Угловое ускорение

Радиан на секунду в квадрате
Радиан на секунду в квадрате
Система единиц	Производная единица СИ
Единица	Угловое ускорение
Символ	рад/с 2

Угловое ускорение
Угловое ускорение
Общие символы	а
И объединились	рад/с 2
В базовых единицах СИ	с −2
Поведение под ; преобразование координат	псевдовектор
Измерение

В физике угловое ускорение (обозначение α , альфа ) — это скорость изменения угловой скорости во времени . После двух типов угловой скорости, угловой скорости вращения и орбитальной угловой скорости , соответствующими типами углового ускорения являются: угловое ускорение вращения , включающее твердое тело вокруг оси вращения, тела пересекающей центр тяжести ; и орбитальное угловое ускорение с участием точечной частицы и внешней оси.

Угловое ускорение имеет физические размеры угла в квадрате времени, измеряемые в единицах СИ радиан на секунду в квадрате ( рад ⋅ с). ^-2). В двух измерениях угловое ускорение представляет собой псевдоскаляр , знак которого считается положительным, если угловая скорость увеличивается против часовой стрелки или уменьшается по часовой стрелке, и отрицательным, если угловая скорость увеличивается по часовой стрелке или уменьшается против часовой стрелки. В трех измерениях угловое ускорение представляет собой псевдовектор . ^[1]

Для твердых тел угловое ускорение должно быть вызвано чистым внешним крутящим моментом . Однако для нежестких тел это не так: например, фигурист может ускорить свое вращение (тем самым получив угловое ускорение), просто сжимая руки и ноги внутрь, что не требует внешнего крутящего момента.

Орбитальное угловое ускорение точечной частицы [ править ]

Частица в двух измерениях [ править ]

В двух измерениях орбитальное угловое ускорение — это скорость, с которой изменяется двумерная орбитальная угловая скорость частицы относительно начала координат. Мгновенная угловая скорость ω в любой момент времени определяется выражением

\omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},

где $r$ расстояние от начала координат и $v_{\perp }$ — это поперечно-радиальная составляющая мгновенной скорости (т.е. составляющая, перпендикулярная вектору положения), которая по соглашению положительна для движения против часовой стрелки и отрицательна для движения по часовой стрелке.

Следовательно, мгновенное угловое ускорение α частицы определяется выражением ^[2]

\alpha ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).

Если разложить правую часть с помощью правила произведения дифференциального исчисления, это станет

\alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.

В частном случае, когда частица совершает круговое движение вокруг начала координат, ${\frac {dv_{\perp }}{dt}}$ становится просто тангенциальным ускорением $a_{\perp }$ , и ${\frac {dr}{dt}}$ исчезает (поскольку расстояние от начала координат остается постоянным), поэтому приведенное выше уравнение упрощается до

\alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.

В двух измерениях угловое ускорение представляет собой число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указывающее направление. Знак условно принимают положительным, если угловая скорость увеличивается в направлении против часовой стрелки или уменьшается в направлении по часовой стрелке, а знак принимают отрицательным, если угловая скорость увеличивается в направлении по часовой стрелке или уменьшается в направлении против часовой стрелки. Угловое ускорение тогда можно назвать псевдоскаляром , числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности , например, при инвертировании одной оси или переключении двух осей.

Частица в трёх измерениях [ править ]

В трех измерениях орбитальное угловое ускорение — это скорость, с которой трехмерный вектор орбитальной угловой скорости изменяется со временем. Вектор мгновенной угловой скорости ${\boldsymbol {\omega }}$ в любой момент времени определяется выражением

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},

где $\mathbf {r}$ вектор положения частицы, $r$ его расстояние от начала координат и $\mathbf {v}$ вектор его скорости. ^[2]

Следовательно, орбитальное угловое ускорение представляет собой вектор ${\boldsymbol {\alpha }}$ определяется

{\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right).

Разлагая эту производную с помощью правила произведения для перекрестных произведений и обычного правила частного, получаем:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right).\end{aligned}}

С $\mathbf {r} \times \mathbf {v}$ это просто $r^{2}{\boldsymbol {\omega }}$ , второй член можно переписать как $-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}$ . В случае, когда расстояние $r$ частицы от начала координат не меняется со временем (что включает в себя круговое движение как подслучай), второй член исчезает, и приведенная выше формула упрощается до

{\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}.

Из приведенного выше уравнения можно восстановить поперечно-радиальное ускорение в этом особом случае как:

\mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} .

В отличие от двухмерного измерения, угловое ускорение в трех измерениях не обязательно должно быть связано с изменением угловой скорости. $\omega =|{\boldsymbol {\omega }}|$ : Если вектор положения частицы «закручивается» в пространстве, изменяя ее мгновенную плоскость углового смещения, то изменение направления угловой скорости ${\boldsymbol {\omega }}$ все равно будет создавать ненулевое угловое ускорение. Этого не может произойти, если вектор положения ограничен фиксированной плоскостью, и в этом случае ${\boldsymbol {\omega }}$ имеет фиксированное направление, перпендикулярное плоскости.

Вектор углового ускорения правильнее называть псевдовектором : он состоит из трех компонентов, которые при вращении преобразуются так же, как декартовы координаты точки, но не трансформируются, как декартовы координаты при отражениях.

Отношение к крутящему моменту [ править ]

Чистый крутящий момент точечной частицы определяется как псевдовектор

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,

где $\mathbf {F}$ — чистая сила, действующая на частицу. ^[3]

Крутящий момент является вращательным аналогом силы: он вызывает изменение вращательного состояния системы, точно так же, как сила вызывает изменение поступательного состояния системы. Поскольку сила, действующая на частицу, связана с ускорением уравнением $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ , можно написать аналогичное уравнение, связывающее крутящий момент частицы с угловым ускорением, хотя это соотношение обязательно более сложное. ^[4]

Во-первых, заменив $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ в приведенное выше уравнение для крутящего момента получаем

{\boldsymbol {\tau }}=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)=mr^{2}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}\right).

Из предыдущего раздела:

{\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }},

где ${\boldsymbol {\alpha }}$ - орбитальное угловое ускорение и ${\boldsymbol {\omega }}$ – орбитальная угловая скорость. Поэтому:

{\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}\left({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.

В частном случае постоянного расстояния $r$ частицы от начала координат ( ${\tfrac {dr}{dt}}=0$ ), второй член в приведенном выше уравнении исчезает, и приведенное выше уравнение упрощается до

{\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }},

что можно интерпретировать как «вращательный аналог» $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ , где количество $mr^{2}$ (известный как момент инерции частицы) играет роль массы $m$ . Однако в отличие от $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ , это уравнение не применимо к произвольной траектории, а только к траектории, заключенной внутри сферической оболочки относительно начала координат.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Вращательные переменные» . Либретексты . MindTouch. 18 октября 2016 г. Проверено 1 июля 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б Сингх, Сунил К. Угловая скорость . Университет Райса.
^ Сингх, Сунил К. Торк . Университет Райса.
^ Масхуд, К.К. Разработка и оценка концептуального набора вращательной кинематики (PDF) . Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. стр. 52–54.

[ref1-1] «Вращательные переменные» . Либретексты . MindTouch. 18 октября 2016 г. Проверено 1 июля 2020 г.

[ref2-2] Jump up to: ^а ^б Сингх, Сунил К. Угловая скорость . Университет Райса.

[ref3-3] Сингх, Сунил К. Торк . Университет Райса.

[4] Масхуд, К.К. Разработка и оценка концептуального набора вращательной кинематики (PDF) . Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. стр. 52–54.

[1]

[2]

[3]

[4]