Эллипсоид Пуансо

В классической механике конструкция Пуансо (по Луи Пуансо ) — геометрический метод визуализации безкрутящего момента движения вращающегося твердого тела , то есть движения твердого тела, на которое не действуют никакие внешние силы. Это движение имеет четыре константы: кинетическую энергию тела и три составляющие момента количества движения , выраженные относительно инерциальной лабораторной системы отсчета. Вектор скорости угловой ${\boldsymbol {\omega }}$ жесткого ротора является не постоянной величиной , но удовлетворяет уравнениям Эйлера . Сохранение кинетической энергии и углового момента накладывает два ограничения на движение ${\boldsymbol {\omega }}$ .

Без явного решения этих уравнений движение ${\boldsymbol {\omega }}$ можно описать геометрически следующим образом: ^{[ 1 ]}

Движение твердого тела целиком определяется движением его эллипсоида инерции , который жестко прикреплен к твердому телу как система координат.
Его эллипсоид инерции катится без проскальзывания по неизменной плоскости , причем центр эллипсоида находится на постоянной высоте над плоскостью.
Во все времена, ${\boldsymbol {\omega }}$ является точкой контакта эллипсоида с плоскостью.

Движение периодическое, поэтому ${\boldsymbol {\omega }}$ чертит две замкнутые кривые: одну на эллипсоиде, другую на плоскости.

Замкнутая кривая на эллипсоиде — это полодия .
Замкнутая кривая на плоскости — герпохода .

Если твердое тело симметрично (имеет два равных момента инерции ), вектор ${\boldsymbol {\omega }}$ описывает конус (а его конечная точка — круг). Это безкрутящая прецессия оси вращения ротора.

Ограничение угловой кинетической энергии

Закон сохранения энергии подразумевает, что в отсутствие диссипации энергии или приложенных крутящих моментов угловая кинетическая энергия $T\$ сохраняется, поэтому ${\textstyle {\frac {dT}{dt}}=0}$ .

Угловую кинетическую энергию можно выразить через тензор момента инерции $\mathbf {I}$ и вектор угловой скорости ${\boldsymbol {\omega }}$

T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}I_{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}

где $\omega _{k}\$ – компоненты угловой скорости вектора ${\boldsymbol {\omega }}$ и $I_{k}\$ - главные моменты инерции , когда оба находятся в корпусе кузова. Таким образом, сохранение кинетической энергии накладывает ограничение на трехмерный угловой скорости вектор ${\boldsymbol {\omega }}$ ; в системе главной оси он должен лежать на эллипсоиде, определяемом приведенным выше уравнением, называемом эллипсоидом инерции .

Путь, прочерченный на этом эллипсоиде вектором угловой скорости ${\boldsymbol {\omega }}$ называется полходом (придуманным Пуансо от греческих корней, означающим «путь шеста»), и обычно имеет круглую форму или форму тако .

Ограничение углового момента

Закон сохранения момента импульса гласит, что в отсутствие приложенных моментов вектор момента импульса $\mathbf {L}$ сохраняется в инерциальной системе отсчета , поэтому ${\textstyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0}$ .

Вектор углового момента $\mathbf {L}$ может быть выражено через тензор момента инерции $\mathbf {I}$ и вектор угловой скорости ${\boldsymbol {\omega }}$

\mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}

что приводит к уравнению

T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L} .

Поскольку произведение скалярное ${\boldsymbol {\omega }}$ и $\mathbf {L}$ является постоянным, и $\mathbf {L}$ сам по себе постоянен, вектор угловой скорости ${\boldsymbol {\omega }}$ имеет постоянную составляющую в направлении вектора углового момента $\mathbf {L}$ . Это накладывает второе ограничение на вектор ${\boldsymbol {\omega }}$ ; в абсолютном пространстве он должен лежать на неизменной плоскости, определяемой его скалярным произведением с сохраняющимся вектором $\mathbf {L}$ . Вектор нормали к неизменной плоскости выравнивается по $\mathbf {L}$ . Путь, прочерченный вектором угловой скорости ${\boldsymbol {\omega }}$ на неизменной плоскости называется герполход (от греческого корня, означающего «змееподобный путь»).

