя одинаково при перемещениях во времени и пространстве, как рассмотрено выше; другими словами, $L\left({\boldsymbol {\varphi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\varphi }},x^{\mu }\right)$ является константой в своем третьем аргументе. В этом случае N = 4, по одному на каждое измерение пространства и времени. Бесконечно малый перенос в пространстве, $x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }$ (с $\delta$ обозначающий дельту Кронекера ), влияет на поля как $\varphi (x^{\mu })\mapsto \varphi \left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)$: то есть изменение обозначения координат эквивалентно оставлению координат на месте при переносе самого поля, что, в свою очередь, эквивалентно преобразованию поля путем замены его значения в каждой точке $x^{\mu }$ со значением в точке $x^{\mu }-\varepsilon X^{\mu }$ «за» этим, которое будет отображено на $x^{\mu }$ рассматриваемым бесконечно малым перемещением. Поскольку это бесконечно мало, мы можем записать это преобразование как

$\Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\varphi .$

Таким же образом преобразуется лагранжева плотность: ${\mathcal {L}}\left(x^{\mu }\right)\mapsto {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)$, так

$\Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}$

и, таким образом, теорема Нётер соответствует к закону сохранения тензора энергии-импульса T _µ ^н , где мы использовали $\mu$ вместо $r$. А именно, используя выражение, данное ранее, и собирая четыре сохраняющихся тока (по одному на каждый $\mu$) в тензор $T$, теорема Нётер дает

$T_{\mu }{}^{\nu }=-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}+\delta _{\mu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\varphi {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\right)\cdot \varphi _{,\mu }-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}$

с

$T_{\mu }{}^{\nu }{}_{,\nu }=0$

(мы переименовали $\mu$ как $\sigma$ на промежуточном этапе, чтобы избежать конфликта). (Однако $T$ полученный таким способом может отличаться от симметричного тензора, используемого в качестве исходного члена в общей теории относительности; см. Канонический тензор энергии-импульса .)

Сохранение электрического заряда , напротив, можно получить, рассматривая Ψ линейным по полям φ, а не по производным. В квантовой механике амплитуда вероятности ψ ( x ) обнаружения частицы в точке x представляет собой комплексное поле φ , поскольку оно приписывает комплексное число каждой точке пространства и времени. Сама амплитуда вероятности физически неизмерима; только вероятность p = | ψ | ² можно определить по совокупности измерений. Следовательно, система инвариантна относительно преобразований поля ψ и его комплексно-сопряженного поля ψ ^* которые уходят | ψ | ² без изменений, например

$\psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,$

сложная ротация. В пределе, когда фаза θ становится бесконечно малой, δθ может быть принята в качестве параметра ε , а Ψ равны iψ и − iψ * соответственно. Конкретным примером является уравнение Клейна-Гордона , релятивистски правильная версия уравнения Шрёдингера для бесспиновых частиц, имеющая лагранжеву плотность.

$L=\partial _{\nu }\psi \partial _{\mu }\psi ^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.$

В этом случае теорема Нётер утверждает, что сохраняющийся (∂ ⋅ j = 0) ток равен

$j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,$

который, умноженный на заряд этого типа частиц, равен плотности электрического тока, исходящего от этого типа частиц. Эта «калибровочная инвариантность» была впервые отмечена Германом Вейлем и является одним из прототипов калибровочной симметрии в физике.

Выводы

Одна независимая переменная

Рассмотрим простейший случай — систему с одной независимой переменной — временем. Предположим, что зависимые переменные q таковы, что интеграл действия

$$I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt$$

инвариантен при кратких бесконечно малых изменениях зависимых переменных. Другими словами, они удовлетворяют уравнениям Эйлера–Лагранжа

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].$

Предположим, что интеграл инвариантен относительно непрерывной симметрии. Математически такая симметрия представляется как поток φ : , который действует на переменные следующим образом

${\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}$

где ε — действительная переменная, указывающая величину потока, а T — действительная константа (которая может быть равна нулю), указывающая, насколько поток смещается во времени.

