Теорема о теннисной ракетке

Главные оси теннисной ракетки.

Композитное видео теннисной ракетки, вращающейся вокруг трех осей — промежуточная переворачивается от светлого края к темному краю (обратите внимание, что нумерация смещена на 1 на схеме выше)

Титульный лист «Новой теории вращения тел», типография 1852 г.

Теорема о теннисной ракетке или теорема о промежуточной оси — кинетическое явление классической механики , которое описывает движение твердого тела с тремя различными главными моментами инерции . Его также назвали эффектом Джанибекова в честь советского космонавта Владимира Джанибекова теоремы , который заметил одно из логических следствий во время своего пребывания в космосе в 1985 году. Эффект был известен по крайней мере 150 лет назад и был описан Луи Пуансо в 1834 году. и включен в стандартные учебники физики, такие как ( Гольдштейн ) на протяжении 20 века.

Теорема описывает следующий эффект: вращение объекта вокруг первой и третьей главных осей устойчиво, а вращение вокруг второй главной оси (или промежуточной оси) — нет.

Это можно продемонстрировать следующим опытом: возьмите теннисную ракетку за ручку, лицевой стороной горизонтально, и подбросьте ее в воздух так, чтобы она совершила полный оборот вокруг своей горизонтальной оси, перпендикулярной ручке (ê ₂ на схеме , ê ₁ на видео), а затем поймать за ручку. Почти во всех случаях во время этого поворота лицо также совершает половину оборота, так что другая грань теперь оказывается вверху. Напротив, ракетку легко бросить так, чтобы она вращалась вокруг оси рукоятки (ê ₁ на схеме) без сопутствующего полуповорота вокруг другой оси; также можно заставить его вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной ручке (ê ₃ на схеме), без сопутствующего полуповорота.

Эксперимент можно провести с любым объектом, имеющим три разных момента инерции, например с книгой, пультом дистанционного управления или смартфоном. Эффект возникает всякий раз, когда ось вращения лишь незначительно отличается от второй главной оси объекта; сопротивление воздуха или гравитация не нужны.

Теория

Продолжительность: 15 секунд. 0:15

Демонстрация эффекта Джанибекова в условиях микрогравитации , НАСА .

Теорему о теннисной ракетке можно качественно проанализировать с помощью уравнений Эйлера .В условиях отсутствия крутящего момента они принимают следующий вид:

$${\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=-(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=-(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}$$

Здесь $I_{1},I_{2},I_{3}$ обозначаем главные моменты инерции объекта и предполагаем $I_{1}<I_{2}<I_{3}$. Угловые скорости вокруг трех главных осей объекта равны $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$ а их производные по времени обозначаются ${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}$.

Стабильное вращение вокруг первой и третьей главных осей.

Рассмотрим ситуацию, когда объект вращается вокруг оси с моментом инерции. $I_{1}$. Для определения характера равновесия предположим малые начальные угловые скорости по двум другим осям. В результате, согласно уравнению (1), $~{\dot {\omega }}_{1}$ очень мал. Таким образом, временная зависимость $~\omega _{1}$ можно пренебречь.

Теперь, дифференцируя уравнение (2) и подставляя ${\dot {\omega }}_{3}$ из уравнения (3),

$${\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{i.e. }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(negative quantity)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}$$

потому что $I_{2}-I_{1}>0$ и $I_{1}-I_{3}<0$.

Обратите внимание, что $\omega _{2}$ противостоит, и поэтому вращение вокруг этой оси стабильно для объекта.

Аналогичные рассуждения показывают, что вращение вокруг оси с моментом инерции $I_{3}$ также стабилен.

Неустойчивое вращение вокруг второй главной оси.

Теперь примените тот же анализ к оси с моментом инерции. $I_{2}.$ На этот раз ${\dot {\omega }}_{2}$ очень мал. Таким образом, временная зависимость $~\omega _{2}$ можно пренебречь.

Теперь, дифференцируя уравнение (1) и подставляя ${\dot {\omega }}_{3}$ из уравнения (3),

$${\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})(I_{2}-I_{1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(positive quantity)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что $\omega _{1}$ не противоположен (и, следовательно, будет расти) , поэтому вращение вокруг второй оси неустойчиво . Поэтому даже небольшое возмущение в виде очень малого начального значения $\omega _{1}$ или $\omega _{3}$, заставляет объект «перевернуться».

