Ньютоновская динамика

Более доступное и менее техническое введение в эту тему см. в разделе Классическая механика .

В физике ньютоновская динамика (также известная как ньютоновская механика ) — это исследование динамики частицы или небольшого тела в соответствии с законами движения Ньютона .

Математические обобщения

Обычно ньютоновская динамика возникает в трехмерном евклидовом пространстве , которое является плоским. Однако в математике законы движения Ньютона можно обобщить на многомерные и искривленные пространства. Часто термин «ньютоновская динамика» сужается до второго закона Ньютона. $\displaystyle m\,\mathbf {a} =\mathbf {F}$.

Второй закон Ньютона в многомерном пространстве

Учитывать $\displaystyle N$ частицы с массой $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$в регулярном трехмерном евклидовом пространстве . Позволять $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$— их радиус-векторы в некоторой инерциальной системе координат. Тогда движение этих частиц подчиняется второму закону Ньютона, примененному к каждой из них.

${\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}=\mathbf {v} _{i},\qquad {\frac {d\mathbf {v} _{i}}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{N},t)}{m_{i}}},\quad i=1,\ldots ,N.$ ( 1 )

Трехмерные радиус-векторы $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ может быть встроен в один $\displaystyle n=3N$-мерный радиус-вектор. Аналогично, трехмерные векторы скорости $\displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}$ может быть встроен в один $\displaystyle n=3N$-мерный вектор скорости:

$\mathbf {r} ={\begin{Vmatrix}\mathbf {r} _{1}\\\vdots \\\mathbf {r} _{N}\end{Vmatrix}},\qquad \qquad \mathbf {v} ={\begin{Vmatrix}\mathbf {v} _{1}\\\vdots \\\mathbf {v} _{N}\end{Vmatrix}}.$ ( 2 )

В терминах многомерных векторов ( 2 ) уравнения ( 1 ) записываются как

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} ,\qquad {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t),$ ( 3 )

т.е. они принимают форму второго закона Ньютона, примененного к одной частице с единичной массой $\displaystyle m=1$.

Определение . Уравнения ( 3 ) называются уравнения ньютоновской динамической системы в плоском многомерном евклидовом пространстве , которое называется конфигурационным пространством этой системы. Его точки отмечены радиусом-вектором $\displaystyle \mathbf {r}$. Пространство, точки которого отмечены парой векторов $\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ называется фазовым пространством динамической системы ( 3 ).

Евклидова структура

Конфигурационное пространство и фазовое пространство динамической системы ( 3 ) являются евклидовыми пространствами, т.е. они наделены евклидовой структурой. Евклидова структура их определяется так, что кинетическая энергия одиночной многомерной частицы с единичной массой $\displaystyle m=1$ равна сумме кинетических энергий трехмерных частиц с массами $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$:

$T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}$. ( 4 )

Ограничения и внутренние координаты

В некоторых случаях движение частиц с массами $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$можно ограничить. Типичные ограничения выглядят как скалярные уравнения вида

$\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K$. ( 5 )

Ограничения вида ( 5 ) называются голономными и склерономными . В терминах радиус-вектора $\displaystyle \mathbf {r}$ ньютоновской динамической системы ( 3 ) они записываются как

$\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} )=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K$. ( 6 )

Каждое такое ограничение уменьшает на единицу количество степеней свободы ньютоновской динамической системы ( 3 ). Следовательно, система с ограничениями имеет $\displaystyle n=3\,N-K$ степени свободы.

Определение . Уравнения ограничений ( 6 ) определяют $\displaystyle n$-мерное многообразие $\displaystyle M$в конфигурационном пространстве ньютоновской динамической системы ( 3 ). Это многообразие $\displaystyle M$называется конфигурационным пространством системы со связями. Его касательное расслоение $\displaystyle TM$ называется фазовым пространством системы со связями.

Позволять $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ быть внутренними координатами точки $\displaystyle M$. Их использование типично для лагранжевой механики . Радиус-вектор $\displaystyle \mathbf {r}$ выражается как некоторая определенная функция $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$:

$\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q^{1},\,\ldots ,\,q^{n})$. ( 7 )

Вектор-функция ( 7 ) разрешает уравнения связей ( 6 ) в том смысле, что при подстановке ( 7 ) в ( 6 ) уравнения ( 6 ) выполняются тождественно в $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$.

