Вращающаяся система отсчета

Вращающаяся система отсчета — это частный случай неинерциальной системы отсчета , которая вращается относительно инерциальной системы отсчета . Повседневным примером вращающейся системы отсчета является поверхность Земли . (В этой статье рассматриваются только системы координат, вращающиеся вокруг фиксированной оси. Более общие сведения о вращениях см. в разделе «Углы Эйлера» .)

В инерциальной системе отсчета (верхняя часть изображения) черный шар движется прямолинейно. Однако наблюдатель (красная точка), который стоит во вращающейся/неинерциальной системе отсчета (нижняя часть изображения), видит, что объект следует по искривленной траектории из-за сил Кориолиса и центробежных сил, присутствующих в этом кадре.

Фиктивные силы [ править ]

Во всех неинерциальных системах отсчета действуют фиктивные силы ; вращающиеся системы отсчета характеризуются тремя: ^[1]

центробежная сила ,
Кориолиса сила ,

а для неравномерно вращающихся систем отсчета

Эйлера сила .

Ученые во вращающейся коробке могут измерить скорость вращения и ось вращения, измеряя эти фиктивные силы. Например, Леон Фуко смог показать силу Кориолиса, возникающую в результате вращения Земли, с помощью маятника Фуко . Если бы Земля вращалась во много раз быстрее, люди могли бы ощутить эти фиктивные силы, как будто они едут на вращающейся карусели .

Центробежная сила [ править ]

В классической механике с центробежная сила — это внешняя сила, связанная вращением . Центробежная сила — одна из нескольких так называемых псевдосил (также известных как силы инерции ), названных так потому, что, в отличие от реальных сил , они не возникают во взаимодействиях с другими телами, расположенными в среде частицы, на которую они действуют. Вместо этого центробежная сила возникает в результате вращения системы отсчета, в которой проводятся наблюдения. ^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]

Сила Кориолиса [ править ]

Математическое выражение силы Кориолиса появилось в статье французского учёного Гаспара-Гюстава Кориолиса 1835 года в связи с гидродинамикой , а также в приливных уравнениях Пьера -Симона Лапласа в 1778 году. В начале 20 века появился термин сила Кориолиса. для использования в связи с метеорологией .

Пожалуй, наиболее часто встречающейся вращающейся системой отсчета является Земля . Движущиеся объекты на поверхности Земли испытывают действие силы Кориолиса и отклоняются вправо в северном полушарии и влево в южном . Движение воздуха в атмосфере и воды в океане являются яркими примерами такого поведения: вместо того, чтобы течь напрямую из областей высокого давления в области низкого давления, как это было бы на невращающейся планете, ветры и течения имеют тенденцию течь вправо. в этом направлении к северу от экватора и левее этого направления к югу от экватора. Этот эффект отвечает за вращение крупных циклонов (см. Эффекты Кориолиса в метеорологии ).

Сила Эйлера [ править ]

В классической механике ( ускорение Эйлера названное в честь Леонарда Эйлера ), также известное как азимутальное ускорение. ^[8] или поперечное ускорение ^[9]- это ускорение , которое появляется, когда для анализа движения используется неравномерно вращающаяся система отсчета и происходит изменение угловой скорости оси системы отсчета . Эта статья ограничена системой отсчета, которая вращается вокруг фиксированной оси.

— Сила Эйлера это фиктивная сила, действующая на тело, которая связана с ускорением Эйлера соотношением F = m a , где a — ускорение Эйлера, а m — масса тела. ^[10]^[11]

Связь вращающихся фреймов со стационарными фреймами [ править ]

Ниже приводится вывод формул для ускорений, а также фиктивных сил во вращающейся системе отсчета. Оно начинается с связи между координатами частицы во вращающейся системе отсчета и ее координатами в инерциальной (неподвижной) системе отсчета. Затем, взяв производные по времени, выводятся формулы, связывающие скорость частицы, как видно на двух кадрах, и ускорение относительно каждого кадра. Используя эти ускорения, фиктивные силы идентифицируются путем сравнения второго закона Ньютона, сформулированного в двух разных системах координат.

