Транспортная теорема

Для получения информации о теореме дифференциального исчисления см. Транспортную теорему Рейнольдса .

Теорема переноса (или уравнение переноса , теорема переноса скорости изменения или основное кинематическое уравнение или формула Бура, названная в честь Эдмона Бура ) представляет собой векторное уравнение, которое связывает производную по времени , евклидова вектора вычисленную в невращающейся системе координат, с ее производная по времени во вращающейся системе отсчета . Он имеет важные приложения в классической механике , аналитической динамике и различных областях техники. Евклидов вектор представляет собой определенную величину и направление в пространстве, которые не зависят от системы координат, в которой он измеряется. Однако, когда берут производную по времени от такого вектора, фактически берут разницу между двумя векторами, измеренными в два разных момента времени t и t+dt . Во вращающейся системе координат оси координат могут иметь разные направления в эти два момента времени, так что даже постоянный вектор может иметь ненулевую производную по времени. Как следствие, производная по времени вектора, измеренного во вращающейся системе координат, может отличаться от производной по времени того же вектора в невращающейся системе отсчета. Например, вектор скорости самолета, рассчитанный с использованием системы координат, прикрепленной к земле (вращающаяся система отсчета), отличается от его скорости, рассчитанной с использованием системы координат, фиксированной в пространстве. Транспортная теорема позволяет связать производные векторов по времени между вращающейся и невращающейся системой координат. Более подробно она выведена и объяснена в вращающаяся система отсчета и может быть записана как:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .$$

Здесь f — вектор, производная по времени которого вычисляется как в невращающейся, так и во вращающейся системе координат. Индекс r обозначает ее производную по времени во вращающейся системе координат, а вектор Ω представляет собой угловую скорость вращающейся системы координат.

Теорема переноса особенно полезна для связи векторов скоростей и ускорений между вращающимися и невращающимися системами координат.

Ссылка говорится: «Несмотря на ее важность в классической механике и ее повсеместное применение в технике, не существует общепринятого названия для формулы преобразования производной Эйлера [...] Используется несколько терминов: кинематическая теорема, теорема переноса и уравнение переноса. Эти термины, хотя и терминологически верны, более распространены в области механики жидкости и относятся к совершенно другим физическим концепциям». Примером такой другой физической концепции является транспортная теорема Рейнольдса .

Вывод

Позволять ${\boldsymbol {b}}_{i}:=T_{B}^{E}{\boldsymbol {e}}_{i}$ быть базисными векторами $B$, как видно из системы отсчета $E$, и обозначим компоненты вектора ${\boldsymbol {f}}$ в $B$ всего лишь $f_{i}$.Позволять

$G:=T'\cdot T^{-1}$

так что это преобразование координат генерируется с во времени в соответствии $T'=G\cdot T$.Такое порождающее дифференциальное уравнение важно для траекторий в теории групп Ли . Применяя правило произведения с неявным соглашением о суммировании ,

${\boldsymbol {f}}'=(f_{i}{\boldsymbol {b}}_{i})'=(f_{i}T)'{\boldsymbol {e}}_{i}=(f_{i}'T+f_{i}G\cdot T)\,{\boldsymbol {e}}_{i}=(f_{i}'+f_{i}G)\,{\boldsymbol {b}}_{i}=\left(\left({\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{B}+G\right){\boldsymbol {f}}$

Для групп ротации ${\mathrm {SO} }(n)$, у одного есть $T_{E}^{B}:=(T_{B}^{E})^{-1}=(T_{B}^{E})^{T}$. В трёх измерениях, $n=3$, генератор $G$ затем равна операции векторного произведения слева, кососимметричной линейной карте $[{\boldsymbol {\Omega }}_{E}]_{\times }{\boldsymbol {g}}:={\boldsymbol {\Omega }}_{E}\times {\boldsymbol {g}}$ для любого вектора ${\boldsymbol {g}}$. Как матрица, она также связана с вектором, как видно из $B$ с помощью

$[{\boldsymbol {\Omega }}_{E}]_{\times }=[T_{B}^{E}{\boldsymbol {\Omega }}_{B}]_{\times }=T_{B}^{E}\cdot [{\boldsymbol {\Omega }}_{B}]_{\times }\cdot T_{E}^{B}$