Уравнение движения Аппелла

В классической механике уравнение движения Аппелла (также известное как уравнение движения Гиббса-Аппелла ) представляет собой альтернативную общую формулировку классической механики, описанную Джозайей Уиллардом Гиббсом в 1879 году. ^{[ 1 ]} и Поль Эмиль Аппель в 1900 году. ^{[ 2 ]}

Заявление

Уравнение Гиббса-Аппелла гласит:

Q_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}},

где $\alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}$ — произвольное обобщенное ускорение или вторая производная по времени обобщенных координат. $q_{r}$ , и $Q_{r}$ – соответствующая ей обобщенная сила . Обобщенная сила дает совершенную работу

dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r},

где индекс $r$ пробегает по $D$ обобщенные координаты $q_{r}$ , которые обычно соответствуют степеням свободы системы. Функция $S$ определяется как взвешенная по массе сумма квадратов ускорений частиц ,

S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,

где индекс $k$ пробегает по $K$ частицы и

\mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}

это ускорение $k$ -я частица, вторая производная по времени от ее вектора положения $\mathbf {r} _{k}$ . Каждый $\mathbf {r} _{k}$ выражается через обобщенные координаты , а $\mathbf {a} _{k}$ выражается через обобщенные ускорения.

Связь с другими формулировками классической механики

Формулировка Аппелла не привносит никакой новой физики в классическую механику и как таковая эквивалентна другим переформулировкам классической механики, таким как механика Лагранжа и механика Гамильтона . Вся классическая механика заключена в законах движения Ньютона. В некоторых случаях уравнение движения Аппелла может быть более удобным, чем обычно используемая лагранжева механика, особенно когда неголономные задействованы связи. Фактически уравнение Аппелла напрямую ведет к уравнениям движения Лагранжа. ^{[ 3 ]} Более того, с его помощью можно вывести уравнения Кейна, которые особенно подходят для описания движения сложных космических аппаратов. ^{[ 4 ]} Формулировка Аппелла представляет собой применение принципа наименьшего ограничения Гаусса . ^{[ 5 ]}

Вывод

Изменение положений частиц r _k при бесконечно малом изменении D- обобщенных координат равно

d\mathbf {r} _{k}=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}

Взяв две производные по времени, получим эквивалентное уравнение для ускорений

{\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}

Работа, совершаемая бесконечно малым изменением dq _r в обобщенных координатах, равна

dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}

где второй закон Ньютона для k -й частицы

\mathbf {F} _{k}=m_{k}\mathbf {a} _{k}

был использован. Подставив формулу для d r _k и поменяв местами порядок двух сумм, получим формулы

dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \sum _{r=1}^{D}dq_{r}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)

Таким образом, обобщенные силы

Q_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)

Это равно производной S по обобщенным ускорениям.

{\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial }{\partial \alpha _{r}}}{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {a} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)

что дает уравнение движения Аппелла

{\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}=Q_{r}.

Примеры

Уравнения Эйлера динамики твердого тела

Уравнения Эйлера служат прекрасной иллюстрацией формулировки Аппелла.

Рассмотрим твердое тело, состоящее из N частиц, соединенных жесткими стержнями. Вращение тела можно описать вектором скорости угловой ${\boldsymbol {\omega }}$ , и соответствующий вектор углового ускорения

{\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}

Обобщенной силой вращения является крутящий момент ${\textbf {N}}$ , поскольку работа, совершаемая при бесконечно малом вращении $\delta {\boldsymbol {\phi }}$ является $dW=\mathbf {N} \cdot \delta {\boldsymbol {\phi }}$ . Скорость $k$ -я частица определяется выражением

\mathbf {v} _{k}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{k}

где $\mathbf {r} _{k}$ – положение частицы в декартовых координатах; соответствующее ему ускорение равно

\mathbf {a} _{k}={\frac {d\mathbf {v} _{k}}{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}