${\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].$

Интеграл действия сводится к

${\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}$

которую можно рассматривать как функцию ε . Вычислив производную при ε = 0 и воспользовавшись правилом Лейбница , получим

${\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}$

Обратите внимание, что из уравнений Эйлера–Лагранжа следует

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}$

Подставив это в предыдущее уравнение, получим

${\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}$

Снова используя уравнения Эйлера–Лагранжа, получаем

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.$

Подставив это в предыдущее уравнение, получим

${\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}$

Из чего это видно

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}$

— константа движения, т. е. сохраняющаяся величина. Поскольку φ[ q , 0] = q , получаем ${\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1$ и поэтому сохраняющаяся величина упрощается до

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.$

Чтобы избежать чрезмерного усложнения формул, при этом выводе предполагалось, что поток не меняется с течением времени. Тот же результат можно получить и в более общем случае.

Теоретико-полевой вывод

Теорему Нётер можно вывести и для тензорных полей. $\varphi ^{A}$ где индекс A колеблется по различным компонентам различных тензорных полей. Эти полевые величины представляют собой функции, определенные в четырехмерном пространстве, точки которого отмечены координатами x. ^м где индекс µ изменяется во времени ( µ = 0) и трех пространственных измерениях ( µ = 1, 2, 3). Эти четыре координаты являются независимыми переменными; а значения полей в каждом событии являются зависимыми переменными. При бесконечно малом преобразовании изменение координат запишется

$x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }$

тогда как преобразование переменных поля выражается как

$\varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.$

Согласно этому определению, вариации поля $\delta \varphi ^{A}$ являются результатом двух факторов: собственных изменений самого поля и изменения координат, поскольку преобразованное поле α ^А зависит от преобразованных координат ξ ^м . Чтобы изолировать внутренние изменения, изменение поля в одной точке x ^м может быть определен

$\alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.$

При изменении координат меняется и граница области пространства-времени, по которой интегрируется лагранжиан; исходная граница и ее преобразованная версия обозначаются как Ω и Ω' соответственно.

Теорема Нётер начинается с предположения, что специфическое преобразование координат и переменных поля не меняет действие , которое определяется как интеграл от лагранжевой плотности по данной области пространства-времени. Математически это предположение можно записать как

$\int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0$

где нижний индекс запятой указывает частную производную по координатам, следующим за запятой, например

${\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.$

Поскольку ξ является фиктивной переменной интегрирования и поскольку изменение границы Ω по предположению бесконечно мало, два интеграла можно объединить, используя четырехмерную версию теоремы о дивергенции, в следующую форму

$\int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.$

Разницу в лагранжианах можно записать в первом порядке по бесконечно малым вариациям как

$\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.$

Однако, поскольку вариации определяются в той же точке, что описано выше, вариация и производная могут выполняться в обратном порядке; они ездят на работу

${\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.$

Использование уравнений поля Эйлера – Лагранжа

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}$

разницу в лагранжианах можно аккуратно записать как

${\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}$

Таким образом, изменение действия можно записать как

$\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.$

Поскольку это справедливо для любой области Ω, подынтегральная функция должна быть равна нулю.

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.$

Для любой комбинации различных преобразований симметрии возмущение можно записать

${\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}$

где ${\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}$ является Ли производной $\varphi ^{A}$ в Х ^м направление. Когда $\varphi ^{A}$ является скаляром или ${X^{\mu }}_{,\nu }=0$,

${\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.$

Из этих уравнений следует, что изменение поля, взятое в одной точке, равно

${\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.$

Дифференцируя указанную выше расходимость по ε при ε = 0 и меняя знак, получаем закон сохранения

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0$

где сохраняющийся ток равен

$j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.$

Вывод коллектора/пучка волокон

Предположим, у нас есть - мерное ориентированное риманово многообразие M и целевое многообразие T. n Позволять ${\mathcal {C}}$ — пространство функций гладких от M до T. конфигурационное (В более общем смысле мы можем иметь гладкие сечения расслоения над M. )

Примеры этого M в физике включают:

• В классической механике , в гамильтоновой формулировке, M — одномерное многообразие. $\mathbb {R}$, представляющий время и целевое пространство, представляет собой расслоение пространства кокасательное обобщенных позиций.
• В теории поля M — это пространственно-временное многообразие, а целевое пространство — это набор значений, которые поля могут принимать в любой заданной точке. Например, если имеется m с действительными значениями скалярных полей , $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}$, то целевое многообразие $\mathbb {R} ^{m}$. Если поле является действительным векторным полем, то целевое изоморфно многообразие $\mathbb {R} ^{3}$.

