Работа (физика)

Для другихиспользование слова «Работа» в физике, см. «Работа (электрика)» и «Работа (термодинамика)» .

Работа
Питчер в бейсболе . совершает положительную работу над мячом, прилагая к нему силу на протяжении всего расстояния, которое он перемещает, пока он находится в его захвате
Общие символы	В
И объединились	джоуль (Дж)
Другие подразделения	Фут-фунт , Эрг
В базовых единицах СИ	1 kg ⋅ m 2 ⋅ s −2
Выводы из другие количества	Вт = F ⋅ с W = τ θ
Измерение	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-2}$

В физике , работа – это энергия передаваемая объекту или от него посредством приложения силы вдоль смещения . В простейшей форме, для постоянной силы, направленной в направлении движения, работа равна произведению силы силы и пройденного расстояния. Говорят, что сила совершает положительную работу , если она имеет составляющую, направленную в направлении смещения точки приложения. Сила совершает отрицательную работу , если в точке приложения силы она имеет составляющую, противоположную направлению перемещения.

Например, когда мяч удерживается над землей, а затем падает, работа, совершаемая силой гравитации, действующей на мяч при его падении, положительна и равна весу мяча (силе), умноженному на расстояние до мяча. земля (смещение). Если мяч бросить вверх, работа силы тяжести отрицательна и равна весу, умноженному на смещение в направлении вверх.

И сила, и перемещение являются векторами . Проделанная работа определяется скалярным произведением двух векторов, где результатом является скаляр . Когда сила F постоянна и угол θ между силой и перемещением s также постоянен, то совершаемая работа определяется выражением:

$$W=Fs\cos {\theta }$$

Если сила переменная, то работа определяется линейным интегралом :

$W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}$

где $d{\vec {s}}$ это крошечное изменение вектора смещения.

Работа – скалярная величина , поэтому он имеет только величину и не имеет направления. Работа переносит энергию из одного места в другое или из одной формы в другую. Единицей в системе СИ работы является джоуль (Дж), та же единица, что и для энергии.

История

Древнегреческое понимание физики ограничивалось статикой простых машин (балансом сил) и не включало динамику или понятие работы. В эпоху Возрождения динамику механических сил , как называли простые машины , начали изучать с точки зрения того, насколько далеко они могут поднять груз в дополнение к силе, которую они могут приложить, что в конечном итоге привело к новой концепции механических сил. работа. Полная динамическая теория простых машин была разработана итальянским ученым Галилео Галилеем в 1600 году в книге Le Meccaniche ( «О механике» ), в которой он показал основное математическое сходство машин как усилителей силы. Он был первым, кто объяснил, что простые машины не создают энергию, а только преобразуют ее.

работы

Хотя работа официально не использовалась до 1826 года, аналогичные концепции существовали и раньше. Ранние названия той же концепции включали момент активности, количество действия, скрытую живую силу, динамический эффект, эффективность и даже силу . В 1637 году французский философ Рене Декарт писал:

Поднять 100 фунтов на одну ногу дважды — это то же самое, что поднять 200 фунтов на одну ногу или 100 фунтов на две ноги.

- Рене Декарт, Письмо Гюйгенсу.

В 1686 году немецкий философ Готфрид Лейбниц писал:

Для поднятия тела А массой 1 фунт (весы) на высоту 4 ярда (локтевые кости) необходима такая же сила («работа» в современном понимании), как и для поднятия тела Б массой 4 фунта на высоту 1 ярд.

- Готфрид Лейбниц, Краткая демонстрация.

В 1759 году Джон Смитон описал величину, которую он назвал «мощностью», «чтобы обозначить приложение силы, гравитации, импульса или давления для создания движения». Смитон продолжает, что эту величину можно вычислить, если «поднятый вес умножить на высоту, на которую его можно поднять за заданное время», что делает это определение удивительно похожим на определение Кориолиса .

