Конфигурационное пространство (физика)

В классической механике параметры, определяющие конфигурацию системы, называются обобщенными координатами , а пространство, определяемое этими координатами, — конфигурационным пространством физической системы . Часто эти параметры удовлетворяют математическим ограничениям, например, набор реальных конфигураций системы представляет собой многообразие в пространстве обобщенных координат. Это многообразие называется конфигурационным многообразием системы. Обратите внимание, что это понятие «неограниченного» конфигурационного пространства, т.е. в котором разные точечные частицы могут занимать одно и то же положение. В математике, в частности в топологии, чаще всего используется понятие «ограниченного» конфигурационного пространства , в котором удалены диагонали, представляющие «сталкивающиеся» частицы.

Пример: частица в 3D-пространстве [ править ]

Положение отдельной частицы, движущейся в обычном евклидовом трехмерном пространстве, определяется вектором $q=(x,y,z)$ , и, следовательно, его конфигурационное пространство равно $Q=\mathbb {R} ^{3}$ . Традиционно используется символ $q$ для точки в конфигурационном пространстве; это соглашение как в гамильтоновой формулировке классической механики , так и в лагранжевой механике . Символ $p$ используется для обозначения импульсов; символ ${\dot {q}}=dq/dt$ относится к скоростям.

Частица может быть вынуждена двигаться по определенному многообразию . Например, если частица прикреплена к жесткой связи, которая может свободно вращаться вокруг начала координат, она фактически вынуждена лежать на сфере. Его конфигурационное пространство представляет собой подмножество координат в $\mathbb {R} ^{3}$ которые определяют точки на сфере $S^{2}$ . В этом случае говорят, что многообразие $Q$ это сфера, т.е. $Q=S^{2}$ .

Для n несвязных, невзаимодействующих точечных частиц конфигурационное пространство имеет вид $\mathbb {R} ^{3n}$ . В целом, однако, интересен случай, когда частицы взаимодействуют: например, они представляют собой определенные места в каком-то узле из шестерен, шкивов, катящихся шариков и т. д. , часто вынужденных двигаться без проскальзывания. В этом случае конфигурационное пространство — это еще не все. $\mathbb {R} ^{3n}$ , а подпространство (подмногообразие) допустимых положений, которые могут занимать точки.

Пример: твердое тело в трехмерном пространстве [ править ]

Набор координат, определяющих положение опорной точки и ориентацию системы координат, прикрепленной к твердому телу в трехмерном пространстве, образует его конфигурационное пространство, часто обозначаемое $\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ где $\mathbb {R} ^{3}$ представляет собой координаты начала координат кадра, прикрепленного к телу, и $\mathrm {SO} (3)$ представляет матрицы вращения, которые определяют ориентацию этого кадра относительно наземного кадра. Конфигурация твердого тела определяется шестью параметрами, тремя из которых $\mathbb {R} ^{3}$ и трое из $\mathrm {SO} (3)$ , и говорят, что он имеет шесть степеней свободы .

В этом случае конфигурационное пространство $Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ шестимерна, а точка $q\in Q$ это просто точка в этом пространстве. «Местоположение» $q$ в этой конфигурации пространство описывается с помощью обобщенных координат ; таким образом, три координаты могут описывать положение центра масс твердого тела, а еще три могут быть углами Эйлера, описывающими его ориентацию. Канонического выбора координат не существует; можно также выбрать какую-нибудь вершину или конечную точку твердого тела вместо его центра масс; можно было бы использовать кватернионы вместо углов Эйлера и так далее. Однако параметризация не меняет механические характеристики системы; все различные параметризации в конечном итоге описывают одно и то же (шестимерное) многообразие, один и тот же набор возможных положений и ориентаций.

С некоторыми параметризациями работать легче, чем с другими, и многие важные утверждения можно сделать, работая без координат. Примеры бескоординатных утверждений: касательное пространство $TQ$ соответствует скоростям точек $q\in Q$ , а котангенс пространство $T^{*}Q$ соответствует импульсам. (Скорости и импульсы могут быть связаны; в наиболее общем, абстрактном случае это делается с помощью довольно абстрактного понятия тавтологической одной формы .)