Связь между позициями в двух кадрах [ править ]

Чтобы получить эти фиктивные силы, полезно иметь возможность конвертировать координаты $\left(x',y',z'\right)$ вращающейся системы отсчета и координат $(x,y,z)$ инерциальной системы отсчета того же начала. ^{[примечание 1]} Если вращение происходит примерно $z$ ось с постоянной угловой скоростью $\Omega$ (так $z'=z$ и ${\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\equiv \Omega ,$ что подразумевает $\theta (t)=\Omega t+\theta _{0}$ для некоторой константы $\theta _{0}$ где $\theta (t)$ обозначает угол в $x-y$ -плоскость, сформированная во времени $t$ к $\left(x',y'\right)$ и $x$ -ось), и если две системы отсчета совпадают во времени $t=0$ (значение $\left(x',y',z'\right)=(x,y,z)$ когда $t=0,$ так что возьми $\theta _{0}=0$ или какое-либо другое целое число, кратное $2\pi$ ), преобразование вращающихся координат в инерциальные координаты можно записать

x=x'\cos(\theta (t))-y'\sin(\theta (t))

y=x'\sin(\theta (t))+y'\cos(\theta (t))

тогда как обратное преобразование

x'=x\cos(-\theta (t))-y\sin(-\theta (t))

y'=x\sin(-\theta (t))+y\cos(-\theta (t))\ .

Этот результат можно получить из матрицы вращения .

Введем единичные векторы ${\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}$ представление стандартных единичных базисных векторов во вращающейся системе отсчета. Далее находятся производные по времени этих единичных векторов. Предположим, что кадры выровнены по $t=0$ и $z$ -ось — ось вращения. Тогда для вращения против часовой стрелки на угол $\Omega t$ :

{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))

где

(x,y)

компоненты выражаются в стационарной системе отсчета. Так же,

{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .

Таким образом, производная по времени этих векторов, которые вращаются без изменения величины, равна

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\ ;

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,

где

\Omega \equiv {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\theta (t).

Этот результат аналогичен результату, полученному с использованием векторного векторного произведения с вектором вращения.

{\boldsymbol {\Omega }}

направлен вдоль оси вращения z

{\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega ),

а именно,

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,

где

{\hat {\boldsymbol {u}}}

либо

{\hat {\boldsymbol {\imath }}}

или

{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}.

Производные по времени в двух кадрах [ править ]

Введем единичные векторы ${\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}$ , теперь представляющие стандартные единичные базисные векторы в общей вращающейся системе отсчета. При вращении они останутся нормализованными и перпендикулярными друг другу. Если они вращаются со скоростью $\Omega (t)$ вокруг оси по вектору вращения ${\boldsymbol {\Omega }}(t)$ тогда каждый единичный вектор ${\hat {\boldsymbol {u}}}$ вращающейся системы координат (например, ${\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},$ или ${\hat {\boldsymbol {k}}}$ ) подчиняется следующему уравнению:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\hat {u}}}\ .

Так что если

R(t)

обозначает преобразование, при котором базисные векторы инерциальной системы отсчета во вращающуюся, со столбцами матрицы, равными базисным векторам вращающейся системы отсчета, тогда векторное произведение, умноженное на вектор вращения, определяется выражением

{\boldsymbol {\Omega }}\times =R'(t)\cdot R(t)^{T}

.

Если ${\boldsymbol {f}}$ — векторная функция, которая записывается как ^{[заметка 2]}

{\boldsymbol {f}}(t)=f_{1}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,

и тогда мы хотим изучить его первую производную (используя произведения ): правило дифференциации ^[12]^[13]

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{1}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{2}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {k}}}}{\mathrm {d} t}}f_{3}\\&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+\left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \left(f_{1}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}{\hat {\boldsymbol {k}}}\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {f}}\end{aligned}}

где

\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }

обозначает скорость изменения

{\boldsymbol {f}}

как это наблюдается во вращающейся системе координат. Вкратце дифференциация выражается так:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .

Этот результат также известен как теорема переноса в аналитической динамике, а также иногда его называют основным кинематическим уравнением . ^[14]

Связь между скоростями в двух кадрах [ править ]

Скорость объекта является производной по времени от положения объекта, поэтому

\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\ .

Производная по времени от позиции ${\boldsymbol {r}}(t)$ во вращающейся системе отсчета имеет два компонента: один из явной зависимости от времени из-за движения самого объекта во вращающейся системе отсчета, а другой из-за собственного вращения системы отсчета. Применение результата предыдущего подраздела к смещению ${\boldsymbol {r}}(t),$ скорости в двух системах отсчета связаны уравнением

\mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {r}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,

где индекс $\mathrm {i}$ означает инерциальную систему отсчета, и $\mathrm {r}$ означает вращающуюся систему отсчета.

Связь между ускорениями в двух кадрах [ править ]

Ускорение — это вторая производная по времени от положения или первая производная по времени от скорости.

\mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,

где индекс $\mathrm {i}$ означает инерциальную систему отсчета, $\mathrm {r}$ вращающаяся система отсчета, и где выражение, опять же, ${\boldsymbol {\Omega }}\times$ в выражении в квадратных скобках слева следует интерпретировать как оператор, работающий с выражением в квадратных скобках справа.

Как ${\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {0}}$ , первые производные по времени от ${\boldsymbol {\Omega }}$ внутри любой системы отсчета, если их выразить относительно основы, например, инерциальной системы отсчета, совпадают. Проведение дифференцирований и перестановка некоторых членов дает ускорение относительно вращающейся системы отсчета: $\mathbf {a} _{\mathrm {r} }$

\mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r}

где $\mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\tfrac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }$ - кажущееся ускорение во вращающейся системе отсчета, член $-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )$ представляет собой центробежное ускорение , а термин $-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }$ это ускорение Кориолиса . Последний срок, $-{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r}$ , — ускорение Эйлера и равно нулю в равномерно вращающихся системах отсчета.

Второй закон Ньютона в двух системах отсчёта [ править ]

Когда выражение ускорения умножается на массу частицы, три дополнительных члена в правой части приводят к фиктивным силам во вращающейся системе отсчета, то есть к кажущимся силам, возникающим в результате нахождения в неинерциальной системе отсчета. , а не от какого-либо физического взаимодействия между телами.

Используя второй закон движения Ньютона $\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,$ мы получаем: ^[1]^[12]^[13]^[15]^[16]

Кориолиса сила $\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }$
центробежная сила $\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )$
и сила Эйлера $\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r}$

где $m$ — это масса объекта, на который действуют эти фиктивные силы . Обратите внимание, что все три силы исчезают, когда рама не вращается, то есть когда ${\boldsymbol {\Omega }}=0\ .$

Для полноты картины инерционное ускорение $\mathbf {a} _{\mathrm {i} }$ из-за воздействия внешних сил $\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }$ может быть определена из общей физической силы в инерциальной (невращающейся) системе отсчета (например, силы физических взаимодействий, таких как электромагнитные силы ), используя второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчета:

\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {i} }

Тогда закон Ньютона во вращающейся системе отсчета принимает вид

\mathbf {F_{\mathrm {r} }} =\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }+\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=m\mathbf {a_{\mathrm {r} }} \ .

Другими словами, чтобы справиться с законами движения во вращающейся системе отсчета: ^[16]^[17]^[18]

Относитесь к фиктивным силам как к реальным силам и представьте, что вы находитесь в инерциальной системе отсчета.
- Луи Н. Хэнд, Аналитическая механика Джанет Д. Финч , с. 267

Очевидно, что вращающаяся система отсчета является случаем неинерциальной системы отсчета. Таким образом, на частицу помимо реальной силы действует фиктивная сила... Частица будет двигаться согласно второму закону движения Ньютона, если полную силу, действующую на нее, принять как сумму реальной и фиктивной сил.
— HS Hans & SP Pui: Механика ; п. 341

Это уравнение имеет в точности форму второго закона Ньютона, за исключением того, что в дополнение к F , сумме всех сил, идентифицированных в инерциальной системе отсчета, справа есть дополнительный член... Это означает, что мы можем продолжать использовать второй закон Ньютона. в неинерциальной системе отсчета при условии, что мы согласны с тем, что в неинерциальной системе отсчета мы должны добавить дополнительный термин, подобный силе, часто называемый силой инерции .
- Джон Р. Тейлор: Классическая механика ; п. 328

Использование в магнитном резонансе [ править ]

удобно рассматривать Магнитный резонанс в системе отсчета, вращающейся с ларморовской частотой спинов. Это показано на анимации ниже. приближение вращающейся волны Также можно использовать .

См. также [ править ]

