Функция диссипации Рэлея

В физике функция диссипации Рэлея , названная в честь лорда Рэлея , представляет собой функцию, используемую для обработки эффектов сил трения, пропорциональных скорости, в лагранжевой механике . Впервые он был введен им в 1873 году. Если сила трения, действующая на частицу со скоростью ${\vec {v}}$ можно записать как ${\vec {F}}_{f}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {v}}$, функция диссипации Рэлея может быть определена для системы $N$ частицы как

$R(v)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}(k_{x}v_{i,x}^{2}+k_{y}v_{i,y}^{2}+k_{z}v_{i,z}^{2}).$

Эта функция представляет половину скорости диссипации энергии системы за счет трения. Сила трения отрицательна градиенту скорости функции диссипации, ${\vec {F}}_{f}=-\nabla _{v}R(v)$, аналогично силе, равной отрицательному градиенту положения потенциала. Эта связь представляется через набор обобщенных координат $q_{i}=\left\{q_{1},q_{2},\ldots q_{n}\right\}$ как

${\vec {F}}_{f}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$.

Поскольку трение не является консервативным явлением, оно включено в $Q_{i}$ член уравнений Лагранжа ,

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}$.

Применение значения силы трения, описываемой обобщенными координатами, к уравнениям Эйлера-Лагранжа дает (см. )

${\frac {d}{dt}}{\big (}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\big )}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$.

Рэлей пишет лагранжиан $L$ как кинетическая энергия $T$ минус потенциальная энергия $V$, что дает уравнение Рэлея. (26) с 1873 г.

${\frac {d}{dt}}{\big (}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\big )}+{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=0$.

С 1970-х годов название «релеевский диссипационный потенциал » $R$ встречается чаще. Более того, исходная теория обобщена на квадратичных функциях $q\mapsto R({\dot {\dot {q}}})={\frac {1}{2}}{\dot {q}}\cdot \mathbb {V} {\dot {q}}$ к диссипационные потенциалы, которые зависят от $q$ (тогда называемые зависимостью от состояния) и неквадратичны, что приводит к нелинейным законам трения, таким как кулоновское трение или пластичность. Основное предположение тогда состоит в том, что отображение ${\dot {q}}\mapsto R(q,{\dot {q}})$ является выпуклым и удовлетворяет $0=R(q,0)\leq R(q,{\dot {q}})$, видеть например