Теперь предположим, что существует функционал

${\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,$

назвал действие . (Он принимает значения в $\mathbb {R}$, скорее, чем $\mathbb {C}$; это по физическим причинам и не имеет значения для данного доказательства.)

Чтобы прийти к обычному варианту теоремы Нётер, нам потребуются дополнительные ограничения на действие . Мы предполагаем ${\mathcal {S}}[\varphi ]$ — интеграл по M функции

${\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)$

называется плотностью Лагранжа и зависит от $\varphi$, ее производная и положение. Другими словами, для $\varphi$ в ${\mathcal {C}}$

${\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.$

Предположим, нам даны граничные условия , т. е. задано значение $\varphi$ на границе если M компактно , , или некоторый предел на $\varphi$ когда x приближается к ∞. Тогда подпространство ​ ${\mathcal {C}}$ состоящий из функций $\varphi$ такие, что все функциональные производные ${\mathcal {S}}$ в $\varphi$ равны нулю, то есть:

${\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}\approx 0$

и это $\varphi$ удовлетворяет заданным граничным условиям, является подпространством решений на оболочках . (См. принцип стационарного действия )

Теперь предположим, что у нас есть малое преобразование бесконечно ${\mathcal {C}}$, порожденный функциональным выводом , Q такой, что

$Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }$

для всех компактных подмногообразий N или, другими словами,

$Q[{\mathcal {L}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)$

для всех x , где мы установили

${\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x].$

Если это справедливо для оболочки и вне оболочки , мы говорим, что Q порождает симметрию вне оболочки. Если это справедливо только для оболочки , мы говорим, что Q порождает симметрию на оболочке. Тогда мы говорим, что Q является генератором однопараметрической группы симметрии Ли .

Теперь для любого N по Эйлера–Лагранжа теореме на оболочке (и только на оболочке) имеем

${\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}$

Поскольку это верно для любого N , мы имеем

$\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]\approx 0.$

Но это уравнение непрерывности для тока $J^{\mu }$ определяется:

$J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },$

который называется током Нётера, связанным с симметрией . Уравнение непрерывности говорит нам, что если мы проинтегрируем этот ток по пространственноподобному срезу, мы получим сохраняющуюся величину, называемую зарядом Нётера (при условии, конечно, что если M некомпактно, токи достаточно быстро спадают на бесконечности).

Комментарии

Теорема Нётер — это теорема об оболочке : она основана на использовании уравнений движения — классического пути. Он отражает связь между граничными условиями и вариационным принципом. Предполагая отсутствие граничных членов в действии, из теоремы Нётер следует, что

$\int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }\approx 0.$

Квантовые аналоги теоремы Нётер, включающие средние значения (например, ${\textstyle \left\langle \int d^{4}x~\partial \cdot {\textbf {J}}\right\rangle =0}$), исследующие количества вне оболочки , а также тождества Уорда – Такахаши .

Обобщение на алгебры Ли

Предположим, у нас есть два вывода симметрии Q ₁ и Q ₂ . Тогда [ Q ₁ , Q ₂ ] также является выводом симметрии. Давайте посмотрим на это явно. Скажем так $$Q_{1}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{1}^{\mu }$$и $$Q_{2}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{2}^{\mu }$$

Затем, $$[Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]\approx \partial _{\mu }f_{12}^{\mu }$$где f ₁₂ = Q ₁ [ f ₂ ^м ] - Q ₂ [ ж ₁ ^м ]. Так, $$j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.$$

Это показывает, что мы можем естественным образом распространить теорему Нётер на более крупные алгебры Ли.

Обобщение доказательства

Это относится к любому выводу локальной симметрии Q, удовлетворяющему QS ≈ 0, а также к более общим локальным функционально-дифференцируемым действиям, включая те, в которых лагранжиан зависит от высших производных полей. Пусть ε — произвольная гладкая функция пространственно-временного (или временного) многообразия такая, что замыкание ее носителя не пересекается с краем. ε — пробная функция . Тогда из-за вариационного принципа (который, не кстати, применим к границе) дифференцированное распределение q, порожденное формулой q [ ε ][Φ( x )] = ε ( x ) Q [Φ( x )], удовлетворяет условию q [ ε ][ S ] ≈ 0 для каждого ε или, более компактно, q ( x )[ S ] ≈ 0 для всех x не на границе (но помните, что q ( x ) — это сокращение для распределения вывода , а не вывод, параметризованный x вообще). Это обобщение теоремы Нётер.

