Теорема Ньютона об овалах

В математике теорема Ньютона об овалах утверждает, что площадь, отрезанная секущей гладкого выпуклого овала , не является алгебраической функцией секущей.

Исаак Ньютон Ньютона сформулировал это как лемму 28 раздела VI первой книги «Начал» и использовал ее, чтобы показать, что положение планеты, движущейся по орбите, не является алгебраической функцией времени. Были некоторые разногласия по поводу того, верна ли эта теорема, потому что Ньютон не сформулировал точно, что он имел в виду под овалом, и для некоторых интерпретаций слова овал теорема правильна, а для других она неверна. Если «овал» означает просто непрерывную замкнутую выпуклую кривую , то существуют контрпримеры, такие как треугольники или одна из долей лемнискаты Гюйгенса . ² = х ² − х ⁴ , в то время как Арнольд (1989) указал, что если бесконечно дифференцируемая выпуклая кривая «овальная», то утверждение Ньютона правильно, и его аргумент требует существенных шагов строгого доказательства.

Васильев (2002) обобщил теорему Ньютона на более высокие измерения.

Заявление

Лемниската Героно или Гюйгенса; площадь, отрезанная секущей, является алгебраической, но лемниската не является гладкой в ​​начале координат

Английский перевод оригинального утверждения Ньютона ( Newton 1962 , лемма 28, раздел 6, книга I):

«Не существует овальной фигуры, площадь которой, отрезанная по желанию прямыми линиями, могла бы быть универсально найдена с помощью уравнений с любым количеством конечных членов и измерений».

Говоря современным математическим языком, Ньютон по существу доказал следующую теорему:

Не существует выпуклой гладкой (то есть бесконечно дифференцируемой) кривой такой, что площадь, отрезанная линией ax + by = c, является алгебраической функцией от a , b и c .

Другими словами, «овал» в высказывании Ньютона должен означать «выпуклую гладкую кривую». Необходима бесконечная дифференцируемость во всех точках: для любого натурального числа n существуют алгебраические кривые, гладкие во всех точках, кроме одной, и дифференцируемые n раз в оставшейся точке, для которых площадь, отрезанная секущей, является алгебраической.

Ньютон заметил, что аналогичный аргумент показывает, что длина дуги (гладкого выпуклого) овала между двумя точками не задается алгебраической функцией точек.

Доказательство Ньютона

Если овал представляет собой круг с центром в начале координат, то спираль, построенная Ньютоном, является архимедовой спиралью .

Ньютон взял начало P внутри овала и рассмотрел спираль точек ( r , θ ) в полярных координатах, расстояние r от P которых равно площади, отрезанной линиями от P с углами 0 и θ . Затем он заметил, что эта спираль не может быть алгебраической, поскольку она имеет бесконечное количество пересечений с прямой, проходящей через P , поэтому площадь, отрезанная секущей, не может быть алгебраической функцией секущей.

Это доказательство требует, чтобы овал и, следовательно, спираль были гладкими; в противном случае спираль могла бы представлять собой бесконечное объединение кусков разных алгебраических кривых. Именно это происходит в различных «контрпримерах» к теореме Ньютона для негладких овалов.

Ссылки

• Арнольд В.И. (1989), "Топологическое доказательство трансцендентности абелевых интегралов в "Началах Ньютона"", Историко-математические исследования (31): 7–17, ISSN   0136-0949 , MR   0993175
• Арнольд, VI ; Васильев, В.А. (1989), «Начала Ньютона, прочитанные 300 лет спустя», Уведомления Американского математического общества , 36 (9): 1148–1154, ISSN   0002-9920 , MR   1024727
• Ньютон, И. (1962), Флориан Каджори (редактор), Principia Vol. I «Движение тел» , перевод Эндрю Мотта, Беркли: Калифорнийский университет Press, ISBN  978-0-520-00928-8 Ньютона Альтернативный перевод более раннего (2-го) издания «Начал» .
• Пешич, Питер (2001), «Справедливость леммы Ньютона 28», Historia Mathematica , 28 (3): 215–219, doi : 10.1006/hmat.2001.2321 , ISSN   0315-0860 , MR   18497999
• Пурсио, Брюс (2001), «Интегрируемость овалов: лемма Ньютона 28 и ее контрпримеры», Архив истории точных наук , 55 (5): 479–499, doi : 10.1007/s004070000034 , ISSN   0003-9519 , MR   1827869 , S2CID   119853564
• Васильев В.А. (2002), Прикладная теория Пикара-Лефшеца , Математические обзоры и монографии, т. 1, с. 97, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/surv/097 , ISBN.  978-0-8218-2948-6 , МР   1930577