Mechanical force towards or away from a point
Эта статья о механической силе. Чтобы узнать о воинской части, см.
Центральные силы .
В классической механике центральная сила , действующая на объект, — это сила , направленная к точке, называемой центром силы, или от нее . [а] [1] : 93
![{\displaystyle {\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r}) =\left\vert F(\mathbf {r})\right\vert {\hat {\mathbf {r}} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f407ee241991121eb0b466aec9b0a2cce0722104)
где
![{\textstyle {\vec {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69475e4b7344a7156f9073c41e92bbb2cf33528)
— сила,
F —
векторная силовая функция ,
F — скалярная силовая функция,
r —
вектор положения , ||
р || это его длина, и
![{\textstyle {\hat {\mathbf{r}}}=\mathbf{r} /\|\mathbf{r}\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf27da9c06a42c5062864918c4cd4b91f8081ea)
— соответствующий
единичный вектор .
Не все центральные силовые поля консервативны или сферически симметричны . Однако центральная сила консервативна тогда и только тогда, когда она сферически симметрична или вращательно-инвариантна. [1] : 133–38
Центральные силы, которые являются консервативными, всегда могут быть выражены как отрицательный градиент потенциальной энергии :
![{\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=-\mathbf{\equal} V(\mathbf{r})\;{\text{, где }}V(\mathbf{r})= \int _{|\mathbf{r}|}^{+\infty}F(r)\,\mathrm{d}r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce0a7e5a99254733c7a8c96f404aeea2458c3a8)
(верхняя граница интегрирования произвольна, поскольку потенциал определен с точностью до аддитивной константы).
полная механическая энергия ( кинетическая В консервативном поле сохраняется и потенциальная):
![{\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+{\tfrac {1}{2}}I|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{константа}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026cd25674b732467ecb4c24048190e5bed1ce1b)
(где '
ṙ' обозначает
производную '
r' по времени, то есть
скорость , '
I' обозначает
момент инерции этого тела, а '
ω' обозначает
угловую скорость ), а в центральном силовом поле так угловой
момент :
![{\displaystyle\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{\dot{r}}={\text{constant}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d9fdef7a052ea98bc01d6b782ea1b672fe1866)
поскольку
крутящий момент, создаваемый силой, равен нулю. Как следствие, тело движется в плоскости, перпендикулярной вектору момента импульса и содержащей начало координат, и подчиняется
второму закону Кеплера . (Если момент импульса равен нулю, тело движется вдоль линии, соединяющей его с началом координат.)
Также можно показать, что объект, движущийся под действием какой-либо центральной силы, подчиняется второму закону Кеплера. Однако первый и третий законы зависят от природы обратных квадратов закона всемирного тяготения Ньютона и в целом не справедливы для других центральных сил.
Вследствие консервативности эти конкретные центральные силовые поля являются безвихревыми, то есть их ротор равен нулю, за исключением начала координат :
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r}) = \ mathbf {0} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a91554f854c33a9c6975ebc2f2bed54cfd390a)
Гравитационная сила и сила Кулона — два знакомых примера.
пропорциональна 1/ r 2 только. Объект в таком силовом поле с отрицательным
(соответствующая силе притяжения) подчиняется законам движения планет Кеплера .
Силовое поле пространственного гармонического осциллятора является центральным с
пропорционален только r и отрицателен.
По теореме Бертрана эти два,
и
, являются единственными возможными центральными силовыми полями, где все ограниченные орбиты являются устойчивыми замкнутыми орбитами. Однако существуют и другие силовые поля, имеющие замкнутые орбиты.
Примечания [ править ]
- ^ В этой статье используется определение центральной силы, данное Тейлором. [1] : 93 Другое распространенное определение (используемое в ScienceWorld [2] ) добавляет ограничение, согласно которому сила должна быть сферически симметричной, т.е.
.