Этимология

Согласно учебнику физики Макса Джаммера 1957 года , Термин работа был введен в 1826 году французским математиком Гаспаром-Гюставом Кориолисом. как «вес , поднятый на высоту», который основан на использовании первых паровых двигателей для подъема ведер с водой из затопленных рудников. По словам Рене Дюга, французского инженера и историка, именно Соломону Ко «мы обязаны термином работа в том смысле, в каком он сейчас используется в механике».

Единицы

Единицей в системе СИ работы является джоуль (Дж), названный в честь английского физика XIX века Джеймса Прескотта Джоуля , который определяется как работа, необходимая для приложения силы в один ньютон при перемещении на один метр .

Эквивалентный по размерам ньютон-метр (Н⋅м) иногда используется в качестве единицы измерения работы, но его можно спутать с единицей измерения крутящего момента . не одобряют использование Нм Органы системы СИ , поскольку это может привести к путанице относительно того, является ли величина, выраженная в ньютон-метрах, измерением крутящего момента или измерением работы.

Еще одной единицей измерения работы является фут-фунт , происходящий из английской системы измерения. Как следует из названия единицы, это произведение фунтов (единица силы) и футов (единица перемещения). Один джоуль эквивалентен 0,07376 фут-фунтов.

К единицам работы, не относящимся к системе СИ, относятся ньютон-метр, эрг , фут-фунт, фут-фунт , киловатт-час , литр атмосферы и лошадиная сила-час . Поскольку работа имеет то же физическое измерение , что и тепло единицы измерения, обычно предназначенные для содержания тепла или энергии, такие как терм , БТЕ и калория , иногда в качестве единицы измерения используются .

Работа и энергия

Работа W, совершаемая постоянной силой величины F над точкой, которая перемещает смещение s по прямой в направлении силы, равна произведению

$$W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}$$

Например, если ), действует сила в 10 ньютонов ( F = 10 Н вдоль точки, проходящей 2 метра ( s = 2 м ) , то W = Fs = (10 Н) (2 м) = 20 Дж . Это примерно равна работе, совершаемой при поднятии предмета массой 1 кг с уровня земли на голову человека против силы тяжести.

Работа удваивается либо при поднятии удвоенного веса на одно и то же расстояние, либо при подъеме того же груза на удвоенное расстояние.

Работа тесно связана с энергией . Энергия имеет ту же единицу измерения, что и работа (Джоули), поскольку энергия от объекта, выполняющего работу, передается другим объектам, с которыми он взаимодействует во время выполнения работы. Принцип работы-энергии гласит, что увеличение кинетической энергии твердого тела вызвано равным количеством положительной работы, совершаемой над телом результирующей силой, действующей на это тело. И наоборот, уменьшение кинетической энергии вызвано равным количеством отрицательной работы, совершаемой равнодействующей силой. Таким образом, если чистая работа положительна, то кинетическая энергия частицы увеличивается на величину работы. Если чистая совершенная работа отрицательна, то кинетическая энергия частицы уменьшается на величину работы.

Из второго закона Ньютона можно показать, что работа над свободным (без полей) твердым (без внутренних степеней свободы) телом равна изменению кинетической энергии E _k, соответствующей линейной скорости и угловой скорости этого тела. ,

$$W=\Delta E_{\text{k}}.$$

Работа сил, порождаемая потенциальной функцией, называется потенциальной энергией , а силы называются консервативными . Следовательно, работа над объектом, который просто перемещается в консервативном силовом поле без изменения скорости или вращения, равна минус изменению потенциальной энергии E _p объекта,

$$W=-\Delta E_{\text{p}}.$$

Эти формулы показывают, что работа — это энергия, связанная с действием силы, поэтому работа впоследствии обладает физическими размерами и единицами энергии.Обсуждаемые здесь принципы работы/энергии идентичны принципам электрической работы/энергии.