Чтобы увидеть, как обобщение связано с версией, приведенной выше, предположим, что действие представляет собой пространственно-временной интеграл лагранжиана, который зависит только от $\varphi$ и его первые производные. Кроме того, предположим

$Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }$

Затем,

${\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}$

для всех $\varepsilon$.

В более общем смысле, если лагранжиан зависит от высших производных, то

$\partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\approx 0.$

Примеры

Пример 1: Сохранение энергии

Рассматривая частный случай ньютоновской частицы массы m , координаты x , движущейся под действием потенциала V , координируемого по времени t . Действие S , , это:

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}$

Первое слагаемое в скобках — это кинетическая энергия частицы, а второе — ее потенциальная энергия . Рассмотрим генератор трансляций времени Q = d / dt . Другими словами, $Q[x(t)]={\dot {x}}(t)$. Координата x имеет явную зависимость от времени, а V — нет; следовательно:

$Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}$

чтобы мы могли установить

$L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).$

Затем,

${\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}$

Правая часть — это энергия, а теорема Нётер утверждает, что $dj/dt=0$ (т.е. принцип сохранения энергии является следствием инвариантности относительно сдвигов времени).

В более общем смысле, если лагранжиан не зависит явно от времени, величина

$\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L$

(называемый гамильтонианом ) сохраняется.

Пример 2: Сохранение центра импульса

Продолжая рассматривать одномерное время, пусть

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}$

для $N$ Ньютоновские частицы, потенциал которых зависит только попарно от относительного смещения.

Для ${\vec {Q}}$, рассмотрим генератор преобразований Галилея (т.е. изменения системы отсчета). Другими словами,

$Q_{i}\left[x_{\alpha }^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}.$

И

${\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}$

Это имеет форму ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}$ чтобы мы могли установить

${\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.$

Затем,

${\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}$

где ${\vec {P}}$ - полный импульс, M - полная масса и ${\vec {x}}_{CM}$ является центром масс. Теорема Нётер гласит:

${\frac {d{\vec {j}}}{dt}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.$

Пример 3: Конформное преобразование

Оба примера 1 и 2 относятся к одномерному многообразию (времени). Примером пространства-времени является конформное преобразование безмассового вещественного скалярного поля с потенциалом четвертой степени в (3 + 1)-пространстве- времени Минковского .

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}$

Для Q рассмотрим генератор масштабирования пространства-времени. Другими словами,

$Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).$

Второе слагаемое в правой части обусловлено «конформным весом» $\varphi$. И

$Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).$

Это имеет форму

$\partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)$

(где мы выполнили замену фиктивных индексов), поэтому установите

$f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.$

Затем

${\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}$

Теорема Нётер утверждает, что $\partial _{\mu }j^{\mu }=0$ (что можно явно проверить, подставив уравнения Эйлера–Лагранжа в левую часть).

Если кто-то попытается найти аналог этого уравнения Уорда-Такахаши , он столкнется с проблемой из-за аномалий .

Приложения

Применение теоремы Нётер позволяет физикам получить мощное понимание любой общей теории физики, просто анализируя различные преобразования, которые сделают форму задействованных законов инвариантной. Например:

• Инвариантность изолированной системы относительно пространственного перемещения (другими словами, законы физики одинаковы во всех точках пространства) дает закон сохранения линейного импульса (который утверждает, что полный линейный импульс изолированной системы равен постоянный)
• Инвариантность изолированной системы относительно перевода времени (т.е. законы физики одинаковы во все моменты времени) дает закон сохранения энергии (который утверждает, что полная энергия изолированной системы постоянна).
• Инвариантность изолированной системы относительно вращения (т. е. то, что законы физики одинаковы относительно всех угловых ориентаций в пространстве) дает закон сохранения углового момента (который гласит, что полный угловой момент изолированной системы равен постоянный)
• Инвариантность изолированной системы относительно усилений Лоренца (т. е. то, что законы физики одинаковы по отношению ко всем инерциальным системам отсчета) дает теорему о центре масс (которая утверждает, что центр масс изолированной системы отсчета система движется с постоянной скоростью).

