Таблица ньютоновских рядов

В математике ряд Ньютона , названный в честь Исаака Ньютона , представляет собой сумму последовательности . $a_{n}$ написано в форме

$f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-s)_{n}}{n!}}a_{n}$

где

${s \choose n}$

- биномиальный коэффициент и $(s)_{n}$ это падающий факториал . Ньютоновские ряды часто появляются в отношениях формы, наблюдаемой в теневом исчислении .

Список

Обобщенная биномиальная теорема дает

$(1+z)^{s}=\sum _{n=0}^{\infty }{s \choose n}z^{n}=1+{s \choose 1}z+{s \choose 2}z^{2}+\cdots .$

Доказательство этого тождества можно получить, показав, что оно удовлетворяет дифференциальному уравнению

$(1+z){\frac {d(1+z)^{s}}{dz}}=s(1+z)^{s}.$

Дигамма -функция :

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}{s \choose n}.$

Числа Стирлинга второго рода задаются конечной суммой

$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}.$

частным случаем k- й прямой разности монома x Эта формула является ^н оценивается при x = 0:

$\Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.$

Соответствующее тождество лежит в основе интеграла Нёрлунда – Райса :

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{n-k}}{s-k}}={\frac {n!}{s(s-1)(s-2)\cdots (s-n)}}={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (s-n)}{\Gamma (s+1)}}=B(n+1,s-n),s\notin \{0,\ldots ,n\}$

где $\Gamma (x)$ это гамма-функция и $B(x,y)$ это бета-функция .

Тригонометрические функции имеют теневые тождества:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n}=2^{s/2}\cos {\frac {\pi s}{4}}$

и

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n+1}=2^{s/2}\sin {\frac {\pi s}{4}}$

Скрытая природа этих тождеств становится немного более понятной, если записать их в терминах падающего факториала. $(s)_{n}$. Первые несколько членов ряда греха равны

$s-{\frac {(s)_{3}}{3!}}+{\frac {(s)_{5}}{5!}}-{\frac {(s)_{7}}{7!}}+\cdots$

который можно признать напоминающим ряд Тейлора для sin x , где ( s ) _n стоит на месте x ^н .

В аналитической теории чисел представляет интерес суммирование

$\!\sum _{k=0}B_{k}z^{k},$

где B — числа Бернулли . Используя производящую функцию, ее борелевскую сумму можно оценить как

$\sum _{k=0}B_{k}z^{k}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\frac {tz}{e^{tz}-1}}\,dt=\sum _{k=1}{\frac {z}{(kz+1)^{2}}}.$

Общее соотношение дает ряд Ньютона

$\sum _{k=0}{\frac {B_{k}(x)}{z^{k}}}{\frac {1-s \choose k}{s-1}}=z^{s-1}\zeta (s,x+z),$

где $\zeta$ - дзета -функция Гурвица и $B_{k}(x)$ полином Бернулли . Ряд не сходится, формально тождество выполнено.

Другая личность – это ${\frac {1}{\Gamma (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}}{\Gamma (a+j)}}{k \choose j},$который сходится для $x>a$. Это следует из общего вида ряда Ньютона для эквидистантных узлов (когда он существует, т. е. сходится)

$f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).$

См. также

• Биномиальное преобразование
• Список факториальных и биномиальных тем
• Интеграл Нёрлунда – Райса
• Теорема Карлсона

Ссылки

• Филипп Флажоле и Роберт Седжвик, « Преобразования Меллина и асимптотика: конечные разности и интегралы Райса». ", Теоретическая информатика 144 (1995), стр. 101–124.