Масса в общей теории относительности

Понятие массы в общей теории относительности (ОТО) определить сложнее, чем понятие массы в специальной теории относительности . Фактически, общая теория относительности не предлагает единого определения термина «масса», а предлагает несколько различных определений, применимых в разных обстоятельствах. При некоторых обстоятельствах масса системы в общей теории относительности может даже не быть определена.

Причина этой тонкости в том, что энергия и импульс в гравитационном поле не могут быть однозначно локализованы. (См. главу 20 .) Итак, строгие определения массы в общей теории относительности не являются локальными, как в классической механике или специальной теории относительности, а ссылаются на асимптотическую природу пространства-времени. Четко определенное понятие массы существует для асимптотически плоского пространства-времени и для асимптотически анти-де Ситтеровского пространства . Однако эти определения следует использовать с осторожностью в других ситуациях.

массы в общей теории относительности: концепции

В специальной теории относительности масса покоя частицы может быть определена однозначно через ее энергию и импульс, как описано в статье о массе в специальной теории относительности . Однако обобщение понятия энергии и импульса на общую теорию относительности является тонким делом. Основная причина этого в том, что гравитационное поле само по себе вносит вклад в энергию и импульс. Однако «энергия гравитационного поля» не является частью тензора энергии-импульса; вместо этого то, что можно было бы определить как вклад гравитационного поля в полную энергию, является частью тензора Эйнштейна на другой стороне уравнения Эйнштейна (и, как таковое, является следствием нелинейности этих уравнений). Хотя в определенных ситуациях можно переписать уравнения так, что часть «гравитационной энергии» теперь стоит рядом с другими исходными членами в форме псевдотензора напряжения-энергии-импульса , это разделение справедливо не для всех наблюдателей, и там нет общего определения для его получения.

Как же тогда определить понятие общей массы системы, которую легко определить в классической механике? Как оказывается, по крайней мере для асимптотически плоских пространств-временей (грубо говоря, представляющих некую изолированную гравитирующую систему в пустом и свободном от гравитации бесконечном пространстве) расщепление ADM 3+1 приводит к решению: как и в обычном гамильтониане Согласно формальному формализму , направление времени, используемое в этом разделении, имеет связанную с ним энергию, которую можно интегрировать, чтобы получить глобальную величину, известную как масса ADM (или, что то же самое, энергия ADM). Альтернативно, существует возможность определить массу для пространства-времени, которое является стационарным , другими словами, пространством, имеющим времяподобное векторное поле Киллинга (которое, как порождающее поле для времени, канонически сопряжено с энергией); в результате получается так называемая масса Комара Хотя она определена совершенно по-другому, можно показать, что она эквивалентна массе ADM для стационарного пространства-времени. Определение интеграла Комара также можно обобщить на нестационарные поля, для которых существует по крайней мере асимптотическая симметрия переноса времени ; наложив определенное калибровочное условие, можно определить энергию Бонди на нулевой бесконечности. В некотором смысле, энергия ADM измеряет всю энергию, содержащуюся в пространстве-времени, тогда как энергия Бонди исключает те части, которые уносятся гравитационными волнами в бесконечность. Большие усилия были затрачены на доказательство теорем положительности для только что определенных масс, не в последнюю очередь потому, что положительность или, по крайней мере, существование нижнего предела имеет отношение к более фундаментальному вопросу об ограниченности снизу: если бы не было нижнего предела энергии, то ни одна изолированная система не будет абсолютно стабильной; всегда будет возможность распада до состояния с еще меньшей полной энергией. Существует несколько видов доказательств того, что и масса ADM, и масса Бонди действительно положительны; в частности, это означает, что пространство Минковского (для которого оба равны нулю) действительно стабильно. Хотя основное внимание здесь уделялось энергетике, существуют аналогичные определения глобального импульса; зная поле угловых векторов Киллинга и следуя методу Комара, можно также определить глобальный угловой момент.

Квазилокальные величины

Недостаток всех упомянутых до сих пор определений состоит в том, что они определяются только на бесконечности (нулевой или пространственной); с 1970-х годов физики и математики работали над более амбициозной задачей по определению подходящих квазилокальных величин, таких как масса изолированной системы, определяемая с использованием только величин, определенных в конечной области пространства, содержащей эту систему. Однако, хотя существует множество предложенных определений, таких как энергия Хокинга , энергия Героха или Пенроуза квазилокальная энергия-импульс , основанная на твисторных методах, поле все еще находится в движении. В конце концов, мы надеемся использовать подходящую определенную квазилокальную массу, чтобы дать более точную формулировку гипотезы обруча , доказать так называемое неравенство Пенроуза для черных дыр (связывающее массу черной дыры с площадью горизонта) и найти квазилокальную массу. -локальная версия законов механики черных дыр.