вектора

Вектор скорости связанной ньютоновской динамической системы выражается через частные производные вектор-функции ( 7 ):

$\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}$. ( 8 )

Количества $\displaystyle {\dot {q}}^{1},\,\ldots ,\,{\dot {q}}^{n}$называются внутренними компонентами вектора скорости. Иногда их обозначают отдельным символом.

$\displaystyle {\dot {q}}^{i}=w^{i},\qquad i=1,\,\ldots ,\,n$ ( 9 )

и затем рассматриваться как независимые переменные. Количества

$\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n},\,w^{1},\,\ldots ,\,w^{n}$ ( 10 )

используются как внутренние координаты точки фазового пространства $\displaystyle TM$ связанной ньютоновской динамической системы.

и индуцированная

Геометрически вектор-функция ( 7 ) реализует вложение конфигурационного пространства $\displaystyle M$ связанной ньютоновской динамической системы в $\displaystyle 3\,N$-мерное плоское конфигурационное пространство неограниченного Ньютоновская динамическая система ( 3 ). Благодаря такому вложению евклидова структура объемлющего пространства индуцирует риманову метрику на многообразие $\displaystyle M$. Компоненты метрического тензора этой индуцированной метрики задаются формулой

$\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)$, ( 11 )

где $\displaystyle (\ ,\ )$ — скалярное произведение, связанное с евклидовой структурой ( 4 ).

ньютоновской динамической системы

Поскольку евклидова структура неограниченной системы $\displaystyle N$ частицы вводятся через их кинетическую энергию, индуцированную риманову структуру в конфигурационном пространстве $\displaystyle N$ связанной системы сохраняет эту связь с кинетической энергией:

$T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}$. ( 12 )

Формула ( 12 ) получена подстановкой ( 8 ) в ( 4 ) и учетом ( 11 ).

Сдерживающие силы

Для ньютоновской динамической системы с ограничениями ограничения, описываемые уравнениями ( 6 ), обычно реализуются с помощью некоторой механической структуры. Эта структура создает некоторые вспомогательные силы, включая силу, которая удерживает систему в пределах ее многообразия конфигурации. $\displaystyle M$. Такая поддерживающая сила перпендикулярна $\displaystyle M$. Это называется нормальной силой . Сила $\displaystyle \mathbf {F}$ из ( 6 ) разбивается на две составляющие

$\mathbf {F} =\mathbf {F} _{\parallel }+\mathbf {F} _{\perp }$. ( 13 )

Первая компонента в ( 13 ) касается конфигурационного многообразия $\displaystyle M$. Вторая компонента перпендикулярна $\displaystyle M$. В совпадает с нормальной силой $\displaystyle \mathbf {N}$.
Как и вектор скорости ( 8 ), касательная сила $\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }$ имеет свое внутреннее представление

$\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}$. ( 14 )

Количества $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ в ( 14 ) называются внутренними компонентами вектора силы.

Второй закон Ньютона в искривленном пространстве

Ньютоновская динамическая система ( 3 ), ограниченная конфигурационным многообразием $\displaystyle M$ уравнениями связи ( 6 ) описывается дифференциальными уравнениями

${\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {dw^{s}}{dt}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\Gamma _{ij}^{s}\,w^{i}\,w^{j}=F^{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n$, ( 15 )

где $\Gamma _{ij}^{s}$ являются символами Кристоффеля метрической связности , порождаемой римановой метрикой ( 11 ).

Связь

Механические системы со связями обычно описываются уравнениями Лагранжа :

${\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n$, ( 16 )

где $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$— кинетическая энергия связанной динамической системы, определяемая формулой ( 12 ). Количества $Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}$в ( 16 ) — внутренние ковариантные компоненты вектора касательной силы $\mathbf {F} _{\parallel }$(см. ( 13 ) и ( 14 )). Они производятся из внутренних контравариантных компонентов. $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ вектора $\mathbf {F} _{\parallel }$ посредством стандартной процедуры понижения индекса с использованием метрики ( 11 ):

$Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n$, ( 17 )

Уравнения ( 16 ) эквивалентны уравнениям ( 15 ). Однако метрика ( 11 ) и другие геометрические особенности конфигурационного многообразия $\displaystyle M$не являются явными в ( 16 ). Метрику ( 11 ) можно восстановить по кинетической энергии $\displaystyle T$ с помощью формулы

$g_{ij}={\frac {\partial ^{2}T}{\partial w^{i}\,\partial w^{j}}}$. ( 18 )

См. также

• Модифицированная ньютоновская динамика