В квантовой теории поля аналог теоремы Нётер, тождество Уорда-Такахаши , дает дополнительные законы сохранения, такие как сохранение электрического заряда из-за инвариантности относительно изменения фазового поля заряженной фактора комплексного частицы и связанный с ним датчик электрического потенциала и векторного потенциала .

Заряд Нётера также используется при вычислении энтропии стационарных черных дыр .

См. также

• Закон сохранения
• Заряд (физика)
• Калибровочная симметрия
• Калибровочная симметрия (математика)
• Инвариант (физика)
• Голдстоун бозон
• Симметрия (физика)

Дальнейшее чтение

• Бадин, Гуальтьеро; Кришиани, Фульвио (2018). Вариационная формулировка жидкости и геофизическая гидродинамика – механика, симметрия и законы сохранения . Спрингер. п. 218. Бибкод : 2018vffg.book.....B . дои : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN  978-3-319-59694-5 . S2CID   125902566 .
• Джонсон, Тристан (2016). «Теорема Нётер: симметрия и сохранение» . Почетные диссертации . Юнион Колледж . Проверено 28 августа 2020 г.
• Косманн-Шварцбах, Иветт (2010). Теоремы Нётер: законы инвариантности и сохранения в двадцатом веке . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-87867-6 . Онлайн-копия .
• Мозер, Сет (21 апреля 2020 г.). «Понимание теоремы Нётер путем визуализации лагранжиана» . Основные проекты по физике : 1–12 . Проверено 28 августа 2020 г.
• Олвер, Питер (1993). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям . Тексты для аспирантов по математике . Том. 107 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-95000-1 .
• Сарданашвили, Г. (2016). Теоремы Нётер. Приложения в механике и теории поля . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-94-6239-171-0 .

Внешние ссылки

• Эмми Нётер (1918). «Проблема инвариантных вариаций» (на немецком языке).
• Эмми Нётер (1971). «Проблемы инвариантных вариаций». Теория переноса и статистическая физика . 1 (3). Перевод Морта Тавела: 186–207. arXiv : физика/0503066 . Бибкод : 1971ТЦП....1..186Н . дои : 10.1080/00411457108231446 . S2CID   119019843 . (Оригинал в Gott. Nachr. 1918: 235–257)
• Байерс, Нина (1998). «Открытие Э. Нётер глубокой связи между симметриями и законами сохранения». arXiv : физика/9807044 .
• Баэз, Джон (2002). «Коротко о теореме Нётер» . math.ucr.edu . Проверено 28 августа 2020 г.
• Владимир Куэста; Мерсед Монтесинос; Хосе Дэвид Вергара (2007). «Калибровочная инвариантность принципа действия для калибровочных систем с неканоническими симплектическими структурами». Физический обзор D . 76 (2): 025025. Бибкод : 2007PhRvD..76b5025C . doi : 10.1103/PhysRevD.76.025025 .
• Ханка, Дж.; Туледжаб, С.; Ханцова, М. (2004). «Симметрии и законы сохранения: следствия теоремы Нётер» . Американский журнал физики . 72 (4): 428–35. Бибкод : 2004AmJPh..72..428H . дои : 10.1119/1.1591764 .
• Леоне, Рафаэль (11 апреля 2018 г.). «О чудесности теорем Нётер, 100 лет спустя, и редукции Рауса». arXiv : 1804.01714 [ physical.hist-ph ].
• Теорема Нётер на MathPages.
• Мерсед Монтесинос; Эрнесто Флорес (2006). «Симметричный тензор энергии-импульса в теориях Максвелла, Янга – Миллса и Прока, полученный с использованием только теоремы Нётер» (PDF) . Мексиканская физика . 52 (1): 29–36. arXiv : hep-th/0602190 . Бибкод : 2006RMxF...52...29M . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 12 ноября 2014 г.
• Нойеншвандер, Дуайт Э. (2010). Замечательная теорема Эмми Нётер . Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN  978-0-8018-9694-1 .
• Куигг, Крис (9 июля 2019 г.). «Коллоквиум: век теоремы Нётер». arXiv : 1902.01989 [ physical.hist-ph ].
• Сарданашвили (2009). «Законы сохранения калибровки в общей ситуации. Суперпотенциал». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 6 (6): 1047–1056. arXiv : 0906.1732 . Бибкод : 2009arXiv0906.1732S . дои : 10.1142/S0219887809003862 .