Матричный анализ

Если объект преимущественно вращается вокруг своей третьей оси, то $|\omega _{3}|\gg |\omega _{1}|,|\omega _{2}|$, мы можем предположить $\omega _{3}$ не сильно меняется, и запишем уравнения движения в виде матричного уравнения: $${\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\omega _{3}(I_{3}-I_{2})/I_{1}\\-\omega _{3}(I_{1}-I_{3})/I_{2}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}$$который имеет нулевой след и положительный определитель , что подразумевает движение $(\omega _{1},\omega _{2})$ — устойчивое вращение вокруг начала координат — нейтральной точки равновесия. Аналогично, точка $(\omega _{1},0,0)$ является нейтральной точкой равновесия, но $(0,\omega _{2},0)$ является седловой точкой.

Геометрический анализ

Визуализация нестабильности промежуточной оси. Величина углового момента и кинетическая энергия вращающегося объекта сохраняются. В результате вектор угловой скорости остается на пересечении двух эллипсоидов. Здесь желтый эллипсоид — это эллипсоид углового момента, а расширяющийся синий эллипсоид — энергетический эллипсоид.

Во время движения как энергия, так и квадрат углового момента сохраняются, поэтому мы имеем две сохраняющиеся величины: $${\begin{cases}2E=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}\\L^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}\end{cases}}$$и так для любого начального условия $\omega (0)$, траектория $\omega (t)$ должен оставаться на кривой пересечения двух эллипсоидов, определяемых формулой $${\begin{cases}\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}(0)^{2}\\\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}(0)^{2}\end{cases}}$$Это показано на анимации слева.

Изучая уравнения Эйлера, мы видим, что $\omega (t)=0$ подразумевает, что два компонента $\omega (t)$ равны нулю, то есть объект вращается точно вокруг одной из главных осей. Во всех остальных ситуациях $\omega (t)$ должен оставаться в движении.

По уравнениям Эйлера, если $\omega (t)$ это решение, то так же $c\omega (ct)$ для любой константы $c>0$. В частности, движение тела в свободном пространстве (полученное интегрированием $c\omega (ct)dt$) точно такой же , только выполняется быстрее в соотношении $c$.

Следовательно, мы можем анализировать геометрию движения при фиксированном значении $L^{2}$и варьируются $\omega (0)$ на неподвижном эллипсоиде постоянного квадрата момента импульса. Как $\omega (0)$ варьируется, значение $2E$ также меняется, что дает нам изменяющийся эллипсоид постоянной энергии. На анимации это показано в виде фиксированного оранжевого эллипсоида и увеличивающегося синего эллипсоида.

Для конкретики рассмотрим $I_{1}=1,I_{2}=2,I_{3}=3$, то большие оси эллипсоида углового момента находятся в соотношениях $1:1/2:1/3$, а большие оси энергетического эллипсоида имеют отношения $1:1/{\sqrt {2}}:1/{\sqrt {3}}$. Таким образом, эллипсоид углового момента одновременно более плоский и острый, как видно на анимации. В общем, эллипсоид момента количества движения всегда более «преувеличен», чем эллипсоид энергии.

Теперь впишите на фиксированный эллипсоид $L^{2}$ кривые его пересечения с эллипсоидом $2E$, как $2E$ увеличивается от нуля до бесконечности. Мы видим, что кривые развиваются следующим образом:

Все кривые пересечения эллипсоида момента импульса с эллипсоидом энергии (не показаны).

• При малой энергии пересечения нет, так как нам нужен минимум энергии, чтобы оставаться на эллипсоиде момента количества движения.
• Эллипсоид энергии впервые пересекает эллипсоид импульса, когда $2E=L^{2}/I_{3}$, в точках $(0,0,\pm L/I_{3})$. Это когда тело вращается вокруг своей оси с наибольшим моментом инерции.
• Они пересекаются за два цикла вокруг точек $(0,0,\pm L/I_{3})$. Поскольку в каждом цикле нет точки, в которой ${\dot {\omega }}=0$, движение $\omega (t)$ должно быть периодическим движением вокруг каждого цикла.
• Они пересекаются по двум «диагональным» кривым, пересекающимся в точках $(0,\pm L/I_{2},0)$, когда $2E=L^{2}/I_{2}$. Если $\omega (t)$ начинается где-нибудь на диагональных кривых, он приближается к одной из точек, расстояние экспоненциально уменьшается, но никогда не достигает точки. Другими словами, у нас есть 4 гетероклинические орбиты между двумя седловыми точками.
• Они пересекаются за два цикла вокруг точек $(\pm L/I_{1},0,0)$. Поскольку в каждом цикле нет точки, в которой ${\dot {\omega }}=0$, движение $\omega (t)$ должно быть периодическим движением вокруг каждого цикла.
• Эллипсоид энергии в последний раз пересекает эллипсоид импульса, когда $2E=L^{2}/I_{1}$, в точках $(\pm L/I_{1},0,0)$. Это когда тело вращается вокруг своей оси с наименьшим моментом инерции.

