Вращение вокруг фиксированной оси

Сфера вращается вокруг одного из его диаметров

Вращение вокруг неподвижной оси или осевого вращения является особым случаем вращательного движения вокруг оси вращения , фиксированного, стационарного или статического в трехмерном пространстве . Этот тип движения исключает возможность мгновенной оси вращения изменять его ориентацию и не может описать такие явления, как колебание или прецессия . Согласно теореме вращения Эйлера , одновременное вращение по ряду стационарных оси одновременно невозможно; Если два вращения будут вынуждены одновременно, приведет к новой оси вращения.

Эта концепция предполагает, что вращение также стабильное, так что крутящий момент для его продолжения не требуется . Кинематика свободного и динамика вращения вокруг фиксированной оси твердого тела математически намного проще, чем для вращения твердого тела ; Они полностью аналогичны линейному движению вдоль одного фиксированного направления, что не относится к свободному вращению твердого тела . Выражения для кинетической энергии объекта и для сил на частях объекта также проще для вращения вокруг фиксированной оси, чем для общего вращательного движения. По этим причинам вращение вокруг фиксированной оси обычно преподается на вводных курсах физики после того, как студенты освоили линейное движение ; Полная общность вращательного движения обычно не преподается во вводных классах физики.

Перевод и вращение

Тест -корпус является объектом конечной степени, в которой все расстояния между частицами компонентов постоянны. Не существует действительно жесткого тела; Внешние силы могут деформировать любое твердое вещество. Таким образом, для наших целей твердое тело - это твердое тело, которое требует, чтобы большие силы для устранения его заметно.

Изменение в положении частицы в трехмерном пространстве может быть полностью указано тремя координатами. Изменение в положении твердого тела сложнее описать. Его можно рассматривать как комбинацию двух различных типов движения: трансляционное движение и круговое движение.

Чисто трансляционное движение происходит, когда каждая частица тела имеет одинаковую мгновенную скорость, что и любая другая частица; Затем путь, прослеженная любой частицей, точно параллелен пути, прослеженной любой другой частицей в организме. При трансляционном движении изменение в положении твердого тела полностью определяется тремя координатами, такими как x , y и z, давая смещение любой точки, такой как центр масс, прикрепленный к твердому телу.

Чисто вращательное движение происходит, если каждая частица в теле движется по кругу вокруг одной линии. Эта линия называется осью вращения. радиуса Затем векторы от оси ко всем частицам подвергаются одному угловому смещению одновременно. Ось вращения не должна проходить через тело. В целом, любое вращение может быть полностью указано тремя угловыми смещениями относительно прямоугольных координатных оси x , y и z . Любое изменение в положении твердого тела, таким образом, полностью описано тремя трансляционными и тремя координатами вращения.

Любое смещение твердого тела может быть достигнуто путем сначала подвергнув телу к смещению, за которым следует вращение или, наоборот, к вращению с последующим смещением. Мы уже знаем, что для любого сбора частиц - будь то в состоянии покоя друг к другу, как в жестком теле или в относительном движении, таких как взрывающиеся фрагменты оболочки, ускорение центра масс определяется $F_{\mathrm {net} }=Ma_{\mathrm {cm} }$ где m - общая масса системы, а CM _- ускорение центра масс. Остается вопрос описания вращения тела о центре масс и связывания его с внешними силами, действующими на тело. Кинематика и динамика вращательного движения вокруг одной оси напоминают кинематику и динамику трансляционного движения; Вращательное движение вокруг одной оси даже имеет теорему рабочей энергии, аналогичную динамике частиц.

Кинематика

Угловое смещение

Учитывая частицу, которая движется вдоль окружности круга радиуса $r$ , переместив длину дуги $s$ , его угловое положение $\theta$ относительно его начальной позиции, где $\theta ={\frac {s}{r}}$ .

В математике и физике обычно обрабатывать радиан , единицу плоского угла, как 1, часто его пропускает. Единицы конвертируются следующим образом: $360^{\circ }=2\pi {\text{ rad}}\,,\quad 1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.27^{\circ }.$

Угловое смещение - это изменение углового положения: $\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},$ где $\Delta \theta$ это угловое смещение, $\theta _{1}$ является начальным угловым положением и $\theta _{2}$ это последнее угловое положение.