Типы массы в общей теории относительности

Масса Комара в стационарном

Основная статья: Комарская масса

Нетехническое определение стационарного пространства-времени — это пространство-время, в котором ни один из метрических коэффициентов $g_{\mu \nu }\,$являются функциями времени. черной Метрика Шварцшильда дыры и метрика Керра вращающейся черной дыры являются распространенными примерами стационарного пространства-времени.

По определению, стационарное пространство-время демонстрирует симметрию перевода времени . Технически это называется времяподобным вектором Киллинга . Поскольку система обладает симметрией перемещения во времени, теорема Нётер гарантирует, что она имеет сохраняющуюся энергию. Поскольку стационарная система также имеет четко определенную систему покоя, в которой ее импульс можно считать равным нулю, определение энергии системы также определяет ее массу. В общей теории относительности эта масса называется массой Комара системы. Массу Комара можно определить только для стационарных систем.

Массу Комара также можно определить с помощью интеграла потока. Это похоже на то, как закон Гаусса определяет заряд, заключенный в поверхности, как нормальную электрическую силу, умноженную на площадь. Однако интеграл потока, используемый для определения массы Комара, немного отличается от интеграла, используемого для определения электрического поля: нормальная сила - это не фактическая сила, а «сила на бесконечности». смотрите в основной статье Подробнее .

Из двух определений описание массы Комара с точки зрения симметрии трансляции времени дает самое глубокое понимание.

Массы ADM и Бонди в асимптотически плоском

Если система, содержащая источники гравитации, окружена бесконечной областью вакуума, геометрия пространства-времени будет стремиться приблизиться к плоской геометрии Минковского специальной теории относительности на бесконечности. Такое пространство-время известно как «асимптотически плоское» пространство-время.

Для систем, в которых пространство-время асимптотически плоское , ADM можно определить энергию, импульс и массу и Бонди. В терминах теоремы Нётер энергия, импульс и масса ADM определяются асимптотической симметрией на пространственной бесконечности , а энергия, импульс и масса Бонди определяются асимптотической симметрией на нулевой бесконечности . Обратите внимание, что масса вычисляется как длина четырехвектора энергии-импульса , который можно рассматривать как энергию и импульс системы «на бесконечности».

Энергия ADM определяется через следующий интеграл потока на бесконечности. Если пространство-время асимптотически плоское, это означает, что вблизи «бесконечности» метрика стремится к метрике плоского пространства. Асимптотические отклонения метрики от плоского пространства можно параметризовать формулой

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$

где $\eta _{\mu \nu }$— метрика плоского пространства. Тогда энергия ADM определяется интегралом по поверхности: $S$ в бесконечности

$P^{0}={1 \over 16\pi G}\int \left(\partial ^{k}h_{jk}-\partial ^{j}h_{kk}\right)d^{2}S_{j},$

где $S_{j}$ является направленной наружу нормалью к $S$. Для повторяющихся индексов предполагается соглашение Эйнштейна о суммировании, но сумма по k и j пробегает только пространственные направления. Использование в приведенной выше формуле обычных производных вместо ковариантных производных оправдано предположением о плоской асимптотической геометрии.

Некоторое представление о приведенной выше формуле можно получить следующим образом. Представьте себе, что мы принимаем поверхность S как сферическую поверхность, так что нормаль направлена ​​радиально наружу. На больших расстояниях от источника энергии r тензор $h_{ij}$ ожидается, что он упадет, так как $r^{-1}$ и производная по r преобразует это в $r^{-2}$ Площадь сферы на большом радиусе также растет точно так же, как $r^{2}$ и поэтому получается конечное значение энергии.

Также возможно получить выражения для импульса в асимптотически плоском пространстве-времени. Чтобы получить такое выражение, определяют

$H^{\mu \alpha \nu \beta }=-{\bar {h}}^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }-\eta ^{\mu \nu }{\bar {h}}^{\alpha \beta }+{\bar {h}}^{\alpha \nu }\eta ^{\mu \beta }+{\bar {h}}^{\mu \beta }\eta ^{\alpha \nu }$

где

${\bar {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{1 \over 2}\eta _{\mu \nu }h_{\alpha }^{\alpha }$

Тогда импульс получается с помощью интеграла потока в асимптотически плоской области

$P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}$

Обратите внимание, что выражение для $P^{0}$ полученное по приведенной выше формуле, совпадает с приведенным выше выражением для энергии АДМ, что легко проверить с помощью явного выражения для H.

Ньютоновский предел для почти плоского

В ньютоновском пределе для квазистатических систем в почти плоском пространстве-времени можно аппроксимировать полную энергию системы, сложив негравитационные компоненты энергии системы и затем вычитая ньютоновскую гравитационную энергию связи.