Сдерживающие силы

Связывающие силы определяют смещение объекта в системе, ограничивая его в пределах диапазона. Например, в случае уклона и силы тяжести объект прилипает к склону и, будучи прикреплен к натянутой веревке, он не может двигаться в направлении наружу, чтобы сделать веревку более тугой. Он устраняет все смещения в этом направлении, то есть скорость в направлении ограничения ограничивается 0, так что силы ограничения не совершают работу над системой.

Для механической системы Силы ограничения устраняют движение в направлениях, которые характеризуют ограничение. Таким образом, виртуальная работа, совершаемая силами ограничения, равна нулю, и этот результат верен только в том случае, если исключить силы трения.

Фиксированные силы, не вызывающие трения, не совершают работу в системе. поскольку угол между движением и сдерживающими силами всегда равен 90° . Примерами безработных ограничений являются: жесткие связи между частицами, скользящее движение по поверхности без трения и контакт качения без скольжения.

Например, в системе блоков, такой как машина Атвуда , внутренние силы на веревке и на поддерживающем блоке не действуют на систему. Следовательно, работу необходимо вычислять только для сил гравитации, действующих на тела. Другой пример: центростремительная сила , действующая внутрь со стороны струны на шар при равномерном круговом движении вбок, вынуждает шар совершать круговое движение, ограничивая его движение от центра круга. Эта сила совершает нулевую работу, поскольку она перпендикулярна скорости мяча.

Магнитная сила, действующая на заряженную частицу, равна F = q v × B , где q — заряд, v — скорость частицы, а B — магнитное поле . Результат векторного произведения всегда перпендикулярен обоим исходным векторам, поэтому F ⊥ v . Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов всегда равно нулю, поэтому работа W = F ⋅ v = 0 , а магнитная сила не совершает работу. Он может изменить направление движения, но никогда не изменит скорость.

Математический расчет

Для движущихся объектов количество работы/времени (мощности) интегрируется по траектории точки приложения силы. Таким образом, в любой момент скорость работы силы (измеренная в джоулях в секунду или ваттах ) представляет собой скалярное произведение силы (вектора) и вектора скорости точки приложения. Это скалярное произведение силы и скорости известно как мгновенная мощность . Точно так же, как скорости могут быть интегрированы по времени для получения общего расстояния, согласно фундаментальной теореме исчисления , полная работа на пути аналогично интегралу по времени от мгновенной мощности, приложенной вдоль траектории точки приложения.

Работа — это результат действия силы на точку, которая следует по кривой X со скоростью v в каждый момент времени. Небольшой объем работы δW , совершаемый за момент времени dt, рассчитывается как

$$\delta W=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt$$

где F ⋅ v — степень в момент dt . Сумма этих небольших объемов работы по траектории точки дает работу:

$$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\tfrac {d\mathbf {s} }{dt}}\,dt=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} ,$$

где C — траектория от x ( t ₁ ) до x ( t ₂ ). Этот интеграл вычисляется вдоль траектории частицы и поэтому называется зависимым от пути .

Если сила всегда направлена ​​вдоль этой линии, а величина силы равна F , то этот интеграл упрощается до

$$W=\int _{C}F\,ds$$

где s – перемещение вдоль прямой. Если F является постоянной величиной, помимо того, что она направлена ​​вдоль прямой, то интеграл еще больше упрощается до

$$W=\int _{C}F\,ds=F\int _{C}ds=Fs$$

где s — смещение точки вдоль прямой.

Этот расчет можно обобщить для постоянной силы, не направленной вдоль линии, за которой следует частица. В этом случае скалярное произведение F ⋅ d s = F cos θ ds , где θ — угол между вектором силы и направлением движения, то есть

$$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =Fs\cos \theta .$$

Когда компонент силы перпендикулярен смещению объекта (например, когда тело движется по круговой траектории под действием центральной силы ), работа не совершается, поскольку косинус 90° равен нулю. Таким образом, на планете с круговой орбитой (это идеально, так как все орбиты слегка эллиптические) гравитация не может совершать никакую работу. Кроме того, не совершается никакая работа над телом, движущимся по кругу с постоянной скоростью, будучи ограниченным механической силой, например, при движении с постоянной скоростью в идеальной центрифуге без трения.

