Уравнения Ньютона–Эйлера

В классической механике уравнения Ньютона -Эйлера описывают комбинированную поступательную и вращательную динамику твердого тела .

Традиционно уравнения Ньютона-Эйлера представляют собой группировку двух законов движения Эйлера для твердого тела в одно уравнение с 6 компонентами с использованием векторов-столбцов и матриц . Эти законы связывают движение центра тяжести твердого тела с суммой сил и моментов (или, синонимично, моментов ), действующих на твердое тело.

Центр масс кадра

Что касается системы координат тела , начало которой совпадает с центром масс для τ ( крутящий момент ) и инерциальной системой отсчета для F ( сила ), они могут быть выражены в матричной форме как:

$\left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&0\\0&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {cm}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),$

где

F = общая сила, действующая на центр масс

м = масса тела

I ₃ 3×3. = единичная матрица

а _см = ускорение центра масс

v _см = скорость центра масс

τ = общий крутящий момент, действующий вокруг центра масс

I _см = момент инерции относительно центра масс

ω = угловая скорость тела

α = угловое ускорение тела

Любая система отсчета

Относительно системы координат , расположенной в точке Р , неподвижной в теле и не совпадающей с центром масс, уравнения принимают более сложный вид:

$\left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),$

где c — вектор от P до центра масс тела, выраженный в неподвижной системе отсчёта тела , и

$[\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)$

обозначаем кососимметричные матрицы векторного произведения .

Левая часть уравнения, которая включает в себя сумму внешних сил и сумму внешних моментов относительно P, описывает пространственный рычаг , см. теорию винтов .

Инерционные члены содержатся в инерции пространственной матрице

$\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),$

тогда как фиктивные силы содержатся в термине:

$\left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).$

Когда центр масс не совпадает с системой координат (то есть, когда c не равно нулю), поступательное и угловое ускорения ( a и α ) связаны, так что каждое из них связано с компонентами силы и крутящего момента.

Приложения

Уравнения Ньютона-Эйлера используются как основа для более сложных «многотельных» формулировок ( теория винтов ), описывающих динамику систем твердых тел, связанных суставами и другими ограничениями. Проблемы с несколькими телами могут быть решается с помощью различных численных алгоритмов.

См. также

• Законы движения Эйлера твердого тела.
• углы Эйлера
• Обратная динамика
• Центробежная сила
• Главные оси
• Пространственное ускорение
• Винтовая теория движения твердого тела.