Переводя приведенное выше утверждение на язык общей теории относительности, мы говорим, что система в почти плоском пространстве-времени имеет полную негравитационную энергию E и импульс P, определяемые выражением:

$E=\int _{v}T_{00}dV\qquad P^{i}=\int _{V}T_{0i}dV$

Когда компоненты вектора импульса системы равны нулю, т.е. P ^я = 0, примерная масса системы равна (E+E _{связывание} )/c ² , _{Eсвязывание} — отрицательное число, представляющее ньютоновскую гравитационную энергию самосвязывания.

Следовательно, когда кто-то предполагает, что система квазистатична, он предполагает, что в ней нет значительной энергии в виде «гравитационных волн». Когда кто-то предполагает, что система находится в «почти плоском» пространстве-времени, он предполагает, что метрические коэффициенты по существу являются Минковскими в пределах приемлемой экспериментальной ошибки.

Можно видеть, что формулы для полной энергии и импульса естественным образом возникают в этом пределе следующим образом. В линеаризованном пределе уравнения общей теории относительности можно записать в виде

$\partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha \nu \beta }=16\pi GT^{\mu \nu }$

В этом пределе полная энергия-импульс системы просто задается путем интегрирования тензора напряжений на пространственноподобном срезе.

$P^{\mu }=\int T^{\mu 0}d^{3}x$

Но используя уравнения движения, это можно также записать как

$P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha 0\beta }d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x$

где сумма по j распространяется только на пространственные направления, а второе равенство использует тот факт, что $H^{\mu \alpha \nu \beta }$ является антисимметричным по $\nu$ и $\beta$. Наконец, можно использовать закон Гаусса для преобразования интеграла от дивергенции по пространственному срезу в интеграл по гауссовой сфере.

${1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}$

что в точности совпадает с приведенной выше формулой для полного импульса.

История

В 1918 году Дэвид Гильберт писал о трудности приписания энергии «полю» и «несостоятельности теоремы об энергии» в переписке с Кляйном . В этом письме Гильберт предположил, что эта неудача является характерной особенностью общей теории и что вместо «теорем о правильной энергии» существуют «теоремы о несобственной энергии».

Верность этой гипотезы вскоре подтвердила одна из близких соратниц Гильберта Эмми Нётер . Теорема Нётер применима к любой системе, которую можно описать принципом действия . Теорема Нётер связывает сохраняющиеся энергии с симметриями перевода времени. Когда симметрия перевода времени представляет собой непрерывную группу с конечным параметром , такую ​​как группа Пуанкаре , теорема Нётер определяет скалярную сохраняемую энергию для рассматриваемой системы. Однако, когда симметрия представляет собой непрерывную группу с бесконечным параметром, существование сохраняющейся энергии не гарантируется. Подобным образом теорема Нётер связывает сохраняющиеся импульсы с пространственными сдвигами, когда группа симметрии сдвигов конечномерна. Поскольку Общая теория относительности является теорией, инвариантной к диффеоморфизмам , она имеет бесконечную непрерывную группу симметрий, а не группу симметрий с конечным параметром, и, следовательно, имеет неправильную групповую структуру, гарантирующую сохранение энергии. Теорема Нётер вдохновила и объединила различные идеи массы, энергии системы и импульса системы в общей теории относительности.

В качестве примера применения теоремы Нётер можно привести пример стационарного пространства-времени и связанной с ним массы Комара (Комар, 1959). В то время как общее пространство-время лишено симметрии перемещения времени с конечным параметром, стационарное пространство-время обладает такой симметрией, известной как вектор Киллинга . Теорема Нётер доказывает, что такое стационарное пространство-время должно иметь связанную с ним сохраняющуюся энергию. Эта сохраняющаяся энергия определяет сохраняющуюся массу, массу Комара.

Масса ADM была введена (Арновитт и др., 1960) из начальной формулировки общей теории относительности. Позже она была переформулирована различными авторами в терминах группы асимптотических симметрий на пространственной бесконечности, группы SPI. (Хельд, 1980). Эта переформулировка во многом прояснила теорию, в том числе объяснила, почему импульс и энергия ADM преобразуются как 4-вектор (Held, 1980). Обратите внимание, что группа SPI на самом деле бесконечномерна. Существование сохраняющихся величин связано с тем, что группа «супертрансляций» SPI имеет предпочтительную 4-параметрическую подгруппу «чистых» трансляций, которая, согласно теореме Нётер, генерирует сохраняющуюся 4-параметрическую энергию-импульс. Нормой этой 4-параметрической энергии-импульса является масса АДМ.