силой

Расчет работы как «сила, умноженная на прямой участок пути» применим только в самых простых обстоятельствах, как отмечалось выше. Если сила меняется или если тело движется по криволинейной траектории, возможно, вращающейся и не обязательно жесткой, то для совершаемой работы имеет значение только путь точки приложения силы, и только та составляющая силы, параллельная точки приложения скорость совершает работу (положительная работа, если в том же направлении, и отрицательная, когда в направлении, противоположном скорости). Эту составляющую силы можно описать скалярной величиной, называемой скалярной тангенциальной составляющей ( F cos( θ ) , где θ — угол между силой и скоростью). И тогда наиболее общее определение труда можно сформулировать следующим образом:

Площадь под кривой обозначает работу, совершенную F(x).

Работа, совершаемая переменной силой, представляет собой линейный интеграл от ее скалярной тангенциальной составляющей вдоль пути точки приложения.

Если сила меняется (например, сжатие пружины), нам нужно использовать математические вычисления, чтобы найти совершенную работу. Если сила как переменная x определяется как F ( x ) , то работа, совершаемая силой вдоль оси x от x ₁ до x _2, равна:

$$W=\lim _{\Delta \mathbf {x} \to 0}\sum _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} \Delta \mathbf {x} =\int _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} d\mathbf {x} .$$

Таким образом, работу, совершаемую над переменной силой, можно выразить как определенный интеграл от силы по перемещению.

Если смещение как переменная времени определяется как ∆ x (t) , то работа, совершаемая переменной силой от t ₁ до t _2, равна:

$$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}P(t)dt.$$

Таким образом, работу, совершаемую над переменной силой, можно выразить как определенный интеграл от мощности по времени.

Крутящий момент и вращение

Пара сил возникает в результате действия равных и противоположных сил, действующих на две разные точки твердого тела. Сумма (результат) этих сил может сокращаться, но их воздействие на тело представляет собой пару или крутящий Т. момент Работа крутящего момента рассчитывается как

$$\delta W=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt,$$

где T ⋅ ω — степень в момент dt . Сумма этих небольших работ по траектории твердого тела дает работу:

$$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt.$$

Этот интеграл вычисляется вдоль траектории твердого тела с угловой скоростью ω, которая меняется со временем, и поэтому называется зависящей от пути .

Если вектор угловой скорости сохраняет постоянное направление, то он принимает вид

$${\boldsymbol {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S} ,$$

где $\phi$ угол поворота вокруг постоянного единичного вектора S. — В этом случае работа крутящего момента будет равна

$$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} \,d\phi ,$$

где C — траектория из $\phi (t_{1})$ к $\phi (t_{2})$. Этот интеграл зависит от траектории вращения $\phi (t)$и, следовательно, зависит от пути.

Если крутящий момент $\tau$ совмещен с вектором угловой скорости так, что

$$\mathbf {T} =\tau \mathbf {S} ,$$

а момент и угловая скорость постоянны, то работа принимает вид

$$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}\,dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1}).$$

Сила постоянной величины, перпендикулярная плечу рычага.

Этот результат можно понять проще, если рассматривать крутящий момент как возникающий в результате силы постоянной величины F , приложенной перпендикулярно к плечу рычага на расстоянии $r$, как показано на рисунке. Эта сила будет действовать через расстояние по дуге окружности $l=s=r\phi$, поэтому проделанная работа

$$W=Fs=Fr\phi .$$

Введем крутящий момент τ = Fr , получим

$$W=Fr\phi =\tau \phi ,$$

как представлено выше.

Заметим, что в работу вносит только составляющая момента в направлении вектора угловой скорости.

Работа и потенциальная энергия

Скалярное произведение силы F и скорости v ее точки приложения определяет мощность, подводимую к системе в момент времени. Интегрирование этой мощности по траектории точки приложения C = x ( t ) определяет работу, вносимую в систему силой.