Эффект теннисной ракетки возникает, когда $\omega (0)$ очень близко к седловой точке. Тело задерживалось возле точки седла, а затем быстро перемещалось к другой точке седла, недалеко от $\omega (T/2)$, снова задерживаемся надолго и так далее. Движение повторяется с периодом $T$.

Весь приведенный выше анализ выполнен с точки зрения наблюдателя, который вращается вместе с телом. Наблюдатель, наблюдающий за движением тела в свободном пространстве, увидит вектор его углового момента. ${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$ сохраняется, а оба его вектора угловой скорости ${\vec {\omega }}(t)$ и его момент инерции $I(t)$ совершают сложные движения в пространстве. Вначале наблюдатель увидит оба ${\vec {\omega }}(0),{\vec {L}}$ в основном соответствует второй главной оси $I(0)$. Через некоторое время тело совершает сложное движение и в итоге оказывается $I(T/2),{\vec {\omega }}(T/2)$и снова оба ${\vec {L}},{\vec {\omega }}(T/2)$ в основном ориентированы на вторую главную ось $I(T/2)$.

Следовательно, есть две возможности: либо вторая главная ось твердого тела направлена ​​в том же направлении, либо она имеет противоположное направление. Если оно все еще в том же направлении, то ${\vec {\omega }}(0),{\vec {\omega }}(T/2)$ рассматриваемые в системе отсчета твердого тела также в основном находятся в одном направлении. Однако мы только что это увидели $\omega (0)$ и $\omega (T/2)$ находятся вблизи противоположных седловых точек $(0,\pm L/I_{2},0)$. Противоречие.

Качественно это то, что наблюдатель, наблюдающий в свободном пространстве, мог бы наблюдать:

• Тело некоторое время вращается вокруг своей второй большой оси.
• Тело быстро совершает сложное движение, пока его вторая главная ось не меняет направление.
• Тело снова некоторое время вращается вокруг своей второй большой оси. Повторить.

В этом легко убедиться на видео-демонстрации в условиях микрогравитации.

С рассеиванием

Когда тело не совсем жесткое, но может сгибаться и сгибаться или содержать жидкость, которая растекается вокруг, оно может рассеивать энергию через свои внутренние степени свободы. В этом случае тело все еще имеет постоянный момент импульса, но его энергия будет уменьшаться, пока не достигнет точки минимума. Как анализировалось с геометрической точки зрения выше, это происходит, когда угловая скорость тела точно совпадает с его осью максимального момента инерции.

Это произошло с «Эксплорером-1» , первым спутником , запущенным Соединенными Штатами в 1958 году. Удлиненный корпус космического корабля был спроектирован так, чтобы вращаться вокруг своей длинной (наименьшей инерционной ) оси, но отказался это делать и вместо этого начал прецессию из-за энергии. диссипация от гибких элементов конструкции.

В общем, небесные тела, большие или малые, будут сходиться к постоянному вращению вокруг своей оси максимального момента инерции. Всякий раз, когда небесное тело обнаруживается в сложном состоянии вращения, это происходит либо из-за недавнего удара или приливного взаимодействия, либо является фрагментом недавно разрушенного прародителя.

См. также

• Углы Эйлера - Описание ориентации твердого тела.
• Момент инерции - скалярная мера инерции вращения относительно фиксированной оси вращения.
• Эллипсоид Пуансо - геометрический метод визуализации вращающегося твердого тела.
• Поход - Кривая, создаваемая вектором угловой скорости на эллипсоиде инерции.

Внешние ссылки

• Дэн Рассел (5 марта 2010 г.). «Замедленная демонстрация эффекта Джанибекова с помощью ракеток для настольного тенниса» . Проверено 2 февраля 2017 г. - через YouTube.
• западловский (16 июня 2010 г.). «Демонстрация эффекта Джанибекова» . Проверено 2 февраля 2017 г. - через YouTube. на «Мир» Международной космической станции
• Вячеслав Мезенцев (7 сентября 2011 г.). «Эффект Джанибекова, смоделированный в Mathcad 14» . Проверено 2 февраля 2017 г. - через YouTube.
• Луи Пуансо , Новая теория вращения тел , Париж, Башелье, 1834, 170 с. OCLC   457954839 : исторически первое математическое описание этого эффекта.
• «Эллипсоиды и причудливое поведение вращающихся тел» . Ютуб . - интуитивно понятное видеообъяснение Мэтта Паркера
• «Эффект Джанибекова» – упражнение по механике или фантастика? Объясните математически видео с космической станции, [1]
• Причудливое поведение вращающихся тел, Veritasium [2]