Центральная сила

Эта статья о механической силе. Чтобы узнать о воинской части, см. Центральные силы .

В классической механике центральная сила , действующая на объект, — это сила , направленная к точке, называемой центром силы, или от нее .

$${\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\left\vert F(\mathbf {r} )\right\vert {\hat {\mathbf {r} }}$$

где ${\textstyle {\vec {F}}}$ — сила, F — векторная силовая функция , F — скалярная силовая функция, r — вектор положения , || р || это его длина, и ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /\|\mathbf {r} \|}$ — соответствующий единичный вектор .

Не все центральные силовые поля консервативны или сферически симметричны . Однако центральная сила консервативна тогда и только тогда, когда она сферически симметрична или вращательно-инвариантна.

Свойства

Центральные силы, которые являются консервативными, всегда могут быть выражены как отрицательный градиент потенциальной энергии :

$$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} )\;{\text{, where }}V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r$$

(верхняя граница интегрирования произвольна, поскольку потенциал определен с точностью до аддитивной константы).

В консервативном поле полная механическая энергия ( кинетическая сохраняется и потенциальная):

$$E={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+{\tfrac {1}{2}}I|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{constant}}$$

(где ' ṙ' обозначает производную ' r' по времени, то есть скорость , ' I' обозначает момент инерции этого тела, а ' ω' обозначает угловую скорость ), а в центральном силовом поле так угловой момент :

$$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{constant}}$$

поскольку крутящий момент , создаваемый силой, равен нулю. Как следствие, тело движется в плоскости, перпендикулярной вектору момента импульса и содержащей начало координат, и подчиняется второму закону Кеплера . (Если момент импульса равен нулю, тело движется вдоль линии, соединяющей его с началом координат.)

Также можно показать, что объект, движущийся под действием какой-либо центральной силы, подчиняется второму закону Кеплера. Однако первый и третий законы зависят от природы обратных квадратов закона всемирного тяготения Ньютона и в целом не справедливы для других центральных сил.

Вследствие консервативности эти конкретные центральные силовые поля являются безвихревыми, то есть их ротор равен нулю, за исключением начала координат :

$$\nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} .$$

Примеры

Гравитационная сила и сила Кулона — два знакомых примера. $F(\mathbf {r} )$ пропорциональна 1/ r ² только. Объект в таком силовом поле с отрицательным $F(\mathbf {r} )$ (соответствующая силе притяжения) подчиняется законам движения планет Кеплера .

Силовое поле пространственного гармонического осциллятора является центральным с $F(\mathbf {r} )$ пропорционален только r и отрицателен.

По теореме Бертрана эти два, $F(\mathbf {r} )=-k/r^{2}$и $F(\mathbf {r} )=-kr$, являются единственными возможными центральными силовыми полями, где все ограниченные орбиты являются устойчивыми замкнутыми орбитами. Однако существуют и другие силовые поля, имеющие замкнутые орбиты.

См. также

• Классическая проблема центральной силы
• Частица в сферически-симметричном потенциале