Следовательно, функция $S$ может быть записано как

S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left\{\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)^{2}+\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)^{2}+2\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)\right\}

Установка производной S по отношению к ${\boldsymbol {\alpha }}$ равный крутящему моменту, дает уравнения Эйлера

I_{xx}\alpha _{x}-\left(I_{yy}-I_{zz}\right)\omega _{y}\omega _{z}=N_{x}

I_{yy}\alpha _{y}-\left(I_{zz}-I_{xx}\right)\omega _{z}\omega _{x}=N_{y}

I_{zz}\alpha _{z}-\left(I_{xx}-I_{yy}\right)\omega _{x}\omega _{y}=N_{z}

См. также

Ссылки

^ Гиббс, JW (1879). «Об основных формулах динамики». Американский журнал математики . 2 (1): 49–64. дои : 10.2307/2369196 . JSTOR 2369196 .
^ Аппелл, П. (1900). «Об общем виде уравнений динамики». Журнал для королевы и математики . 121 : 310–?.
^ Деслодж, Эдвард А. (1988). «Уравнения движения Гиббса – Аппелла» (PDF) . Американский журнал физики . 56 (9): 841–46. Бибкод : 1988AmJPh..56..841D . дои : 10.1119/1.15463 . S2CID 123074999 .
^ Деслодж, Эдвард А. (1987). «Связь между уравнениями Кейна и уравнениями Гиббса-Аппелла». Журнал руководства, контроля и динамики . 10 (1). Американский институт аэронавтики и астронавтики: 120–22. Бибкод : 1987JGCD...10..120D . дои : 10.2514/3.20192 .
^ Льюис, Эндрю Д. (август 1996 г.). «Геометрия уравнений Гиббса-Аппелла и принцип наименьших ограничений Гаусса» (PDF) . Доклады по математической физике . 38 (1): 11–28. Бибкод : 1996РпМП...38...11Л . дои : 10.1016/0034-4877(96)87675-0 .

Дальнейшее чтение

Парс, Луизиана (1965). Трактат об аналитической динамике . Вудбридж, Коннектикут: Ox Bow Press. стр. 197–227, 631–632.
Уиттакер, ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN.
Сигер (1930). «Уравнения Аппеля». Журнал Вашингтонской академии наук . 20 : 481–484.
Брелл, Х (1913). «Доказательство эквивалентности обобщенного принципа наименьшего действия принципу наименьшего принуждения». Вена. Сиденье . 122 :933-944. Связь формулировки Аппелла с принципом наименьшего действия .
PDF-копия статьи Аппелла в Геттингенском университете
PDF-копия второй статьи об уравнениях Аппелла и принципе Гаусса.

[gibbs1879-1] Гиббс, JW (1879). «Об основных формулах динамики». Американский журнал математики . 2 (1): 49–64. дои : 10.2307/2369196 . JSTOR 2369196 .

[appell_1900a-2] Аппелл, П. (1900). «Об общем виде уравнений динамики». Журнал для королевы и математики . 121 : 310–?.

[3] Деслодж, Эдвард А. (1988). «Уравнения движения Гиббса – Аппелла» (PDF) . Американский журнал физики . 56 (9): 841–46. Бибкод : 1988AmJPh..56..841D . дои : 10.1119/1.15463 . S2CID 123074999 .

[4] Деслодж, Эдвард А. (1987). «Связь между уравнениями Кейна и уравнениями Гиббса-Аппелла». Журнал руководства, контроля и динамики . 10 (1). Американский институт аэронавтики и астронавтики: 120–22. Бибкод : 1987JGCD...10..120D . дои : 10.2514/3.20192 .

[5] Льюис, Эндрю Д. (август 1996 г.). «Геометрия уравнений Гиббса-Аппелла и принцип наименьших ограничений Гаусса» (PDF) . Доклады по математической физике . 38 (1): 11–28. Бибкод : 1996РпМП...38...11Л . дои : 10.1016/0034-4877(96)87675-0 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]