Зависимость от пути

Следовательно, работа, совершаемая силой F над объектом, движущимся по кривой C, определяется линейным интегралом :

$$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt,$$

где dx ( t ) определяет траекторию C , а v — скорость по этой траектории.В общем, для этого интеграла требуется путь, по которому определяется скорость, поэтому говорят, что оценка работы зависит от пути.

Производная интеграла по работе по времени дает мгновенную мощность,

$${\frac {dW}{dt}}=P(t)=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .$$

Независимость от пути

Если работа приложенной силы не зависит от пути, то работа, совершаемая силой, по теореме о градиенте определяет потенциальную функцию, которая вычисляется в начале и конце траектории точки приложения. Это означает, что существует потенциальная функция U ( x ) , которую можно вычислить в двух точках x ( t ₁ ) и x ( t ₂ ), чтобы получить работу по любой траектории между этими двумя точками. Традиционно эту функцию определяют с отрицательным знаком, так что положительная работа представляет собой уменьшение потенциала, т.е.

$$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{\mathbf {x} (t_{1})}^{\mathbf {x} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf {x} (t_{1}))-U(\mathbf {x} (t_{2})).$$

Функция U ( x ) называется потенциальной энергией , связанной с приложенной силой. Сила, полученная из такой потенциальной функции, называется консервативной . Примерами сил, обладающих потенциальной энергией, являются силы тяжести и пружины.

В этом случае градиент работы дает

$$\nabla W=-\nabla U=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,$$

а сила F называется «выводимой из потенциала».

Поскольку потенциал U определяет силу F в каждой точке x пространства, набор сил называется силовым полем . Мощность, приложенная к телу силовым полем, получается из градиента работы, или потенциала, в направлении скорости V тела, то есть

$$P(t)=-\nabla U\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .$$

Работа под действием силы тяжести

Гравитация F = mg действует W = mgh на любом нисходящем пути.

В отсутствие других сил гравитация приводит к постоянному ускорению вниз каждого свободно движущегося объекта. У поверхности Земли ускорение свободного падения составляет g = 9,8 м⋅с. ⁻² а сила гравитации, действующая на объект массы m, равна F _g = mg . Удобно представить себе эту гравитационную силу, сосредоточенную в центре массы объекта.

Если объект массой mg смещается вверх или вниз на вертикальное расстояние y ₂ − y ₁ , работа W, совершаемая над объектом, равна:

$$W=F_{g}(y_{2}-y_{1})=F_{g}\Delta y=mg\Delta y$$

где F _g — вес (фунты в британских единицах и ньютоны в единицах СИ), а Δ y — изменение высоты y . Обратите внимание, что работа силы тяжести зависит только от вертикального движения объекта. Наличие трения не влияет на работу, совершаемую над предметом его весом.

Работа гравитацией в космосе

Сила гравитации, действующая массой M на другую массу m, определяется выражением

$$\mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} ,$$

где r — вектор положения от M до m , а r — единичный вектор в направлении r .

Пусть масса m движется со скоростью v ; тогда работа силы тяжести, действующая на эту массу при ее перемещении из положения r ( t ₁ ) в положение r ( t ₂ ), определяется выражением

$$W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.$$

Обратите внимание, что положение и скорость массы m определяются выражением

$$\mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t},$$

где e _r и e _t — радиальный и тангенциальный орты, направленные относительно вектора от M к m , и мы воспользуемся тем, что $d\mathbf {e} _{r}/dt={\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}.$ Используйте это, чтобы упростить формулу работы силы тяжести до:

$$W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot \left({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}\right)dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.$$

В этом расчете используется тот факт, что

$${\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.$$

Функция

$$U=-{\frac {GMm}{r}},$$

— гравитационная потенциальная функция, также известная как гравитационная потенциальная энергия . Отрицательный знак соответствует соглашению о том, что работа достигается за счет потери потенциальной энергии.