Угловая скорость

Изменение углового смещения на единицу времени называется угловой скоростью с направлением вдоль оси вращения. Символ угловой скорости $\omega$ и единицы обычно радуются ⁻¹Полем Угловая скорость - это величина угловой скорости. ${\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.$

Мгновенная угловая скорость определяется $\omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.$

Использование формулы для углового положения и предоставления $v={\frac {ds}{dt}}$ , у нас также $\omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v}{r}},$ где $v$ это трансляционная скорость частицы.

Угловая скорость и частота связаны $\omega ={2\pi f}\,.$

Угловое ускорение

Изменяющаяся угловая скорость указывает на присутствие углового ускорения в твердого теле, обычно измеряемое в RAD S ⁻²Полем Среднее угловое ускорение ${\overline {\alpha }}$ в течение некоторого времени Δ t дается ${\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.$

Мгновенное ускорение α ( t ) дается $\alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.$

Таким образом, угловое ускорение - это скорость изменения угловой скорости, так же, как ускорение является скоростью изменения скорости.

Трансляционное ускорение точки на вращение объекта определяется $a=r\alpha ,$ где r - радиус или расстояние от оси вращения. Это также тангенциальный компонент ускорения: он касается направления движения точки. Если этот компонент равен 0, движение является равномерным круговым движением , а скорость изменяется только в направлении.

Радиальное ускорение (перпендикулярно направлению движения) определяется $a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\,.$ Он направлен на центр вращательного движения и часто называется центростременным ускорением .

Угловое ускорение вызвано крутящим моментом , который может иметь положительное или отрицательное значение в соответствии с соглашением положительной и отрицательной угловой частоты. Взаимосвязь между крутящим моментом и угловым ускорением (насколько сложно начинать, остановить или иным образом изменять вращение) дается к моменту инерции : $T=I\alpha$ .

Уравнения кинематики

Когда угловое ускорение является постоянным, пять величин углового смещения $\theta$ , начальная угловая скорость $\omega _{1}$ , конечная угловая скорость $\omega _{2}$ , угловое ускорение $\alpha$ и время $t$ может быть связано с четырьмя уравнениями кинематики :

${\begin{aligned}\omega _{2}&=\omega _{1}+\alpha t\\\theta &=\omega _{1}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\omega _{2}^{2}&=\omega _{1}^{2}+2\alpha \theta \\\theta &={\tfrac {1}{2}}\left(\omega _{2}+\omega _{1}\right)t\end{aligned}}$

Динамика

Момент инерции

Момент инерции объекта, символизируемый $I$ является мерой сопротивления объекта к изменениям его вращения. Момент инерции измеряется в килограмме METRE² (кг М. ²) Это зависит от массы объекта: увеличение массы объекта увеличивает момент инерции. Это также зависит от распределения массы: распределение массы дальше от центра вращения увеличивает момент инерции в большей степени. Для одной частицы массы $m$ расстояние $r$ Из оси вращения момент инерции дается $I=mr^{2}.$

Крутящий момент

Крутящий момент ${\boldsymbol {\tau }}$ является скручивающим эффектом силы F, приложенной к вращающемуся объекту, который находится в положении R от его оси вращения. Математически, ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,$ где × обозначает кросс -продукт . Чистый крутящий момент, действующий на объект, приведет к угловому ускорению объекта в соответствии с ${\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},$ Так же, как F = M A в линейной динамике.

Работа, выполняемая крутящим моментом, действующим на объект, равна величине времени крутящего момента под углом, через который применяется крутящий момент: $W=\tau \theta .$

Сила крутящего момента равен работой, выполняемой крутящим моментом за единицу времени, следовательно: $P=\tau \omega .$

Угловой импульс

Угловой импульс $\mathbf {L}$ является мерой сложности привлечения вращающегося объекта для отдыха. Это дано $\mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p} ,$ где сумма захвачена все частицы в объекте.

Угловой импульс является продуктом момента инерции и угловой скорости: $\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},$ Так же, как p = m V в линейной динамике.