Абсолютное вращение
Центробежная сила (вращающаяся система отсчета) Центробежная сила, если смотреть на системы, вращающиеся вокруг неподвижной оси.
Механика движения плоской частицы. Фиктивные силы, проявляемые частицей, находящейся в плоском движении, как ее видят сама частица и наблюдатели в системе отсчета, вращающейся вместе.
Сила Кориолиса Действие силы Кориолиса на Землю и другие вращающиеся системы
Инерциальная система отсчета
Неинерциальная рамка
Фиктивная сила. Более общая трактовка предмета данной статьи.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Владимир Игоревич Арнольд (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Спрингер. п. 130. ИСБН 978-0-387-96890-2 .
^ Роберт Резник и Дэвид Холлидей (1966). Физика . Уайли. п. 121 . ISBN 0-471-34524-5 .
^ Джеррольд Э. Марсден; Тудор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем . Спрингер. п. 251. ИСБН 0-387-98643-Х .
^ Джон Роберт Тейлор (2005). Классическая механика . Университетские научные книги. п. 343. ИСБН 1-891389-22-Х .
^ Стивен Т. Торнтон и Джерри Б. Мэрион (2004). «Глава 10». Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Брук/Коул. ISBN 0-534-40896-6 . OCLC 52806908 .
^ Дэвид Макнотон. «Центробежные эффекты и эффекты Кориолиса» . Проверено 18 мая 2008 г.
^ Дэвид П. Стерн. «Системы отсчета: Центробежная сила» . Проверено 26 октября 2008 г.
^ Дэвид Морин (2008). Введение в классическую механику: с задачами и решениями . Издательство Кембриджского университета. п. 469 . ISBN 978-0-521-87622-3 . ускорение азимутальное по Морену.
^ Грант Р. Фаулз и Джордж Л. Кэссидей (1999). Аналитическая механика (6-е изд.). Издательство Харкорт-колледжа. п. 178.
^ Ричард Х. Баттин (1999). Введение в математику и методы астродинамики . Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики . п. 102. ИСБН 1-56347-342-9 .
^ Джеррольд Э. Марсден; Тудор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем . Спрингер. п. 251. ИСБН 0-387-98643-Х .
^ Перейти обратно: ^а ^б Корнелиус Ланцос (1986). Вариационные принципы механики (переиздание четвертого издания 1970 г.). Дуврские публикации . Глава 4, §5. ISBN 0-486-65067-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика . Университетские научные книги. п. 342. ИСБН 1-891389-22-Х .
^ Корлесс, Мартин. «Кинематика» (PDF) . Конспект курса аэромеханики I. Университет Пердью . п. 213. Архивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2012 года . Проверено 18 июля 2011 г.
^ Ландау Л.Д. и Лифшиц Л.М. (1976). Механика (Третье изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 128. ИСБН 978-0-7506-2896-9 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Луи Н. Хэнд; Джанет Д. Финч (1998). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета . п. 267. ИСБН 0-521-57572-9 .
^ Х. С. Ханс и С. П. Пуи (2003). Механика . Тата МакГроу-Хилл. п. 341. ИСБН 0-07-047360-9 .
^ Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика . Университетские научные книги. п. 328. ИСБН 1-891389-22-Х .

^ Итак $x',y',z'$ являются функциями $x,y,z,$ и время $t.$ Сходным образом $x,y,z$ являются функциями $x',y',z',$ и $t.$ То, что эти системы отсчета имеют одно и то же происхождение, означает, что для всех $t,$ $\left(x',y',z'\right)=(0,0,0)$ если и только если $(x,y,z)=(0,0,0).$
^ Итак $f_{1},f_{2},f_{3}$ являются ${\boldsymbol {f}}$ координаты относительно вращающегося базисного вектора ${\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}$ ( ${\boldsymbol {f}}$ координаты относительно инерциальной системы отсчёта не используются). Следовательно, в любой данный момент скорость изменения ${\boldsymbol {f}}$ относительно этих вращающихся координат ${\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}.$ Так, например, если $f_{1}\equiv 1$ и $f_{2}=f_{3}\equiv 0$ являются константами, то ${\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}$ является всего лишь одним из вращающихся базисных векторов, и (как и ожидалось) его скорость изменения во времени относительно этих вращающихся координат тождественна. ${\boldsymbol {0}}$ (так что формула для ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}$ приведенное ниже, означает, что производная во времени $t$ этого вращающегося базисного вектора ${\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}$ является ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {i}}={\boldsymbol {\Omega }}(t)\times {\boldsymbol {i}}(t)$ ); однако скорость его изменения относительно невращающейся инерциальной системы отсчета не будет постоянно ${\boldsymbol {0}}$ за исключением (конечно) случая, когда ${\hat {\boldsymbol {\imath }}}$ не движется в инерциальной системе отсчета (это происходит, например, когда ось вращения зафиксирована как $z$ -ось (при условии стандартных координат) в инерциальной системе отсчета, а также ${\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,1)$ или ${\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,-1)$ ).

Внешние ссылки [ править ]

Анимационный клип, показывающий сцены, рассматриваемые как с инерциальной, так и с вращающейся системы отсчета, визуализируя Кориолиса и центробежные силы.

[Arnold-1] Перейти обратно: ^а ^б Владимир Игоревич Арнольд (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Спрингер. п. 130. ИСБН 978-0-387-96890-2 .

[2] Роберт Резник и Дэвид Холлидей (1966). Физика . Уайли. п. 121 . ISBN 0-471-34524-5 .