Работа пружиной

Силы в пружинах, собранных параллельно

Рассмотрим пружину, которая создает горизонтальную силу F = (− kx , 0, 0) , пропорциональную ее отклонению в направлении x , независимо от того, как движется тело. Работа этой пружины на тело, движущееся в пространстве по кривой X ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) вычисляется через ее скорость v = ( v _x , v _y , v _z ) , чтобы получить

$$W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}dt=-{\frac {1}{2}}kx^{2}.$$

Для удобства рассмотрим, что контакт с пружиной происходит при t = 0 , тогда интеграл от произведения расстояния x и скорости x, xv _x dt , по времени t равен 1/2 2х ² . Работа равна произведению расстояния на силу пружины, которая также зависит от расстояния; следовательно, х ² результат.

Работа газом

Работа $W$ действие газового тела на окружающую среду:

$$W=\int _{a}^{b}P\,dV$$

где P — давление, V — объем, а и b — начальный и конечный объемы.

работы

Принцип работы и кинетической энергии (также известный как принцип работы-энергии ) гласит, что работа, совершаемая всеми силами, действующими на частицу (работа результирующей силы), равна изменению кинетической энергии частицы. То есть работа W , совершаемая результирующей силой, действующей на частицу, равна изменению кинетической энергии частицы. $E_{\text{k}}$,

$$W=\Delta E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}$$

где $v_{1}$ и $v_{2}$ – скорости частицы до и после совершения работы, m – ее масса .

Вывод принципа работы-энергии начинается со второго закона движения Ньютона и результирующей силы, действующей на частицу. Вычисление скалярного произведения силы на скорость частицы позволяет оценить мгновенную мощность, добавленную в систему. (Ограничения определяют направление движения частицы, обеспечивая отсутствие компонента скорости в направлении ограничивающей силы. Это также означает, что ограничивающие силы не добавляются к мгновенной мощности.) Интеграл по времени этого скалярного уравнения дает работу от мгновенной мощности, а кинетическая энергия от скалярного произведения ускорения на скорость. Тот факт, что принцип работы-энергии устраняет силы связи, лежит в основе лагранжевой механики .

В этом разделе основное внимание уделяется принципу работы-энергии применительно к динамике частиц. В более общих системах работа может изменить потенциальную энергию механического устройства, тепловую энергию в тепловой системе или электрическую энергию в электрическом устройстве. Работа переносит энергию из одного места в другое или из одной формы в другую.

Вывод для частицы, движущейся по прямой

В случае, если результирующая сила F постоянна как по величине, так и по направлению и параллельна скорости частицы, частица движется с постоянным ускорением а вдоль прямой линии. Связь между чистой силой и ускорением задается уравнением F = ma ( второй закон Ньютона частицы ), а смещение s может быть выражено уравнением

$$s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}$$

что следует из $v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as$ (см. Уравнения движения ).

Работа чистой силы рассчитывается как произведение ее величины и смещения частицы. Подставив приведенные выше уравнения, получим:

$$W=Fs=mas=ma{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta E_{\text{k}}$$

Другое происхождение:

$$W=Fs=mas=m{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2s}}s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}$$

В общем случае прямолинейного движения, когда результирующая сила F не постоянна по величине, но постоянна по направлению и параллельна скорости частицы, работу необходимо интегрировать по пути частицы:

$$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,v\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,v\,dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{\frac {dv}{dt}}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right).$$

принципа работы-энергии для

Для любой чистой силы, действующей на частицу, движущуюся по любой криволинейной траектории, можно продемонстрировать, что ее работа равна изменению кинетической энергии частицы, с помощью простого вывода, аналогичного приведенному выше уравнению. Он известен как принцип работы-энергии :

$$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta E_{\text{k}}$$

Личность ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}}$ требует некоторой алгебры.От личности ${\textstyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$ и определение ${\textstyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$следует

$${\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} .$$

Оставшаяся часть приведенного выше вывода представляет собой простое исчисление, такое же, как и в предыдущем прямолинейном случае.