Аналогом линейного импульса в вращательном движении является угловой импульс. Чем больше угловой импульс вращающегося объекта, такого как верх, тем больше его тенденция продолжать вращаться.

Угловой импульс вращающегося тела пропорциональна его массе и тому, насколько быстро он поворачивается. Кроме того, угловой импульс зависит от того, как масса распределяется по сравнению с осью вращения: чем дальше масса расположена от оси вращения, тем больше угловой импульс. Плоский диск, такой как рекордный поворотный столик, имеет меньший угловой импульс, чем полой цилиндр той же массы и скорости вращения.

Как и линейный импульс, угловой импульс - это векторная величина, и его сохранение подразумевает, что направление оси спина, как правило, остается неизменным. По этой причине вращающаяся вершина остается вертикальной, тогда как стационарный человек сразу же падает.

Уравнение углового импульса может быть использовано для связи с моментом результирующей силы на корпусе вокруг оси (иногда называемой крутящим моментом) и скорости вращения вокруг этой оси.

Крутящий момент и угловой импульс связаны в соответствии с ${\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}},$ Так же, как F = D P / DT в линейной динамике. В отсутствие внешнего крутящего момента угловой импульс тела остается постоянным. Сохранение углового импульса заметно продемонстрировано в фигурном катании : при притяжении рук ближе к телу во время вращения момент инерции уменьшается, и поэтому угловая скорость увеличивается.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия $K_{\text{rot}}$ Из -за вращения тела дается

$K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},$ как $K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ в линейной динамике.

Кинетическая энергия - это энергия движения. Количество трансляционной кинетической энергии, обнаруженной в двух переменных: масса объекта ( $m$ ) и скорость объекта ( $v$ ), как показано в уравнении выше. Кинетическая энергия всегда должна быть нулевой или положительным значением. В то время как скорость может иметь либо положительное, либо отрицательное значение, скорость квадрат всегда будет положительной. ^{[ 1 ]}

Векторное выражение

Вышеуказанное развитие является особым случаем общего вращательного движения. В общем случае угловое смещение, угловая скорость, угловое ускорение и крутящий момент считаются векторами .

Угловое смещение считается вектором, указывающим вдоль оси, на величину, равную уровню $\Delta \theta$ Полем Правило правого рук используется для обнаружения, какую сторону он указывает вдоль оси; Если пальцы правой руки свергаются, чтобы указывать на то, как объект вращался, то большой палец правой руки указывает в направлении вектора.

Вектор угловой скорости также указывает вдоль оси вращения так же, как и угловые смещения, которые он вызывает. Если диск вращает против часовой стрелки, как видно из сверху, его вектор угловой скорости указывает вверх. Точно так же вектор углового ускорения указывает вдоль оси вращения в том же направлении, что и угловая скорость указывает, если бы угловое ускорение поддерживалось в течение длительного времени.

Вектор крутящего момента указывает вдоль оси, вокруг которой крутящий момент имеет тенденцию вызывать вращение. Чтобы поддерживать вращение вокруг фиксированной оси, вектор общего крутящего момента должен быть вдоль оси, так что он только изменяет величину, а не направление вектора угловой скорости. В случае шарнира только компонент вектора крутящего момента вдоль оси влияет на вращение, другие силы и крутящие моменты компенсируются структурой.

Математическое представление

В математике параметрирует представление о оси вращение в трехмерном эвклидовом пространстве на две величины: единичный вектор $E,$ указывающий направление оси вращения и и угол вращения $угол вращения θ,$ описывающий величину и смысл (например, по часовой стрелке и по часовой стрелке θ (например ) вращения вокруг оси. Только два числа, а не три, необходимы для определения направления единичного вектора $E,$ коренного в начале координат, поскольку величина $E$ ограничена. Например, возвышение и азимут углы $E$ достаточно, чтобы найти его в какой -либо конкретной карте декартовой координат.

По формуле вращения Родригес , угол и ось определяют преобразование, которое вращает трехмерные векторы. Вращение происходит в смысле, предписанном правым правилом .

Ось вращения иногда называют осью Эйлера. Репрезентация оси-угла основана на теореме вращения Эйлера , которая диктует, что любое вращение или последовательность вращения твердого тела в трехмерном пространстве эквивалентно чистому вращению около непосредственной фиксированной оси.

