Гравитационная энергия

Изображение, изображающее Земли гравитационное поле . Объекты ускоряются по направлению к Земле, теряя при этом свою гравитационную энергию и преобразуя ее в кинетическую энергию .

Гравитационная энергия или гравитационная потенциальная энергия — это потенциальная энергия, объект которую массивный имеет благодаря своему положению в гравитационном поле . Это механическая работа , совершаемая силой гравитации по переносу массы из выбранной точки отсчета (часто на «бесконечном расстоянии» от массы, создающей поле) в некоторую другую точку поля, которая равна изменению кинетической энергии объектов, когда они падают навстречу друг другу. Гравитационная потенциальная энергия увеличивается, когда два объекта отдаляются друг от друга, и преобразуется в кинетическую энергию, когда им позволяют падать навстречу друг другу.

Формулировка

Для двух попарно взаимодействующих точечных частиц гравитационная потенциальная энергия $U$ это работа, совершаемая силой гравитации по сближению масс:

$$U=W_{g}={\textbf {F}}_{g}\cdot {\textbf {r}},$$

где ${\textstyle {\textbf {r}}}$ - вектор смещения между двумя частицами и ${\textstyle \cdot }$обозначает скалярное произведение . Поскольку сила гравитации всегда параллельна оси, соединяющей частицы, это упрощает:

$$U=-{\frac {GMm}{|{\textbf {r}}|}},$$

где $M$ и $m$ массы двух частиц и $G$ является гравитационной постоянной .

Вблизи поверхности Земли гравитационное поле примерно постоянно, а гравитационная потенциальная энергия объекта уменьшается до

$$U=m({\textbf {g}}\cdot {\textbf {r}})=m|{\textbf {g}}||{\textbf {r}}|=mh|{\textbf {g}}|,$$

где $m$ это масса объекта, ${\textstyle {\textbf {g}}={\frac {{GM_{\oplus }}{\hat {\textbf {r}}}}{|{\textbf {r}}_{\oplus }^{2}|}}}$ - гравитация Земли , и $h$ объекта - это высота центра масс над выбранным опорным уровнем.

Механика Ньютона

В классической механике две и более массы всегда обладают гравитационным потенциалом . Сохранение энергии требует, чтобы энергия гравитационного поля всегда была отрицательной , поэтому она равна нулю, когда объекты находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга. Гравитационная потенциальная энергия — это потенциальная энергия, которой обладает объект, поскольку он находится в гравитационном поле.

Величина силы между точечной массой, $M$, и еще одна точечная масса, $m$, определяется законом гравитации Ньютона :

$$F={\frac {GMm}{r^{2}}}$$

Чтобы получить полную работу, совершенную силой гравитации по переносу точечной массы $m$ от бесконечности до конечного расстояния $R$ (например, радиус Земли) от точечной массы ${\textstyle M}$, сила интегрируется по перемещению:

$$W=\int _{\infty }^{R}{\frac {GMm}{r^{2}}}dr=-\left.{\frac {GMm}{r}}\right|_{\infty }^{R}$$

Потому что ${\textstyle \lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r}}=0}$, общую работу, проделанную над объектом, можно записать как:

Гравитационно потенциальная энергия

$U=-{\frac {GMm}{R}}$

В обычной ситуации, когда гораздо меньшая масса $m$ движется вблизи поверхности гораздо большего объекта с массой $M$, гравитационное поле почти постоянно, и поэтому выражение для гравитационной энергии можно значительно упростить. Изменение потенциальной энергии при движении от поверхности (на расстояние $R$ от центра) на высоту $h$ над поверхностью находится

$${\begin{aligned}\Delta U&={\frac {GMm}{R}}-{\frac {GMm}{R+h}}\\&={\frac {GMm}{R}}\left(1-{\frac {1}{1+h/R}}\right).\end{aligned}}$$

Если $h/R$ мал, так как он должен находиться близко к поверхности, где $g$ константа, то это выражение можно упростить, используя биномиальное приближение

$${\frac {1}{1+h/R}}\approx 1-{\frac {h}{R}}$$

к

$${\begin{aligned}\Delta U&\approx {\frac {GMm}{R}}\left[1-\left(1-{\frac {h}{R}}\right)\right]\\\Delta U&\approx {\frac {GMmh}{R^{2}}}\\\Delta U&\approx m\left({\frac {GM}{R^{2}}}\right)h.\end{aligned}}$$

Поскольку гравитационное поле $g=GM/R^{2}$, это сводится к

$$\Delta U\approx mgh.$$

принимая $U=0$ на поверхности (а не на бесконечности) возникает знакомое выражение для гравитационной потенциальной энергии:

$$U=mgh.$$

Общая теория относительности

Основная статья: Масса в общей теории относительности

Двумерное изображение изогнутых геодезических («мировых линий»). Согласно общей теории относительности , масса искажает пространство-время , а гравитация является естественным следствием Первого закона Ньютона. Масса сообщает пространству-времени, как изгибаться, а пространство-время говорит массе, как двигаться.

В общей теории относительности гравитационная энергия чрезвычайно сложна, и не существует единого согласованного определения этой концепции. Иногда его моделируют с помощью псевдотензора Ландау – Лифшица. что позволяет сохранить законы сохранения энергии-импульса классической механики . Добавление тензора энергии-импульса материи к псевдотензору Ландау-Лифшица приводит к созданию объединенного псевдотензора материи и гравитационной энергии, который имеет исчезающую 4 - дивергенцию во всех системах отсчета, что обеспечивает закон сохранения. Некоторые люди возражают против этого вывода на том основании, что псевдотензоры не подходят для общей теории относительности, но дивергенция объединенного псевдотензора материи и гравитационной энергии является тензором .

См. также

• Гравитационная энергия связи
• Гравитационный потенциал
• Гравитационное потенциальное хранилище энергии
• Теорема о положительной энергии