для частицы, находящейся в

В динамике частиц формула, приравнивающая работу, приложенную к системе, к изменению ее кинетической энергии, получается как первый интеграл второго закона движения Ньютона . Полезно отметить, что результирующую силу, используемую в законах Ньютона, можно разделить на силы, приложенные к частице, и силы, налагаемые ограничениями на движение частицы. Примечательно, что работа ограничивающей силы равна нулю, поэтому в принципе работы-энергии необходимо учитывать только работу приложенных сил.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим частицу P, которая следует по траектории X ( t ) силой F. с действующей на нее Изолируйте частицу от окружающей среды, чтобы подвергнуть действию силы связи R , тогда закон Ньютона примет вид

$$\mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},$$

где m — масса частицы.

формулировка

Обратите внимание, что n точек над вектором обозначают его n-ю производную по времени .Скалярное произведение каждой части закона Ньютона на вектор скорости дает

$$\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},$$

поскольку силы ограничения перпендикулярны скорости частицы. Проинтегрируйте это уравнение вдоль его траектории от точки X ( t ₁ ) до точки X ( t ₂ ), чтобы получить

$$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.$$

Левая часть этого уравнения представляет собой работу приложенной силы, действующей на частицу вдоль траектории от момента времени t ₁ до момента времени t ₂ . Это также можно записать как

$$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .$$

Этот интеграл вычисляется вдоль траектории X ( t ) частицы и, следовательно, зависит от пути.

Правую часть первого интеграла уравнений Ньютона можно упростить, используя следующее тождество:

$${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},$$

(см. правило произведения для вывода). Теперь он интегрируется явно, чтобы получить изменение кинетической энергии:

$$\Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})dt={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{2})-{\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{1})={\frac {1}{2}}m\Delta \mathbf {v} ^{2},$$

где кинетическая энергия частицы определяется скалярной величиной,

$$K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v} ^{2}}$$

Тангенциальные и нормальные компоненты

Полезно разложить векторы скорости и ускорения на тангенциальную и нормальную составляющие вдоль траектории X ( t ) , так что

$${\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\text{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,$$

где

$$v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.$$

Тогда скалярное произведение скорости на ускорение во втором законе Ньютона принимает вид

$$\Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}v\,dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}\,dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),$$

где кинетическая энергия частицы определяется скалярной величиной,

$$K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.$$

Результатом является принцип работы-энергии для динамики частиц:

$$W=\Delta K.$$

Этот вывод можно обобщить на произвольные системы твердых тел.

Движение по прямой (занос до остановки)

Рассмотрим случай, когда транспортное средство движется по прямой горизонтальной траектории под действием движущей силы и силы тяжести, сумма которых равна F . Силы ограничения между транспортным средством и дорогой определяют R , и мы имеем

$$\mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.$$

Для удобства пусть траектория идет вдоль оси X, поэтому X = ( d , 0) и скорость равна V = ( v , 0) , тогда R ⋅ V = 0 и F ⋅ V = F _x v , где F _x — компонент F вдоль оси X, поэтому

$$F_{x}v=m{\dot {v}}v.$$

Интеграция обеих сторон дает

$$\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).$$

Если F _x постоянна вдоль траектории, то интеграл скорости равен расстоянию, поэтому

$$F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).$$

В качестве примера рассмотрим занос автомобиля до остановки, где k — коэффициент трения, а W — вес автомобиля. Тогда сила вдоль траектории равна F _x = − кВт . Скорость v автомобиля можно определить по длине s, салазок используя принцип работы-энергии:

$$kWs={\frac {W}{2g}}v^{2},\quad {\text{or}}\quad v={\sqrt {2ksg}}.$$

Обратите внимание, что в этой формуле используется тот факт, что масса транспортного средства равна m = Вт / г .

Гравитационный гонщик Lotus type 119B на праздновании 60-летия Lotus

Чемпионат по гравитационным гонкам в Кампос-Новос, Санта-Катарина, Бразилия, 8 сентября 2010 г.