Масса Бонди была введена (Бонди, 1962) в статье, в которой изучалась потеря массы физических систем из-за гравитационного излучения. Масса Бонди также связана с группой асимптотических симметрий, группой БМС на нулевой бесконечности. Подобно группе SPI на пространственной бесконечности, группа BMS на нулевой бесконечности является бесконечномерной и также имеет предпочтительную 4-параметрическую подгруппу «чистых» переводов.

Другой подход к проблеме энергии в общей теории относительности заключается в использовании псевдотензоров , таких как псевдотензор Ландау-Лифшица (Ландау и Лифшиц, 1962). Псевдотензоры не являются калибровочно-инвариантными - из-за этого они дают непротиворечивые, независимые от калибровки ответы для полной энергии только при соблюдении дополнительных ограничений (таких как асимптотическая плоскостность). Калибровочная зависимость псевдотензоров также препятствует любому независимому от калибровки определению локальной плотности энергии, поскольку каждый другой выбор калибровки приводит к различной локальной плотности энергии.

См. также

• Масса в специальной теории относительности
• Общая теория относительности
• Сохранение энергии
• Комар масса
• Энергия Хокинга
• масса АДМ
• Теорема о положительной массе

Ссылки

• Аштекар, Абхай; Маньон-Аштекар, Энн (1979). «О сохраняющихся величинах в общей теории относительности». Журнал математической физики . 20 (5). Издательство AIP: 793–800. Бибкод : 1979JMP....20..793A . дои : 10.1063/1.524151 . ISSN   0022-2488 .
• Комар, Артур (1959). «Ковариантные законы сохранения в общей теории относительности». Физ. Преподобный . 113 (3): 934–936. Бибкод : 1959PhRv..113..934K . дои : 10.1103/PhysRev.113.934 .
• Арновитт, Р.; Дезер, С.; Миснер, CW (15 марта 1960 г.). «Канонические переменные общей теории относительности» (PDF) . Физический обзор . 117 (6). Американское физическое общество (APS): 1595–1602 гг. Бибкод : 1960PhRv..117.1595A . дои : 10.1103/physrev.117.1595 . ISSN   0031-899X . S2CID   120715041 .
• Арновитт, Ричард; Дезер, Стэнли; Миснер, Чарльз В. (1962). «Динамика общей теории относительности». В Виттене, Л. (ред.). Гравитация: введение в современные исследования . Уайли. стр. 227–265.
• Бонди, Х.; Ван Дер Бург, MGJ; Мецнер, AWK (21 августа 1962 г.). «Гравитационные волны в общей теории относительности, VII. Волны из осесимметричной изолированной системы». Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 269 ​​(1336). Королевское общество: 21–52. Бибкод : 1962RSPSA.269...21B . дои : 10.1098/rspa.1962.0161 . ISSN   2053-9169 . S2CID   120125096 .
• Проведенный (1980). Общая теория относительности и гравитация, сто лет после рождения Эйнштейна, Том 2 . Пленум Пресс. ISBN  978-0-306-40266-1 .
• Сабадос, Ласло Б. (2004). «Квазилокальная энергия-импульс и угловой момент в ОТО» . Жив преподобный родственник . 7 (1): 4. Бибкод : 2004LRR.....7....4S . дои : 10.12942/lrr-2004-4 . ПМЦ   5255888 . ПМИД   28179865 .
• Таунсенд, ПК (1997). «Черные дыры (Конспект лекций)». arXiv : gr-qc/9707012 .
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-87033-2 .
• Накумура, Тадас К. (2005). «Ковариантная термодинамика объекта конечного объема». Буквы по физике А. 352 (3): 175–177. arXiv : физика/0505004 . Бибкод : 2006PhLA..352..175N . дои : 10.1016/j.physleta.2005.11.070 . S2CID   14211373 .
• Карлип, С. (1999). «Кинетическая энергия и принцип эквивалентности». Американский журнал физики . 66 (5): 409–413. arXiv : gr-qc/9909014 . Бибкод : 1998AmJPh..66..409C . CiteSeerX   10.1.1.340.3195 . дои : 10.1119/1.18885 . S2CID   119052544 .
• «Если вы пойдете слишком быстро, вы превратитесь в черную дыру?» Обновлено Доном Коксом, 2008 г. Оригинал Филипом Гиббсом, 1996 г. Оригинальные часто задаваемые вопросы по физике Usenet.
• Олсон, Д.В.; Гуарино, RC (1985). «Измерение активной гравитационной массы движущегося объекта». Американский журнал физики . 53 (7): 661. Бибкод : 1985AmJPh..53..661O . дои : 10.1119/1.14280 .

Внешние ссылки

• «Сохраняется ли энергия в общей теории относительности?