Герполодия обычно представляет собой разомкнутую кривую, что означает, что вращение не повторяется идеально, а полодия представляет собой замкнутую кривую (см. ниже). ^{[ 2 ]}

Состояние касания и конструкция

Эти два ограничения действуют в разных системах отсчета; эллипсоидальное ограничение сохраняется в (вращающейся) системе отсчета главной оси, тогда как неизменная плоская постоянная действует в абсолютном пространстве. Чтобы связать эти ограничения, заметим, что вектор градиента кинетической энергии относительно вектора угловой скорости ${\boldsymbol {\omega }}$ равен вектору углового момента $\mathbf {L}$

{\frac {dT}{d{\boldsymbol {\omega }}}}=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {L} .

Следовательно, вектор нормали к эллипсоиду кинетической энергии в точке ${\boldsymbol {\omega }}$ является пропорционально $\mathbf {L}$ , что справедливо и для неизменной плоскости. Поскольку их векторы нормалей направлены в одном направлении, эти две поверхности будут пересекаться по касательной.

В совокупности эти результаты показывают, что в абсолютной системе отсчета вектор мгновенной угловой скорости ${\boldsymbol {\omega }}$ — это точка пересечения неподвижной неизменной плоскости и касательного к ней эллипсоида кинетической энергии, катящегося по ней без скольжения. Это конструкция Пуансо .

Вывод полодий в каркасе кузова

В системе главной оси (которая вращается в абсолютном пространстве) вектор углового момента не сохраняется даже при отсутствии приложенных крутящих моментов, а изменяется, как описано уравнениями Эйлера . Однако в отсутствие приложенных крутящих моментов величина $L\$ углового момента и кинетической энергии $T\$ оба сохранены

{\begin{aligned}L^{2}&=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}\\[2pt]T&={\frac {L_{1}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2I_{3}}}\end{aligned}}

где $L_{k}\$ – компоненты вектора момента импульса вдоль главных осей, а $I_{k}\$ являются главными моментами инерции.

Эти законы сохранения эквивалентны двум ограничениям на трехмерный вектор углового момента. $\mathbf {L}$ . Кинетическая энергия ограничивает $\mathbf {L}$ лежать на эллипсоиде, тогда как ограничение углового момента ограничивает $\mathbf {L}$ лежать на сфере . Эти две поверхности пересекаются в виде двух кривых, имеющих форму края тако , которые определяют возможные решения для $\mathbf {L}$ . Это показывает, что $\mathbf {L}$ и полодия остаются в замкнутом контуре в движущейся системе отсчета объекта.

Таким образом, ориентация тела в пространстве имеет две степени свободы. Во-первых, какая-то точка на «крае тако» должна совпадать с $\mathbf {L} ,$ который является постоянным вектором в абсолютном пространстве. Во-вторых, если вектор в системе координат тела, проходящий через эту точку, фиксирован, тело может вращаться вокруг этого вектора на любую величину. Итак, в принципе, ориентация тела — это некоторая точка тороидального 2-многообразия внутри 3-многообразия всех ориентаций. В общем случае объект будет следовать по непериодическому пути на этом торе, но может следовать и по периодическому пути. Время, потраченное на $\mathbf {L}$ совершить один цикл по своей траектории в системе тела является постоянной величиной, но после цикла тело повернется на величину, которая может быть нерациональным числом градусов, и в этом случае ориентация будет не периодической, а почти периодической .

В общем, тор почти определяется тремя параметрами: отношением второго и третьего моментов инерции к наибольшему из трех моментов инерции и отношением $L^{2}/(TI_{3})$ связывая угловой момент с энергией, умноженной на наибольший момент инерции. Но для любого такого набора параметров есть два тора, потому что есть два «тако» (соответствующих двум полодам). Набор поворотов на 180 ° переводит любую ориентацию одного тора в ориентацию другого, причем противоположная точка совпадает с вектором углового момента. Если угловой момент точно совпадает с главными осями, тор вырождается в одну петлю. Если ровно два момента инерции равны (так называемое симметричное тело), то кроме торов будет бесконечное число петель, а если все три момента инерции равны, будут петли, но не будет торов. Если все три момента инерции различны и $L^{2}=TI_{2}$ но промежуточная ось не совпадает с угловым моментом, то ориентация будет в некоторой точке топологического открытого кольца .