Пример: роботизированная рука [ править ]

Для роботизированной руки, состоящей из множества жестких рычагов, пространство конфигурации состоит из местоположения каждого рычага (принимаемого за твердое тело, как в разделе выше) с учетом ограничений того, как рычаги прикреплены друг к другу, и их разрешенный диапазон движения. Таким образом, для $n$ связи, можно рассмотреть общее пространство

\left[\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)\right]^{n}

за исключением того, что все эти различные привязки и ограничения означают, что не каждая точка в этом пространстве достижима. Таким образом, конфигурационное пространство

Q

обязательно является подпространством

n

-пространство конфигурации жесткого тела.

Однако обратите внимание, что в робототехнике термин « пространство конфигурации» может также относиться к еще более сокращенному подмножеству: набору позиций, достижимых конечным исполнительным устройством робота . ^[1] Это определение, однако, приводит к сложностям, описываемым голономией : то есть может существовать несколько различных способов расположения руки робота для получения определенного местоположения рабочего органа, и даже возможно заставить руку робота двигаться, сохраняя при этом концевой эффектор стационарный. Таким образом, полное описание руки, пригодное для использования в кинематике, требует указания всех положений и углов суставов, а не только некоторых из них.

Параметры суставов робота используются как обобщенные координаты для определения конфигураций. Набор значений параметров сустава называется пространством сустава . робота Уравнения прямой и обратной кинематики определяют карты между конфигурациями и положениями рабочих органов или между суставным пространством и пространством конфигурации. робота При планировании движения это отображение используется для поиска пути в суставном пространстве, который обеспечивает достижимый маршрут в пространстве конфигурации рабочего органа.

Формальное определение [ править ]

В классической механике системы конфигурация относится к положению всех составляющих точечных частиц системы. ^[2]

Фазовое пространство [ править ]

Конфигурационного пространства недостаточно для полного описания механической системы: оно не учитывает скорости. Набор скоростей, доступных системе, определяет плоскость, касательную к конфигурационному многообразию системы. В какой-то момент $q\in Q$ , эта касательная плоскость обозначается $T_{q}Q$ . Векторы импульса представляют собой линейные функционалы касательной плоскости, известные как кокасательные векторы; за точку $q\in Q$ , эта кокасательная плоскость обозначается через $T_{q}^{*}Q$ . Совокупность положений и импульсов механической системы образует кокасательное расслоение. $T^{*}Q$ конфигурационного коллектора $Q$ . Это большее многообразие называется фазовым пространством системы.

Пространство квантовых состояний [ править ]

В квантовой механике можно использовать конфигурационное пространство (см., например, проблему Мотта ), но расширение классической механики на фазовое пространство — нет. , используется совершенно другой набор формализмов и обозначений Вместо этого в аналогичной концепции, называемой пространством квантовых состояний . Аналогом «точечной частицы» становится одна точка в $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}$ , комплексная проективная линия , также известная как сфера Блоха . Это сложно, потому что квантовомеханическая волновая функция имеет сложную фазу; он проективен, поскольку волновая функция нормирована на единичную вероятность. То есть, учитывая волновую функцию $\psi$ можно нормализовать его по полной вероятности ${\textstyle \int \psi ^{*}\psi }$ , что делает его проективным.

См. также [ править ]

Пространство признаков (тема распознавания образов)
Пространство параметров
Конфигурационное пространство (математика)

Ссылки [ править ]

^ Джон Дж. Крейг, Введение в робототехнику: механика и управление , 3-е изд. Прентис-Холл, 2004 г.
^ Сассман, Джеральд Джей; Мудрость, Джек; с Майером, Мейнхардом Э. (2001). Структура и интерпретация классической механики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. п. 9. ISBN 0262194554 .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Джон Дж. Крейг, Введение в робототехнику: механика и управление , 3-е изд. Прентис-Холл, 2004 г.

[2] Сассман, Джеральд Джей; Мудрость, Джек; с Майером, Мейнхардом Э. (2001). Структура и интерпретация классической механики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. п. 9. ISBN 0262194554 .

[1]

[2]