Постоянная движения

В механике константа движения — это физическая величина, сохраняющаяся на протяжении всего движения, фактически накладывающая ограничение на движение. Однако это математическое ограничение , естественное следствие уравнений движения , а не физическое ограничение (которое потребовало бы дополнительных ограничивающих сил ). Общие примеры включают энергию , линейный момент , угловой момент и вектор Лапласа-Рунге-Ленца (для законов обратных квадратов силы ).

Приложения

Константы движения полезны, потому что они позволяют получить свойства движения без решения уравнений движения . В удачных случаях даже траекторию движения можно получить как пересечение изоповерхностей , соответствующих константам движения. Например, конструкция Пуансо крутящего момента показывает, что вращение без твердого тела представляет собой пересечение сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоида (сохранение энергии), траектории, которую иначе было бы трудно получить и визуализировать. Поэтому выявление констант движения является важной задачей механики .

Методы определения констант движения

Существует несколько методов определения констант движения.

Самый простой, но наименее систематический подход — это интуитивный («психический») вывод, при котором предполагается, что величина постоянна (возможно, из-за экспериментальных данных ), а затем математически показано, что она сохраняется на протяжении всего движения.
Уравнения Гамильтона-Якоби представляют собой широко используемый и простой метод определения констант движения, особенно когда гамильтониан принимает узнаваемые функциональные формы в ортогональных координатах .
Другой подход состоит в том, чтобы признать, что величина соответствует симметрии лагранжиана сохраняющаяся . Теорема Нётер обеспечивает систематический способ вывода таких величин из симметрии. Например, сохранение энергии является результатом инвариантности лагранжиана относительно сдвигов начала координат времени , сохранение линейного момента является результатом инвариантности лагранжиана относительно сдвигов начала координат пространства ( трансляционная симметрия ), а сохранение углового момента является результатом инвариантность лагранжиана относительно вращений . Обратное также верно; каждая симметрия лагранжиана соответствует константе движения, часто называемой сохраняющимся зарядом или током .
Количество $A$ является константой движения, если ее полная производная по времени равна нулю $0={\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\},$ что происходит, когда $A$ с Скобка Пуассона гамильтонианом равна минус его частная производная по времени ^[1] ${\frac {\partial A}{\partial t}}=-\{A,H\}.$

Еще одним полезным результатом является теорема Пуассона , которая утверждает, что если две величины $A$ и $B$ являются константами движения, как и их скобка Пуассона $\{A,B\}$ .

Система с п степенями свободы и п константами движения, такая, что скобка Пуассона любой пары констант движения обращается в нуль, называется полностью интегрируемой системой . Говорят, что такой набор констант движения находится в инволюции друг с другом. Для замкнутой системы ( лагранжиана , не зависящего явно от времени) энергия системы является константой движения ( сохраняющейся величиной ).

В квантовой механике

Наблюдаемая величина Q будет константой движения, если она и сама не зависит коммутирует с гамильтонианом H явно от времени. Это потому, что ${\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \,$ где $[H,Q]=HQ-QH\,$ является коммутаторным отношением.

Вывод

Скажем, существует некоторая наблюдаемая величина $Q$ , которая зависит от положения, импульса и времени: $Q=Q(x,p,t)$

А также, что существует волновая функция , подчиняющаяся уравнению Шрёдингера $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi .$

Взятие производной по времени от ожидаемого значения $Q$ требует использования правила произведения и приводит к ${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle &={\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|Q\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=\left({\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|\right)Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|Q\left({\frac {d}{dt}}\left|\psi \right\rangle \right)\\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle H\psi \right|Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|Q\left|H\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|HQ\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|QH\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \end{aligned}}$

Итак, наконец,

{\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {dQ}{dt}}|\psi \rangle \,

Комментарий

Для произвольного состояния квантовомеханической системы, если $H$ и $Q$ коммутируют, т. е. если $\left[H,Q\right]=0$ и $Q$ не зависит явно от времени, то ${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0$

Но если $\psi$ является собственной функцией гамильтониана, то даже если $\left[H,Q\right]\neq 0$ это все еще тот случай, что ${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0$ при условии, что $Q$ не зависит от времени.

Вывод

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left(HQ-QH\right)|\psi \rangle$ С $H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \,$ затем ${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle &=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(E\langle \psi |Q|\psi \rangle -E\langle \psi |Q|\psi \rangle \right)\\[1ex]&=0\end{aligned}}$ По этой причине собственные состояния гамильтониана также называют стационарными состояниями.

Актуальность для квантового хаоса

В общем случае интегрируемая система имеет константы движения, отличные от энергии. Напротив, энергия — единственная константа движения в неинтегрируемой системе ; такие системы называются хаотическими. В общем, классическую механическую систему можно квантовать, только если она интегрируема; по состоянию на 2006 год не существует известного последовательного метода квантования хаотических динамических систем.

Интеграл движения

Константа движения может быть определена в данном силовом поле как любая функция координат в фазовом пространстве (положение и скорость или положение и импульс) и времени, которая постоянна на протяжении всей траектории. Подмножеством констант движения являются интегралы движения или первые интегралы , определяемые как любые функции только координат фазового пространства, которые постоянны вдоль орбиты. Каждый интеграл движения является константой движения, но обратное неверно, поскольку константа движения может зависеть от времени. ^[2] Примерами интегралов движения являются вектор углового момента, $\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {v}$ , или гамильтониан без зависимости от времени, например ${\textstyle H(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (\mathbf {x} )}$ . Примером функции, которая является константой движения, но не интегралом движения, может быть функция $C(x,v,t)=x-vt$ для объекта, движущегося с постоянной скоростью в одном измерении.

Наблюдаемые Дирака

Чтобы извлечь физическую информацию из калибровочных теорий , нужно либо построить калибровочно-инвариантные наблюдаемые, либо фиксировать калибровку. На каноническом языке это обычно означает либо построение функций, коммутирующих по Пуассону на поверхности ограничений с калибровкой, порождающей ограничения первого класса , либо фиксацию потока последних путем выделения точек внутри каждой калибровочной орбиты . Таким образом, такие калибровочно-инвариантные наблюдаемые являются «константами движения» калибровочных генераторов и называются наблюдаемыми Дирака.

Ссылки

^ Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1960). Механика . Пергамон Пресс. п. 135. ИСБН 0-7506-2896-0 .
^ Бинни Дж. и Тремейн С.: Галактическая динамика . Издательство Принстонского университета. 27 января 2008 г. ISBN. 9780691130279 . Проверено 5 мая 2011 г.

Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х .

[1] Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1960). Механика . Пергамон Пресс. п. 135. ИСБН 0-7506-2896-0 .

[2] Бинни Дж. и Тремейн С.: Галактическая динамика . Издательство Принстонского университета. 27 января 2008 г. ISBN. 9780691130279 . Проверено 5 мая 2011 г.

[1]

[2]