Флюксия

Эта статья о математической концепции. Чтобы узнать о других значениях, см. Fluxion (значения) .

Введение Ньютоном понятий «беглый» и «флюксия» в его книге 1736 года.

Флюксия — это мгновенная скорость изменения или градиента текучей среды (изменяющейся во времени величины или функции ) в данной точке. Флюксии были введены Исааком Ньютоном для описания его формы производной по времени ( производной по времени). Ньютон представил эту концепцию в 1665 году и подробно описал ее в своем математическом трактате « Метод флюксий» . Флюксии и флюэнты составляли раннее исчисление Ньютона .

История

Флюксии были центральными в споре об исчислении Лейбница-Ньютона письмо , когда Ньютон отправил Готфриду Вильгельму Лейбницу , объясняющее их, но скрывая свои слова в коде из-за своих подозрений. Он написал:

Я не могу сейчас приступить к объяснению флюксий, я предпочел скрыть это так: 6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx.

На самом деле эта тарабарская строка представляла собой хеш-код (обозначающий частоту каждой буквы) латинской фразы Data æqvatione qvotcvnqve flventes qvantitates Engente, flvxiones invenire: et vice versa , что означает: «Дано уравнение, состоящее из любого количества текущих величин. , чтобы найти флюксии: и наоборот».

Пример

Если свободно $y$ определяется как $y=t^{2}$ (где $t$ время) флюксия (производная) при $t=2$ является:

${\dot {y}}={\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {(2+o)^{2}-2^{2}}{(2+o)-2}}={\frac {4+4o+o^{2}-4}{2+o-2}}={\frac {4o+o^{2}}{o}}$

Здесь $o$ это бесконечно малый промежуток времени. Итак, термин $o^{2}$ является бесконечным малым членом второго порядка, и, согласно Ньютону, теперь мы можем игнорировать $o^{2}$ из-за его бесконечной малости второго порядка по сравнению с бесконечной малостью первого порядка $o$. Итак, окончательное уравнение приобретает вид:

${\dot {y}}={\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {4o}{o}}=4$

Он обосновал использование $o$ как ненулевую величину, утверждая, что флюксии являются следствием движения объекта.

Критика

Епископ Джордж Беркли , выдающийся философ того времени, осудил флюксии Ньютона в своем эссе «Аналитик» , опубликованном в 1734 году. Беркли отказался поверить в их точность из-за использования бесконечно малых величин. $o$. Он не верил, что это можно игнорировать, и указал, что если бы оно было равно нулю, следствием было бы деление на ноль . Беркли называл их «призраками ушедших величин», и это утверждение нервировало математиков того времени и привело в конечном итоге к отказу от использования бесконечно малых в исчислении.

К концу жизни Ньютон пересмотрел свою интерпретацию. $o$ как бесконечно малый , предпочитая определять его как приближающийся к нулю , используя определение, аналогичное понятию предела . Он считал, что это вернуло флюксии на безопасную почву. К этому времени производная Лейбница (и его обозначения) в значительной степени заменили флюксии и флюэнты Ньютона и используются по сей день.

См. также

• История исчисления
• Обозначения Ньютона
• Гипердействительное число : современная формализация действительных чисел, включающая бесконечность и бесконечно малые числа.
• Нестандартный анализ