Прямой сравнительный тест

В математике тест сравнения , иногда называемый тестом прямого сравнения , чтобы отличить его от аналогичных родственных тестов (особенно критерия предельного сравнения ), обеспечивает способ вывода сходимости или расхождения бесконечного ряда или несобственного интеграла . В обоих случаях тест работает путем сравнения данного ряда или интеграла с тем, свойства сходимости которого известны.

Для сериала

В исчислении тест сравнения рядов обычно состоит из пары утверждений о бесконечных рядах с неотрицательными ( действительными ) членами:

• Если бесконечный ряд $\sum b_{n}$ сходится и $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ для всех достаточно больших n (т.е. для всех $n>N$ для некоторого фиксированного значения N ), то бесконечный ряд $\sum a_{n}$ тоже сходится.
• Если бесконечный ряд $\sum b_{n}$ расходится и $0\leq b_{n}\leq a_{n}$ для всех достаточно больших n , то бесконечный ряд $\sum a_{n}$ тоже расходится.

Обратите внимание, что иногда говорят, что ряд с более крупными членами доминирует (или в конечном итоге доминирует ) над рядом с меньшими членами.

В качестве альтернативы тест можно сформулировать с точки зрения абсолютной сходимости , и в этом случае он также применяется к рядам с комплексными членами:

• Если бесконечный ряд $\sum b_{n}$ абсолютно сходится и $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ для всех достаточно больших n , то бесконечный ряд $\sum a_{n}$ также абсолютно сходится.
• Если бесконечный ряд $\sum b_{n}$ не является абсолютно сходящимся и $|b_{n}|\leq |a_{n}|$ для всех достаточно больших n , то бесконечный ряд $\sum a_{n}$ также не является абсолютно сходящимся.

Обратите внимание, что в этом последнем утверждении ряд $\sum a_{n}$ все еще может быть условно сходящимся ; для рядов с действительными значениями это могло бы произойти, если бы n _{не все были} неотрицательными.

Вторая пара утверждений эквивалентна первой в случае вещественнозначного ряда, поскольку $\sum c_{n}$ сходится абсолютно тогда и только тогда, когда $\sum |c_{n}|$, ряд с неотрицательными членами, сходится.

Доказательство

Доказательства всех приведенных выше утверждений аналогичны. Вот доказательство третьего утверждения.

Позволять $\sum a_{n}$ и $\sum b_{n}$ быть бесконечной серией такой, что $\sum b_{n}$ сходится абсолютно (таким образом, $\sum |b_{n}|$ сходится), и без ограничения общности предположим, что $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ для всех положительных целых чисел n . Рассмотрим частичные суммы

$S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|,\ T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n}|.$

С $\sum b_{n}$ сходится абсолютно, $\lim _{n\to \infty }T_{n}=T$ для некоторого вещественного T. числа Для всех n ,

$0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.$

$S_{n}$ является неубывающей последовательностью и $S_{n}+(T-T_{n})$ не возрастает.Данный $m,n>N$ тогда оба $S_{n},S_{m}$ принадлежат интервалу $[S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]$, длина которого $T-T_{N}$ уменьшается до нуля, так как $N$ уходит в бесконечность.Это показывает, что $(S_{n})_{n=1,2,\ldots }$ является последовательностью Коши и поэтому должна сходиться к пределу. Поэтому, $\sum a_{n}$ абсолютно сходится.

Для интегралов

Тест сравнения интегралов можно сформулировать следующим образом, предполагая, что непрерывны действительные функции f и g на $[a,b)$ с б либо $+\infty$ или действительное число, при котором f и g имеют вертикальную асимптоту:

• Если несобственный интеграл $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ сходится и $0\leq f(x)\leq g(x)$ для $a\leq x<b$, то несобственный интеграл $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ также сходится с $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$
• Если несобственный интеграл $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ расходится и $0\leq g(x)\leq f(x)$ для $a\leq x<b$, то несобственный интеграл $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ тоже расходится.

Сравнительный тест соотношений

Другой тест на сходимость вещественных рядов, аналогичный как приведенному выше тесту прямого сравнения, так и тесту отношения , называется тестом сравнения отношений :

• Если бесконечный ряд $\sum b_{n}$ сходится и $a_{n}>0$, $b_{n}>0$, и ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ для всех достаточно больших n , то бесконечный ряд $\sum a_{n}$ тоже сходится.
• Если бесконечный ряд $\sum b_{n}$ расходится и $a_{n}>0$, $b_{n}>0$, и ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ для всех достаточно больших n , то бесконечный ряд $\sum a_{n}$ тоже расходится.

См. также

• Тесты сходимости
• Сходимость (математика)
• Теорема о доминируемой сходимости
• Интегральный тест на сходимость
• Сравнительный тест пределов
• Теорема о монотонной сходимости

Ссылки

• Эйрс, Фрэнк младший; Мендельсон, Эллиотт (1999). Очерк исчисления Шаума (4-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-041973-6 .
• Бак, Р. Крейтон (1965). Расширенное исчисление (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
• Кнопп, Конрад (1956). Бесконечные последовательности и ряды . Нью-Йорк: Dover Publications. § 3.1. ISBN  0-486-60153-6 .
• Мунем, Массачусетс; Фулис, диджей (1984). Исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.). Стоит издательства. ISBN  0-87901-236-6 .
• Сильверман, Херб (1975). Комплексные переменные . Компания Хоутон Миффлин. ISBN  0-395-18582-3 .
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1963). Курс современного анализа (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. § 2.34. ISBN  0-521-58807-3 .