[Marsden-3] Джеррольд Э. Марсден; Тудор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем . Спрингер. п. 251. ИСБН 0-387-98643-Х .

[Taylor_A-4] Джон Роберт Тейлор (2005). Классическая механика . Университетские научные книги. п. 343. ИСБН 1-891389-22-Х .

[Marion-5] Стивен Т. Торнтон и Джерри Б. Мэрион (2004). «Глава 10». Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Брук/Коул. ISBN 0-534-40896-6 . OCLC 52806908 .

[6] Дэвид Макнотон. «Центробежные эффекты и эффекты Кориолиса» . Проверено 18 мая 2008 г.

[7] Дэвид П. Стерн. «Системы отсчета: Центробежная сила» . Проверено 26 октября 2008 г.

[Morin-8] Дэвид Морин (2008). Введение в классическую механику: с задачами и решениями . Издательство Кембриджского университета. п. 469 . ISBN 978-0-521-87622-3 . ускорение азимутальное по Морену.

[Fowles-9] Грант Р. Фаулз и Джордж Л. Кэссидей (1999). Аналитическая механика (6-е изд.). Издательство Харкорт-колледжа. п. 178.

[Battin-10] Ричард Х. Баттин (1999). Введение в математику и методы астродинамики . Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики . п. 102. ИСБН 1-56347-342-9 .

[11] Джеррольд Э. Марсден; Тудор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем . Спрингер. п. 251. ИСБН 0-387-98643-Х .

[Lanczos-14] Перейти обратно: ^а ^б Корнелиус Ланцос (1986). Вариационные принципы механики (переиздание четвертого издания 1970 г.). Дуврские публикации . Глава 4, §5. ISBN 0-486-65067-7 .

[Taylor-15] Перейти обратно: ^а ^б Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика . Университетские научные книги. п. 342. ИСБН 1-891389-22-Х .

[16] Корлесс, Мартин. «Кинематика» (PDF) . Конспект курса аэромеханики I. Университет Пердью . п. 213. Архивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2012 года . Проверено 18 июля 2011 г.

[Landau-17] Ландау Л.Д. и Лифшиц Л.М. (1976). Механика (Третье изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 128. ИСБН 978-0-7506-2896-9 .

[Hand-18] Перейти обратно: ^а ^б Луи Н. Хэнд; Джанет Д. Финч (1998). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета . п. 267. ИСБН 0-521-57572-9 .

[Pui-19] Х. С. Ханс и С. П. Пуи (2003). Механика . Тата МакГроу-Хилл. п. 341. ИСБН 0-07-047360-9 .

[Taylor2-20] Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика . Университетские научные книги. п. 328. ИСБН 1-891389-22-Х .

[12] Итак $x',y',z'$ являются функциями $x,y,z,$ и время $t.$ Сходным образом $x,y,z$ являются функциями $x',y',z',$ и $t.$ То, что эти системы отсчета имеют одно и то же происхождение, означает, что для всех $t,$ $\left(x',y',z'\right)=(0,0,0)$ если и только если $(x,y,z)=(0,0,0).$

[13] Итак $f_{1},f_{2},f_{3}$ являются ${\boldsymbol {f}}$ координаты относительно вращающегося базисного вектора ${\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}$ ( ${\boldsymbol {f}}$ координаты относительно инерциальной системы отсчёта не используются). Следовательно, в любой данный момент скорость изменения ${\boldsymbol {f}}$ относительно этих вращающихся координат ${\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}.$ Так, например, если $f_{1}\equiv 1$ и $f_{2}=f_{3}\equiv 0$ являются константами, то ${\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}$ является всего лишь одним из вращающихся базисных векторов, и (как и ожидалось) его скорость изменения во времени относительно этих вращающихся координат тождественна. ${\boldsymbol {0}}$ (так что формула для ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}$ приведенное ниже, означает, что производная во времени $t$ этого вращающегося базисного вектора ${\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}$ является ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {i}}={\boldsymbol {\Omega }}(t)\times {\boldsymbol {i}}(t)$ ); однако скорость его изменения относительно невращающейся инерциальной системы отсчета не будет постоянно ${\boldsymbol {0}}$ за исключением (конечно) случая, когда ${\hat {\boldsymbol {\imath }}}$ не движется в инерциальной системе отсчета (это происходит, например, когда ось вращения зафиксирована как $z$ -ось (при условии стандартных координат) в инерциальной системе отсчета, а также ${\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,1)$ или ${\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,-1)$ ).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[примечание 1]

[заметка 2]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]