Скатывание по наклонной поверхности (

Рассмотрим случай транспортного средства, которое трогается с места и движется по наклонной поверхности (например, по горной дороге). Принцип работы-энергии помогает вычислить минимальное расстояние, которое проходит транспортное средство, чтобы достичь скорости V , скажем, 60 миль в час (88 футов в секунду). ). Сопротивление качению и сопротивление воздуха замедляют транспортное средство, поэтому фактическое расстояние будет больше, чем если бы этими силами пренебрегли.

Пусть траектория транспортного средства, следующего по дороге, будет X ( t ), которая представляет собой кривую в трехмерном пространстве. — это постоянная сила тяжести F = (0, 0, W ) , а сила дороги, действующая на транспортное средство, — это сила ограничения R. Сила, действующая на транспортное средство, которая толкает его по дороге , Второй закон Ньютона дает:

$$\mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.$$

Скалярное произведение этого уравнения на скорость V = ( v _x , v _y , v _z ) дает

$$Wv_{z}=m{\dot {V}}V,$$

где V величина V. — Силы ограничения между транспортным средством и дорогой исключаются из этого уравнения, поскольку R ⋅ V = 0 , что означает, что они не совершают работы.Объедините обе стороны, чтобы получить

$$\int _{t_{1}}^{t_{2}}Wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).$$

Весовая сила W постоянна вдоль траектории, а интеграл от вертикальной скорости представляет собой вертикальное расстояние, поэтому

$$W\Delta z={\frac {m}{2}}V^{2}.$$

Напомним, что V( t ₁ )=0. Обратите внимание, что этот результат не зависит от формы дороги, по которой движется транспортное средство.

Чтобы определить расстояние вдоль дороги, предположим, что уклон составляет 6%, то есть дорога крутая. Это означает, что высота уменьшается на 6 футов на каждые 100 футов пути — для таких малых углов функции sin и tan примерно равны. Следовательно, расстояние s в футах вниз по уклону 6%, необходимое для достижения скорости V, составляет не менее

$$s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\text{or}}\quad s=8.3{\frac {88^{2}}{32.2}}\approx 2000\mathrm {ft} .$$

В этой формуле используется тот факт, что вес транспортного средства W = мг .

Работа сил, действующих на твердое тело

Работу сил, действующих в различных точках на одно твердое тело, можно вычислить по работе равнодействующей силы и крутящего момента . Чтобы убедиться в этом, пусть силы F ₁ , F ₂ , ..., F _n действуют на точки X ₁ , X ₂ , ..., X _n в твердом теле.

Траектории X _i , i = 1, ..., n определяются движением твердого тела. Это движение задается набором вращений [ A ( t )] и траекторией d ( t ) опорной точки в теле. Пусть координаты x _i i = 1, ..., n движущегося твердого тела определяют эти точки в системе отсчета M , так что траектории, прослеживаемые в неподвижной системе отсчета F, имеют вид

$$\mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n.$$

Скорость точек X _i по их траекториям равна

$$\mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }},$$

где ω — вектор угловой скорости, полученный из кососимметричной матрицы

$$[\Omega ]={\dot {A}}A^{\mathsf {T}},$$

известная как матрица угловых скоростей.

Малый объем работы сил над малыми перемещениями δ r _i можно определить, аппроксимировав смещение величиной δ r = v δt, так что

$$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t$$

или

$$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }})\delta t.$$

Эту формулу можно переписать, чтобы получить

$$\delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\dot {\mathbf {d} }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} \right)\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\boldsymbol {\omega }}\delta t=\left(\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {d} }}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\delta t,$$

где F и T — результирующая сила и крутящий момент, приложенные в опорной точке d движущейся системы M в твердом теле.

Библиография

• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс/Коул. ISBN  0-534-40842-7 .
• Типлер, Пол (1991). Физика для ученых и инженеров: Механика (3-е изд., Расширенная версия изд.). У. Х. Фриман. ISBN  0-87901-432-6 .

Внешние ссылки

• Принцип работы-энергии