Нестабильность вращения

Из-за всего этого, когда вектор угловой скорости (или вектор момента импульса) не находится близко к оси наибольшей или наименьшей инерции, тело «кувыркается». Большинство спутников вращаются более или менее вокруг своей оси наибольшей инерции (из-за вязких эффектов), но Гиперион (спутник Сатурна), два спутника Плутона и многие другие малые тела Солнечной системы имеют кувыркающееся вращение.

Демонстрация эффекта Джанибекова в условиях микрогравитации , НАСА .

Если тело вращается вокруг своей промежуточной главной оси, то пересечение эллипсоида и сферы похоже на две петли, пересекающиеся в двух точках и совмещенные с этой осью. Если соосность с промежуточной осью не идеальна, то $\mathbf {L}$ в конечном итоге съедет с этой точки по одному из четырех путей, отходящих от этой точки, и направится в противоположную точку. Это соответствует ${\boldsymbol {\omega }}$ движется к своему антиподу на эллипсоиде Пуансо. См. видео справа и теорему о теннисной ракетке .

Эта конструкция отличается от конструкции Пуансо тем, что учитывает вектор углового момента $\mathbf {L}$ а не вектор угловой скорости ${\boldsymbol {\omega }}$ . Судя по всему, его разработал Жак Филипп Мари Бине . ^{[ нужна ссылка ]}

Особый случай

В общем случае вращения несимметричного тела, имеющего разные значения момента инерции относительно трех главных осей, вращательное движение может быть весьма сложным, если только тело не вращается вокруг главной оси. Как описано в теореме о теннисной ракетке , вращение объекта вокруг своей первой или третьей главной оси стабильно, а вращение вокруг второй главной оси (или промежуточной оси) — нет. Движение упрощается в случае осесимметричного тела, у которого момент инерции одинаков вокруг двух главных осей. К таким случаям относится вращение вытянутого сфероида (форма американского футбола) или вращение сплюснутого сфероида (форма сплющенной сферы). В этом случае угловая скорость описывает конус, а полходия — круг. Этот анализ применим, например, к осевой прецессии вращения планеты (случай сплюснутого сфероида).

Приложения

Одно из применений конструкции Пуансо — визуализация вращения космического корабля на орбите. ^{[ 3 ]}

См. также

Ссылки

^ Гольдштейн, Герберт; Джон Л. Сафко; Чарльз П. Пул (2011). «5.6 Безкрутящее движение твердого тела». Классическая механика (Третье изд.). ISBN 978-81-317-5891-5 . OCLC 960166650 .
^ Джерри Гинзберг. «Гироскопические эффекты», Инженерная динамика, том 10, с. 650, Издательство Кембриджского университета, 2007 г.
^ Ф. Лэндис Маркли и Джон Л. Крассидис, Глава 3.3, «Динамика отношения», с. 89; Основы определения и управления космическими аппаратами, серия Springer Technology and Engineering, 2014.

Источники

Пуансо (1834) Новая теория вращения тел , бакалавр, Париж.
Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. (1976) Механика , 3-е. изд., Пергамон Пресс. ISBN 0-08-021022-8 (твердый переплет) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкая обложка).
Гольдштейн Х. (1980) Классическая механика , 2-е место. изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9
Саймон КР. (1971) Механика , 3-я. изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7

Внешние ссылки

Строительство Пуансо в стерео 3D-моделировании — онлайн и бесплатно .

[1] Гольдштейн, Герберт; Джон Л. Сафко; Чарльз П. Пул (2011). «5.6 Безкрутящее движение твердого тела». Классическая механика (Третье изд.). ISBN 978-81-317-5891-5 . OCLC 960166650 .

[2] Джерри Гинзберг. «Гироскопические эффекты», Инженерная динамика, том 10, с. 650, Издательство Кембриджского университета, 2007 г.

[3] Ф. Лэндис Маркли и Джон Л. Крассидис, Глава 3.3, «Динамика отношения», с. 89; Основы определения и управления космическими аппаратами, серия Springer Technology and Engineering, 2014.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]