Это один из многих формализма вращения в трех измерениях .

Примеры и приложения

Постоянная угловая скорость

Самый простой случай вращения вокруг фиксированной оси - это постоянная угловая скорость. Тогда общий крутящий момент равен нулю. Для примера земли, вращающейся вокруг его оси, очень мало трения. Для вентилятора мотор применяет крутящий момент, чтобы компенсировать трение. Подобно вентилятору, оборудование, обнаруженное в производственной промышленности массового производства, демонстрирует эффективное вращение вокруг фиксированной оси. Например, для повернуть материал на его оси используется мультиспиндельный токарный станок, чтобы эффективно повысить производительность операций резания, деформации и поворота. ^{[ 2 ]} Угол вращения является линейной функцией времени, которая модуль 360 ° является периодической функцией.

Примером этого является проблема с двумя телами с круглыми орбитами .

Центростремительная сила

Внутреннее растягивающее напряжение обеспечивает центростремительную силу , которая держит вращающийся объект вместе. Горечная модель тела пренебрегает сопровождающим напряжением . Если тело не жестко, этот штамм приведет к изменению формы. Это выражается в виде формы, изменяющей объект из -за « центробежной силы ».

Небесные тела, вращающиеся друг вокруг друга, часто имеют эллиптические орбиты . Особый случай круговых орбит является примером вращения вокруг неподвижной оси: эта ось является линией через центр массы, перпендикулярной плоскости движения. Центрепетная сила обеспечивается гравитацией , см. Также проблему с двумя телами . Обычно это также относится к вращающемуся небесному телу, поэтому не должно быть твердым, чтобы держать вместе, если только угловая скорость не слишком высока по отношению к его плотности. (Однако, как правило, станет склонным .) Например, вращающееся небесное тело воды должно занять не менее 3 часов 18 минут, независимо от размера, иначе вода будет отделена ^{[ Цитация необходима ]}Полем Если плотность жидкости выше, время может быть меньше. См. Орбитальный период . ^{[ 3 ]}

Плоскость вращения

В геометрии плоскость вращения является абстрактным объектом, используемым для описания или визуализации вращений в пространстве.

Основное использование плоскостей вращения заключается в описании более сложных вращений в четырехмерном пространстве и более высоких размерах , где их можно использовать для разбивания вращений на более простые детали. Это можно сделать с помощью геометрической алгебры , с плоскостями вращений, связанных с простыми бивкторами в алгебре. ^{[ 4 ]}

Плоки вращения мало используются в двух и трех измерениях , так как в двух измерениях есть только одна плоскость (поэтому, определение плоскости вращения тривиальна и редко выполняется), в то время как в трех измерениях ось вращения служит той же цели и это более устоявший подход.

Математически такие плоскости могут быть описаны несколькими способами. Они могут быть описаны с точки зрения самолетов и углов вращения . Они могут быть связаны с бивекторами из геометрической алгебры . Они связаны с собственными значениями и собственными векторами матрицы вращения . И, в частности , они связаны с другими алгебраическими и геометрическими свойствами, которые затем могут быть обобщены до других измерений.

Смотрите также

Ссылки

^ «Что такое кинетическая энергия» . Ханская академия . Получено 2017-08-02 .
^ «Multi Spindle Machines - подробный обзор» . Davenport Machine . Получено 2017-08-02 .
^ Mobberley, Martin (2009-03-01). Катаклизма космические события и как их наблюдать . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387799469 .
^ Lounesto (2001) с. 222–223

Основы физики продлили 7 -е издание от Хэллидея , Ревика и Уокера . ISBN 0-471-23231-9
Концепции физики Том 1, HC Verma , 1 -е издание, ISBN 81-7709-187-5

[1] «Что такое кинетическая энергия» . Ханская академия . Получено 2017-08-02 .

[2] «Multi Spindle Machines - подробный обзор» . Davenport Machine . Получено 2017-08-02 .

[3] Mobberley, Martin (2009-03-01). Катаклизма космические события и как их наблюдать . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387799469 .

[Plane_of_rotation_LounestoCh17-4] Lounesto (2001) с. 222–223

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]